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Theorem atanlogaddlem 20225
Description: Lemma for atanlogadd 20226. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
atanlogaddlem  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  e. 
ran  log )

Proof of Theorem atanlogaddlem
StepHypRef Expression
1 0re 8854 . . . 4  |-  0  e.  RR
2 atandm2 20189 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom arctan  <->  ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  =/=  0  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 ) )
32simp1bi 970 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  A  e.  CC )
43recld 11695 . . . 4  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( Re
`  A )  e.  RR )
5 leloe 8924 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( Re `  A )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  (
Re `  A )  <->  ( 0  <  ( Re
`  A )  \/  0  =  ( Re
`  A ) ) ) )
61, 4, 5sylancr 644 . . 3  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 0  <_  ( Re `  A )  <->  ( 0  <  ( Re `  A )  \/  0  =  ( Re `  A ) ) ) )
76biimpa 470 . 2  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
0  <  ( Re `  A )  \/  0  =  ( Re `  A ) ) )
8 ax-1cn 8811 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
9 ax-icn 8812 . . . . . . . . 9  |-  _i  e.  CC
10 mulcl 8837 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
119, 3, 10sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( _i  x.  A )  e.  CC )
12 addcl 8835 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  e.  CC )
138, 11, 12sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
142simp3bi 972 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 )
15 logcl 19942 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 )  ->  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  e.  CC )
1613, 14, 15syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  e.  CC )
17 subcl 9067 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  CC )
188, 11, 17sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
192simp2bi 971 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 )
20 logcl 19942 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  =/=  0 )  ->  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  CC )
2118, 19, 20syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  e.  CC )
22 addcl 8835 . . . . . 6  |-  ( ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  e.  CC  /\  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  CC )  -> 
( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  e.  CC )
2316, 21, 22syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )  e.  CC )
2423adantr 451 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  e.  CC )
25 pire 19848 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR
2625renegcli 9124 . . . . . . 7  |-  -u pi  e.  RR
2726a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  -u pi  e.  RR )
2821adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) )  e.  CC )
2928imcld 11696 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  e.  RR )
3016adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  e.  CC )
3130imcld 11696 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  e.  RR )
3231, 29readdcld 8878 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )  +  ( Im `  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  e.  RR )
3318adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
34 im1 11656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Im
`  1 )  =  0
3534oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Im `  1 )  -  ( Im `  ( _i  x.  A
) ) )  =  ( 0  -  (
Im `  ( _i  x.  A ) ) )
36 df-neg 9056 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u (
Im `  ( _i  x.  A ) )  =  ( 0  -  (
Im `  ( _i  x.  A ) ) )
3735, 36eqtr4i 2319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Im `  1 )  -  ( Im `  ( _i  x.  A
) ) )  = 
-u ( Im `  ( _i  x.  A
) )
3811adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
39 imsub 11636 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( Im `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  =  ( ( Im `  1
)  -  ( Im
`  ( _i  x.  A ) ) ) )
408, 38, 39sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( ( Im
`  1 )  -  ( Im `  ( _i  x.  A ) ) ) )
413adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  A  e.  CC )
42 reim 11610 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  =  ( Im `  ( _i  x.  A
) ) )
4341, 42syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  A )  =  ( Im `  ( _i  x.  A
) ) )
4443negeqd 9062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  -u (
Re `  A )  =  -u ( Im `  ( _i  x.  A
) ) )
4537, 40, 443eqtr4a 2354 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  =  -u ( Re `  A ) )
464lt0neg2d 9359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 0  <  ( Re `  A )  <->  -u ( Re
`  A )  <  0 ) )
4746biimpa 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  -u (
Re `  A )  <  0 )
4845, 47eqbrtrd 4059 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  <  0 )
49 argimlt0 19983 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  CC  /\  ( Im `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  <  0 )  -> 
( Im `  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) )  e.  ( -u pi (,) 0 ) )
5033, 48, 49syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  e.  ( -u pi (,) 0 ) )
51 eliooord 10726 . . . . . . . 8  |-  ( ( Im `  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )  /\  (
Im `  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  <  0 ) )
5250, 51syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )  /\  (
Im `  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  <  0 ) )
5352simpld 445 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) ) )
5413adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
55 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  0  <  ( Re `  A
) )
56 imadd 11635 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( Im `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( ( Im `  1
)  +  ( Im
`  ( _i  x.  A ) ) ) )
578, 38, 56sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( ( Im
`  1 )  +  ( Im `  (
_i  x.  A )
) ) )
5843oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  1
)  +  ( Re
`  A ) )  =  ( ( Im
`  1 )  +  ( Im `  (
_i  x.  A )
) ) )
5934oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Im `  1 )  +  ( Re `  A ) )  =  ( 0  +  ( Re `  A ) )
6041recld 11695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
6160recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
6261addid2d 9029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
0  +  ( Re
`  A ) )  =  ( Re `  A ) )
6359, 62syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  1
)  +  ( Re
`  A ) )  =  ( Re `  A ) )
6457, 58, 633eqtr2d 2334 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( Re `  A ) )
6555, 64breqtrrd 4065 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  0  <  ( Im `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )
66 argimgt0 19982 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  -> 
( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )  e.  ( 0 (,) pi ) )
6754, 65, 66syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  e.  ( 0 (,) pi ) )
68 eliooord 10726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( 0  < 
( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )  /\  ( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  <  pi ) )
6967, 68syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
0  <  ( Im `  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  /\  (
Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  < 
pi ) )
7069simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  0  <  ( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) ) )
7131, 29ltaddpos2d 9373 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
0  <  ( Im `  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  <->  ( Im `  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )  <  (
( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )  +  ( Im `  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) ) ) )
7270, 71mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  < 
( ( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  +  ( Im
`  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) ) )
7327, 29, 32, 53, 72lttrd 8993 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  +  ( Im
`  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) ) )
7430, 28imaddd 11716 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  +  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  +  ( Im
`  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) ) )
7573, 74breqtrrd 4065 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  -u pi  <  ( Im `  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) ) ) )
7625a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  pi  e.  RR )
771a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  0  e.  RR )
7852simprd 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  <  0 )
7929, 77, 31, 78ltadd2dd 8991 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )  +  ( Im `  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  <  (
( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )  +  0 ) )
8031recnd 8877 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  e.  CC )
8180addid1d 9028 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )  +  0 )  =  ( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) ) )
8279, 81breqtrd 4063 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )  +  ( Im `  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  <  (
Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) ) )
8369simprd 449 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  < 
pi )
8432, 31, 76, 82, 83lttrd 8993 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )  +  ( Im `  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  <  pi )
8532, 76, 84ltled 8983 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )  +  ( Im `  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  <_  pi )
8674, 85eqbrtrd 4059 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  +  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  <_  pi )
87 ellogrn 19933 . . . 4  |-  ( ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  e. 
ran  log  <->  ( ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )  e.  CC  /\  -u pi  <  ( Im
`  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  /\  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  +  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  <_  pi ) )
8824, 75, 86, 87syl3anbrc 1136 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  e. 
ran  log )
891a1i 10 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re `  A ) )  -> 
0  e.  RR )
9011adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re `  A ) )  -> 
( _i  x.  A
)  e.  CC )
91 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re `  A ) )  -> 
0  =  ( Re
`  A ) )
923adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re `  A ) )  ->  A  e.  CC )
9392, 42syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re `  A ) )  -> 
( Re `  A
)  =  ( Im
`  ( _i  x.  A ) ) )
9491, 93eqtr2d 2329 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re `  A ) )  -> 
( Im `  (
_i  x.  A )
)  =  0 )
9590, 94reim0bd 11701 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re `  A ) )  -> 
( _i  x.  A
)  e.  RR )
9616, 21addcomd 9030 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )  =  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) ) )
9796ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  0  <_  (
_i  x.  A )
)  ->  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  +  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )  =  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) ) )
98 logrncl 19941 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  =/=  0 )  ->  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  ran  log )
9918, 19, 98syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  e.  ran  log )
10099ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  0  <_  (
_i  x.  A )
)  ->  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  e.  ran  log )
101 1re 8853 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
10295adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  0  <_  (
_i  x.  A )
)  ->  ( _i  x.  A )  e.  RR )
103 readdcl 8836 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( _i  x.  A
)  e.  RR )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  e.  RR )
104101, 102, 103sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  0  <_  (
_i  x.  A )
)  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  RR )
1051a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  0  <_  (
_i  x.  A )
)  ->  0  e.  RR )
106101a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  0  <_  (
_i  x.  A )
)  ->  1  e.  RR )
107 0lt1 9312 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  1
108107a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  0  <_  (
_i  x.  A )
)  ->  0  <  1 )
109 addge01 9300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( _i  x.  A
)  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( _i  x.  A
)  <->  1  <_  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )
110101, 95, 109sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re `  A ) )  -> 
( 0  <_  (
_i  x.  A )  <->  1  <_  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )
111110biimpa 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  0  <_  (
_i  x.  A )
)  ->  1  <_  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )
112105, 106, 104, 108, 111ltletrd 8992 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  0  <_  (
_i  x.  A )
)  ->  0  <  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )
113104, 112elrpd 10404 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  0  <_  (
_i  x.  A )
)  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  RR+ )
114113relogcld 19990 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  0  <_  (
_i  x.  A )
)  ->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR )
115 logrnaddcl 19947 . . . . . 6  |-  ( ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  ran  log  /\  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  +  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  e.  ran  log )
116100, 114, 115syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  0  <_  (
_i  x.  A )
)  ->  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) )  +  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  e.  ran  log )
11797, 116eqeltrd 2370 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  0  <_  (
_i  x.  A )
)  ->  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  +  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )  e.  ran  log )
118 logrncl 19941 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 )  ->  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  e.  ran  log )
11913, 14, 118syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  e.  ran  log )
120119ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  ( _i  x.  A )  <_  0
)  ->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  e.  ran  log )
12195adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  ( _i  x.  A )  <_  0
)  ->  ( _i  x.  A )  e.  RR )
122 resubcl 9127 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( _i  x.  A
)  e.  RR )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  RR )
123101, 121, 122sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  ( _i  x.  A )  <_  0
)  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  RR )
1241a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  ( _i  x.  A )  <_  0
)  ->  0  e.  RR )
125101a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  ( _i  x.  A )  <_  0
)  ->  1  e.  RR )
126107a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  ( _i  x.  A )  <_  0
)  ->  0  <  1 )
1278subid1i 9134 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  -  0 )  =  1
128101a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re `  A ) )  -> 
1  e.  RR )
12995, 89, 128lesub2d 9396 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re `  A ) )  -> 
( ( _i  x.  A )  <_  0  <->  ( 1  -  0 )  <_  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) )
130129biimpa 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  ( _i  x.  A )  <_  0
)  ->  ( 1  -  0 )  <_ 
( 1  -  (
_i  x.  A )
) )
131127, 130syl5eqbrr 4073 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  ( _i  x.  A )  <_  0
)  ->  1  <_  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )
132124, 125, 123, 126, 131ltletrd 8992 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  ( _i  x.  A )  <_  0
)  ->  0  <  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )
133123, 132elrpd 10404 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  ( _i  x.  A )  <_  0
)  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  RR+ )
134133relogcld 19990 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  ( _i  x.  A )  <_  0
)  ->  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  e.  RR )
135 logrnaddcl 19947 . . . . 5  |-  ( ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  e.  ran  log  /\  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )  e.  ran  log )
136120, 134, 135syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re
`  A ) )  /\  ( _i  x.  A )  <_  0
)  ->  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  +  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )  e.  ran  log )
13789, 95, 117, 136lecasei 8942 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  =  ( Re `  A ) )  -> 
( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  e. 
ran  log )
13888, 137jaodan 760 . 2  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
0  <  ( Re `  A )  \/  0  =  ( Re `  A ) ) )  ->  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )  e.  ran  log )
1397, 138syldan 456 1  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  +  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  e. 
ran  log )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039   dom cdm 4705   ran crn 4706   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754   _ici 8755    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054   (,)cioo 10672   Recre 11598   Imcim 11599   picpi 12364   logclog 19928  arctancatan 20176
This theorem is referenced by:  atanlogadd  20226
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930  df-atan 20179
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