Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atanlogadd Structured version   Unicode version

 Description: The rule is not always true on the complexes, but it is true when the arguments of and sum to within the interval , so there are some cases such as this one with and which are true unconditionally. This result can also be stated as " is analytic". (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression

Proof of Theorem atanlogadd
StepHypRef Expression
1 0re 9092 . . 3
21a1i 11 . 2 arctan
3 atandm2 20718 . . . 4 arctan
43simp1bi 973 . . 3 arctan
54recld 12000 . 2 arctan
6 atanlogaddlem 20754 . 2 arctan
7 ax-1cn 9049 . . . . . . . 8
8 ax-icn 9050 . . . . . . . . 9
9 mulcl 9075 . . . . . . . . 9
108, 4, 9sylancr 646 . . . . . . . 8 arctan
11 addcl 9073 . . . . . . . 8
127, 10, 11sylancr 646 . . . . . . 7 arctan
133simp3bi 975 . . . . . . 7 arctan
1412, 13logcld 20469 . . . . . 6 arctan
15 subcl 9306 . . . . . . . 8
167, 10, 15sylancr 646 . . . . . . 7 arctan
173simp2bi 974 . . . . . . 7 arctan
1816, 17logcld 20469 . . . . . 6 arctan
1914, 18addcomd 9269 . . . . 5 arctan
20 mulneg2 9472 . . . . . . . . . 10
218, 4, 20sylancr 646 . . . . . . . . 9 arctan
2221oveq2d 6098 . . . . . . . 8 arctan
23 negsub 9350 . . . . . . . . 9
247, 10, 23sylancr 646 . . . . . . . 8 arctan
2522, 24eqtrd 2469 . . . . . . 7 arctan
2625fveq2d 5733 . . . . . 6 arctan
2721oveq2d 6098 . . . . . . . 8 arctan
28 subneg 9351 . . . . . . . . 9
297, 10, 28sylancr 646 . . . . . . . 8 arctan
3027, 29eqtrd 2469 . . . . . . 7 arctan
3130fveq2d 5733 . . . . . 6 arctan
3226, 31oveq12d 6100 . . . . 5 arctan
3319, 32eqtr4d 2472 . . . 4 arctan
3433adantr 453 . . 3 arctan
35 atandmneg 20747 . . . . 5 arctan arctan
3635adantr 453 . . . 4 arctan arctan
375le0neg1d 9599 . . . . . 6 arctan
3837biimpa 472 . . . . 5 arctan
394renegd 12015 . . . . . 6 arctan
4039adantr 453 . . . . 5 arctan
4138, 40breqtrrd 4239 . . . 4 arctan
42 atanlogaddlem 20754 . . . 4 arctan
4336, 41, 42syl2anc 644 . . 3 arctan
4434, 43eqeltrd 2511 . 2 arctan
452, 5, 6, 44lecasei 9180 1 arctan
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2600   class class class wbr 4213   cdm 4879   crn 4880  cfv 5455  (class class class)co 6082  cc 8989  cr 8990  cc0 8991  c1 8992  ci 8993   caddc 8994   cmul 8996   cle 9122   cmin 9292  cneg 9293  cre 11903  clog 20453  arctancatan 20705 This theorem is referenced by:  efiatan2  20758 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069  ax-addf 9070  ax-mulf 9071 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-ixp 7065  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-fi 7417  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-cda 8049  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-xneg 10711  df-xadd 10712  df-xmul 10713  df-ioo 10921  df-ioc 10922  df-ico 10923  df-icc 10924  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-fl 11203  df-mod 11252  df-seq 11325  df-exp 11384  df-fac 11568  df-bc 11595  df-hash 11620  df-shft 11883  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-limsup 12266  df-clim 12283  df-rlim 12284  df-sum 12481  df-ef 12671  df-sin 12673  df-cos 12674  df-pi 12676  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-starv 13545  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ds 13552  df-unif 13553  df-hom 13554  df-cco 13555  df-rest 13651  df-topn 13652  df-topgen 13668  df-pt 13669  df-prds 13672  df-xrs 13727  df-0g 13728  df-gsum 13729  df-qtop 13734  df-imas 13735  df-xps 13737  df-mre 13812  df-mrc 13813  df-acs 13815  df-mnd 14691  df-submnd 14740  df-mulg 14816  df-cntz 15117  df-cmn 15415  df-psmet 16695  df-xmet 16696  df-met 16697  df-bl 16698  df-mopn 16699  df-fbas 16700  df-fg 16701  df-cnfld 16705  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-topsp 16968  df-cld 17084  df-ntr 17085  df-cls 17086  df-nei 17163  df-lp 17201  df-perf 17202  df-cn 17292  df-cnp 17293  df-haus 17380  df-tx 17595  df-hmeo 17788  df-fil 17879  df-fm 17971  df-flim 17972  df-flf 17973  df-xms 18351  df-ms 18352  df-tms 18353  df-cncf 18909  df-limc 19754  df-dv 19755  df-log 20455  df-atan 20708
 Copyright terms: Public domain W3C validator