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Theorem atanlogaddlem 20209
Description: Lemma for atanlogadd 20210. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
atanlogaddlem  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  e. 
ran  log )

Proof of Theorem atanlogaddlem
StepHypRef Expression
1 0re 8838 . . . 4  |-  0  e.  RR
2 atandm2 20173 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom arctan  <->  ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  =/=  0  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 ) )
32simp1bi 970 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  A  e.  CC )
43recld 11679 . . . 4  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( Re
`  A )  e.  RR )
5 leloe 8908 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( Re `  A )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  (
Re `  A )  <->  ( 0  <  ( Re
`  A )  \/  0  =  ( Re
`  A ) ) ) )
61, 4, 5sylancr 644 . . 3  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 0  <_  ( Re `  A )  <->  ( 0  <  ( Re `  A )  \/  0  =  ( Re `  A ) ) ) )
76biimpa 470 . 2  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
0  <  ( Re `  A )  \/  0  =  ( Re `  A ) ) )
8 ax-1cn 8795 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
9 ax-icn 8796 . . . . . . . . 9  |-  _i  e.  CC
10 mulcl 8821 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
119, 3, 10sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( _i  x.  A )  e.  CC )
12 addcl 8819 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  e.  CC )
138, 11, 12sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
142simp3bi 972 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 )
15 logcl 19926 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 )  ->  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  e.  CC )
1613, 14, 15syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  e.  CC )
17 subcl 9051 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  CC )
188, 11, 17sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
192simp2bi 971 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 )
20 logcl 19926 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  =/=  0 )  ->  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  CC )
2118, 19, 20syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  e.  CC )
22 addcl 8819 . . . . . 6  |-  ( ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  e.  CC  /\  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  CC )  -> 
( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  e.  CC )
2316, 21, 22syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )  e.  CC )
2423adantr 451 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  e.  CC )
25 pire 19832 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR
2625renegcli 9108 . . . . . . 7  |-  -u pi  e.  RR
2726a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  -u pi  e.  RR )
2821adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) )  e.  CC )
2928imcld 11680 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  e.  RR )
3016adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  e.  CC )
3130imcld 11680 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  e.  RR )
3231, 29readdcld 8862 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )  +  ( Im `  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  e.  RR )
3318adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
34 im1 11640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Im
`  1 )  =  0
3534oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Im `  1 )  -  ( Im `  ( _i  x.  A
) ) )  =  ( 0  -  (
Im `  ( _i  x.  A ) ) )
36 df-neg 9040 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u (
Im `  ( _i  x.  A ) )  =  ( 0  -  (
Im `  ( _i  x.  A ) ) )
3735, 36eqtr4i 2306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Im `  1 )  -  ( Im `  ( _i  x.  A
) ) )  = 
-u ( Im `  ( _i  x.  A
) )
3811adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
39 imsub 11620 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( Im `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  =  ( ( Im `  1
)  -  ( Im
`  ( _i  x.  A ) ) ) )
408, 38, 39sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( ( Im
`  1 )  -  ( Im `  ( _i  x.  A ) ) ) )
413adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  A  e.  CC )
42 reim 11594 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  =  ( Im `  ( _i  x.  A
) ) )
4341, 42syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  A )  =  ( Im `  ( _i  x.  A
) ) )
4443negeqd 9046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  -u (
Re `  A )  =  -u ( Im `  ( _i  x.  A
) ) )
4537, 40, 443eqtr4a 2341 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  =  -u ( Re `  A ) )
464lt0neg2d 9343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 0  <  ( Re `  A )  <->  -u ( Re
`  A )  <  0 ) )
4746biimpa 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  -u (
Re `  A )  <  0 )
4845, 47eqbrtrd 4043 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  <  0 )
49 argimlt0 19967 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  CC  /\  ( Im `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  <  0 )  -> 
( Im `  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) )  e.  ( -u pi (,) 0 ) )
5033, 48, 49syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  e.  ( -u pi (,) 0 ) )
51 eliooord 10710 . . . . . . . 8  |-  ( ( Im `  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )  /\  (
Im `  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  <  0 ) )
5250, 51syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )  /\  (
Im `  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  <  0 ) )
5352simpld 445 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) ) )
5413adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
55 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  0  <  ( Re `  A
) )
56 imadd 11619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( Im `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( ( Im `  1
)  +  ( Im
`  ( _i  x.  A ) ) ) )
578, 38, 56sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( ( Im
`  1 )  +  ( Im `  (
_i  x.  A )
) ) )
5843oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  1
)  +  ( Re
`  A ) )  =  ( ( Im
`  1 )  +  ( Im `  (
_i  x.  A )
) ) )
5934oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Im `  1 )  +  ( Re `  A ) )  =  ( 0  +  ( Re `  A ) )
6041recld 11679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
6160recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
6261addid2d 9013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
0  +  ( Re
`  A ) )  =  ( Re `  A ) )
6359, 62syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  1
)  +  ( Re
`  A ) )  =  ( Re `  A ) )
6457, 58, 633eqtr2d 2321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( Re `  A ) )
6555, 64breqtrrd 4049 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  0  <  ( Im `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )
66 argimgt0 19966 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  -> 
( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )  e.  ( 0 (,) pi ) )
6754, 65, 66syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  e.  ( 0 (,) pi ) )
68 eliooord 10710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( 0  < 
( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )  /\  ( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  <  pi ) )
6967, 68syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
0  <  ( Im `  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  /\  (
Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  < 
pi ) )
7069simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  0  <  ( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) ) )
7131, 29ltaddpos2d 9357 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
0  <  ( Im `  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  <->  ( Im `  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )  <  (
( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )  +  ( Im `  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) ) ) )
7270, 71mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  < 
( ( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  +  ( Im
`  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) ) )
7327, 29, 32, 53, 72lttrd 8977 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  +  ( Im
`  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) ) )
7430, 28imaddd 11700 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  +  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  +  ( Im
`  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) ) )
7573, 74breqtrrd 4049 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  -u pi  <  ( Im `  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) ) ) )
7625a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  pi  e.  RR )
771a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  0  e.  RR )
7852simprd 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  <  0 )
7929, 77, 31, 78ltadd2dd 8975 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )  +  ( Im `  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  <  (
( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )  +  0 ) )
8031recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  e.  CC )
8180addid1d 9012 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )  +  0 )  =  ( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) ) )
8279, 81breqtrd 4047 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )  +  ( Im `  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  <  (
Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) ) )
8369simprd 449 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  < 
pi )
8432, 31, 76, 82, 83lttrd 8977 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )  +  ( Im `  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  <  pi )
8532, 76, 84ltled 8967 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )  +  ( Im `  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  <_  pi )
8674, 85eqbrtrd 4043 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  +  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  <_  pi )
87 ellogrn 19917 . . . 4  |-  ( ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  e. 
ran  log  <->  ( ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )  e.  CC  /\  -u pi  <  ( Im
`  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  /\  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  +  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  <_  pi ) )
8824, 75, 86, 87syl3anbrc 1136 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  e. 
ran  log )
891a1i 10 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re `  A ) )  -> 
0  e.  RR )
9011adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re `  A ) )  -> 
( _i  x.  A
)  e.  CC )
91 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re `  A ) )  -> 
0  =  ( Re
`  A ) )
923adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re `  A ) )  ->  A  e.  CC )
9392, 42syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re `  A ) )  -> 
( Re `  A
)  =  ( Im
`  ( _i  x.  A ) ) )
9491, 93eqtr2d 2316 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re `  A ) )  -> 
( Im `  (
_i  x.  A )
)  =  0 )
9590, 94reim0bd 11685 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re `  A ) )  -> 
( _i  x.  A
)  e.  RR )
9616, 21addcomd 9014 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )  =  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) ) )
9796ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  0  <_  (
_i  x.  A )
)  ->  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  +  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )  =  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) ) )
98 logrncl 19925 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  =/=  0 )  ->  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  ran  log )
9918, 19, 98syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  e.  ran  log )
10099ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  0  <_  (
_i  x.  A )
)  ->  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  e.  ran  log )
101 1re 8837 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
10295adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  0  <_  (
_i  x.  A )
)  ->  ( _i  x.  A )  e.  RR )
103 readdcl 8820 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( _i  x.  A
)  e.  RR )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  e.  RR )
104101, 102, 103sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  0  <_  (
_i  x.  A )
)  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  RR )
1051a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  0  <_  (
_i  x.  A )
)  ->  0  e.  RR )
106101a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  0  <_  (
_i  x.  A )
)  ->  1  e.  RR )
107 0lt1 9296 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  1
108107a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  0  <_  (
_i  x.  A )
)  ->  0  <  1 )
109 addge01 9284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( _i  x.  A
)  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( _i  x.  A
)  <->  1  <_  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )
110101, 95, 109sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re `  A ) )  -> 
( 0  <_  (
_i  x.  A )  <->  1  <_  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )
111110biimpa 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  0  <_  (
_i  x.  A )
)  ->  1  <_  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )
112105, 106, 104, 108, 111ltletrd 8976 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  0  <_  (
_i  x.  A )
)  ->  0  <  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )
113104, 112elrpd 10388 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  0  <_  (
_i  x.  A )
)  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  RR+ )
114113relogcld 19974 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  0  <_  (
_i  x.  A )
)  ->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR )
115 logrnaddcl 19931 . . . . . 6  |-  ( ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  ran  log  /\  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  +  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  e.  ran  log )
116100, 114, 115syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  0  <_  (
_i  x.  A )
)  ->  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) )  +  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  e.  ran  log )
11797, 116eqeltrd 2357 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  0  <_  (
_i  x.  A )
)  ->  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  +  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )  e.  ran  log )
118 logrncl 19925 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 )  ->  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  e.  ran  log )
11913, 14, 118syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  e.  ran  log )
120119ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  ( _i  x.  A )  <_  0
)  ->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  e.  ran  log )
12195adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  ( _i  x.  A )  <_  0
)  ->  ( _i  x.  A )  e.  RR )
122 resubcl 9111 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( _i  x.  A
)  e.  RR )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  RR )
123101, 121, 122sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  ( _i  x.  A )  <_  0
)  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  RR )
1241a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  ( _i  x.  A )  <_  0
)  ->  0  e.  RR )
125101a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  ( _i  x.  A )  <_  0
)  ->  1  e.  RR )
126107a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  ( _i  x.  A )  <_  0
)  ->  0  <  1 )
1278subid1i 9118 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  -  0 )  =  1
128101a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re `  A ) )  -> 
1  e.  RR )
12995, 89, 128lesub2d 9380 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re `  A ) )  -> 
( ( _i  x.  A )  <_  0  <->  ( 1  -  0 )  <_  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) )
130129biimpa 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  ( _i  x.  A )  <_  0
)  ->  ( 1  -  0 )  <_ 
( 1  -  (
_i  x.  A )
) )
131127, 130syl5eqbrr 4057 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  ( _i  x.  A )  <_  0
)  ->  1  <_  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )
132124, 125, 123, 126, 131ltletrd 8976 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  ( _i  x.  A )  <_  0
)  ->  0  <  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )
133123, 132elrpd 10388 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  ( _i  x.  A )  <_  0
)  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  RR+ )
134133relogcld 19974 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  ( _i  x.  A )  <_  0
)  ->  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  e.  RR )
135 logrnaddcl 19931 . . . . 5  |-  ( ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  e.  ran  log  /\  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )  e.  ran  log )
136120, 134, 135syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  ( _i  x.  A )  <_  0
)  ->  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  +  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )  e.  ran  log )
13789, 95, 117, 136lecasei 8926 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re `  A ) )  -> 
( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  e. 
ran  log )
13888, 137jaodan 760 . 2  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
0  <  ( Re `  A )  \/  0  =  ( Re `  A ) ) )  ->  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )  e.  ran  log )
1397, 138syldan 456 1  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  e. 
ran  log )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023   dom cdm 4689   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738   _ici 8739    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038   (,)cioo 10656   Recre 11582   Imcim 11583   picpi 12348   logclog 19912  arctancatan 20160
This theorem is referenced by:  atanlogadd  20210
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-atan 20163
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