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Theorem atanlogsub 20616
Description: A variation on atanlogadd 20614, to show that  sqr ( 1  +  _i z )  /  sqr ( 1  -  _i z )  =  sqr ( ( 1  +  _i z )  /  ( 1  -  _i z ) ) under more limited conditions. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
atanlogsub  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  =/=  0 )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  e. 
ran  log )

Proof of Theorem atanlogsub
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 8974 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
2 ax-icn 8975 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
3 atandm2 20577 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom arctan  <->  ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  =/=  0  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 ) )
43simp1bi 972 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  A  e.  CC )
5 mulcl 9000 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
62, 4, 5sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( _i  x.  A )  e.  CC )
7 addcl 8998 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  e.  CC )
81, 6, 7sylancr 645 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
93simp3bi 974 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 )
108, 9logcld 20328 . . . 4  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  e.  CC )
11 subcl 9230 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  CC )
121, 6, 11sylancr 645 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
133simp2bi 973 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 )
1412, 13logcld 20328 . . . 4  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  e.  CC )
1510, 14subcld 9336 . . 3  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )  e.  CC )
1615adantr 452 . 2  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  =/=  0 )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  e.  CC )
174recld 11919 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( Re
`  A )  e.  RR )
18 0re 9017 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
19 lttri2 9083 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( Re `  A )  =/=  0  <->  ( ( Re `  A
)  <  0  \/  0  <  ( Re `  A ) ) ) )
2017, 18, 19sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( ( Re `  A )  =/=  0  <->  ( (
Re `  A )  <  0  \/  0  < 
( Re `  A
) ) ) )
2120biimpa 471 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  =/=  0 )  ->  (
( Re `  A
)  <  0  \/  0  <  ( Re `  A ) ) )
2215imnegd 11935 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( Im
`  -u ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) ) )  =  -u (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) ) )
2310, 14negsubdi2d 9352 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  -u (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  =  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) ) )
24 mulneg2 9396 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  -u A
)  =  -u (
_i  x.  A )
)
252, 4, 24sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( _i  x.  -u A )  = 
-u ( _i  x.  A ) )
2625oveq2d 6029 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  +  ( _i  x.  -u A ) )  =  ( 1  +  -u ( _i  x.  A
) ) )
27 negsub 9274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  + 
-u ( _i  x.  A ) )  =  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )
281, 6, 27sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  +  -u ( _i  x.  A ) )  =  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )
2926, 28eqtrd 2412 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  +  ( _i  x.  -u A ) )  =  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )
3029fveq2d 5665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  -u A
) ) )  =  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )
3125oveq2d 6029 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  -  ( _i  x.  -u A ) )  =  ( 1  -  -u (
_i  x.  A )
) )
32 subneg 9275 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  - 
-u ( _i  x.  A ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )
331, 6, 32sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  -  -u ( _i  x.  A ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )
3431, 33eqtrd 2412 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( 1  -  ( _i  x.  -u A ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )
3534fveq2d 5665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  -u A ) ) )  =  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )
3630, 35oveq12d 6031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  -u A ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  -u A ) ) ) )  =  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) ) )
3723, 36eqtr4d 2415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  -u (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  =  ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  -u A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  -u A ) ) ) ) )
3837fveq2d 5665 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( Im
`  -u ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) ) )  =  ( Im
`  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  -u A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  -u A ) ) ) ) ) )
3922, 38eqtr3d 2414 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  -u (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  =  ( Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  -u A ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  -u A ) ) ) ) ) )
4039adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <  0 )  ->  -u (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  =  ( Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  -u A ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  -u A ) ) ) ) ) )
41 atandmneg 20606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  -u A  e.  dom arctan )
4241adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <  0 )  ->  -u A  e.  dom arctan )
4317lt0neg1d 9521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  ( ( Re `  A )  <  0  <->  0  <  -u ( Re `  A
) ) )
4443biimpa 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <  0 )  ->  0  <  -u ( Re `  A ) )
454adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <  0 )  ->  A  e.  CC )
4645renegd 11934 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <  0 )  ->  (
Re `  -u A )  =  -u ( Re `  A ) )
4744, 46breqtrrd 4172 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <  0 )  ->  0  <  ( Re `  -u A
) )
48 atanlogsublem 20615 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re
`  -u A ) )  ->  ( Im `  ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  -u A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  -u A ) ) ) ) )  e.  ( -u pi (,) pi ) )
4942, 47, 48syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <  0 )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  -u A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  -u A ) ) ) ) )  e.  (
-u pi (,) pi ) )
50 pire 20232 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  RR
5150recni 9028 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  CC
5251negnegi 9295 . . . . . . . . . 10  |-  -u -u pi  =  pi
5352oveq2i 6024 . . . . . . . . 9  |-  ( -u pi (,) -u -u pi )  =  ( -u pi (,) pi )
5449, 53syl6eleqr 2471 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <  0 )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  -u A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  -u A ) ) ) ) )  e.  (
-u pi (,) -u -u pi ) )
5540, 54eqeltrd 2454 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <  0 )  ->  -u (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  e.  (
-u pi (,) -u -u pi ) )
5650renegcli 9287 . . . . . . . . 9  |-  -u pi  e.  RR
5756a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <  0 )  ->  -u pi  e.  RR )
5850a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <  0 )  ->  pi  e.  RR )
5915adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <  0 )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  e.  CC )
6059imcld 11920 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <  0 )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  e.  RR )
61 iooneg 10942 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  e.  RR )  ->  (
( Im `  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) ) )  e.  ( -u pi (,) pi )  <->  -u ( Im
`  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) ) )  e.  ( -u pi (,) -u -u pi ) ) )
6257, 58, 60, 61syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <  0 )  ->  (
( Im `  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) ) )  e.  ( -u pi (,) pi )  <->  -u ( Im
`  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) ) )  e.  ( -u pi (,) -u -u pi ) ) )
6355, 62mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  <  0 )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  e.  (
-u pi (,) pi ) )
64 atanlogsublem 20615 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  e.  (
-u pi (,) pi ) )
6563, 64jaodan 761 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
( Re `  A
)  <  0  \/  0  <  ( Re `  A ) ) )  ->  ( Im `  ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) ) )  e.  ( -u pi (,) pi ) )
6621, 65syldan 457 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  =/=  0 )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  e.  (
-u pi (,) pi ) )
67 eliooord 10895 . . . 4  |-  ( ( Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  e.  ( -u pi (,) pi )  ->  ( -u pi  <  ( Im `  ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) ) )  /\  ( Im `  ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) ) )  <  pi ) )
6866, 67syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  =/=  0 )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) ) )  /\  ( Im
`  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) ) )  <  pi ) )
6968simpld 446 . 2  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  =/=  0 )  ->  -u pi  <  ( Im `  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) ) ) )
7068simprd 450 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  =/=  0 )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  <  pi )
7116imcld 11920 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  =/=  0 )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  e.  RR )
72 ltle 9089 . . . 4  |-  ( ( ( Im `  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) ) )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( Im `  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) ) )  <  pi  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  <_  pi ) )
7371, 50, 72sylancl 644 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  =/=  0 )  ->  (
( Im `  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) ) )  <  pi  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  <_  pi ) )
7470, 73mpd 15 . 2  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  =/=  0 )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  <_  pi )
75 ellogrn 20317 . 2  |-  ( ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  e. 
ran  log  <->  ( ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )  e.  CC  /\  -u pi  <  ( Im
`  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) ) )  /\  ( Im
`  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) ) )  <_  pi )
)
7616, 69, 74, 75syl3anbrc 1138 1  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  (
Re `  A )  =/=  0 )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  e. 
ran  log )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2543   class class class wbr 4146   dom cdm 4811   ran crn 4812   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   CCcc 8914   RRcr 8915   0cc0 8916   1c1 8917   _ici 8918    + caddc 8919    x. cmul 8921    < clt 9046    <_ cle 9047    - cmin 9216   -ucneg 9217   (,)cioo 10841   Recre 11822   Imcim 11823   picpi 12589   logclog 20312  arctancatan 20564
This theorem is referenced by:  atantan  20623
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994  ax-addf 8995  ax-mulf 8996
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-iin 4031  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-of 6237  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-2o 6654  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-pm 6950  df-ixp 6993  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-fi 7344  df-sup 7374  df-oi 7405  df-card 7752  df-cda 7974  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-7 9988  df-8 9989  df-9 9990  df-10 9991  df-n0 10147  df-z 10208  df-dec 10308  df-uz 10414  df-q 10500  df-rp 10538  df-xneg 10635  df-xadd 10636  df-xmul 10637  df-ioo 10845  df-ioc 10846  df-ico 10847  df-icc 10848  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-fl 11122  df-mod 11171  df-seq 11244  df-exp 11303  df-fac 11487  df-bc 11514  df-hash 11539  df-shft 11802  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-limsup 12185  df-clim 12202  df-rlim 12203  df-sum 12400  df-ef 12590  df-sin 12592  df-cos 12593  df-tan 12594  df-pi 12595  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-starv 13464  df-sca 13465  df-vsca 13466  df-tset 13468  df-ple 13469  df-ds 13471  df-unif 13472  df-hom 13473  df-cco 13474  df-rest 13570  df-topn 13571  df-topgen 13587  df-pt 13588  df-prds 13591  df-xrs 13646  df-0g 13647  df-gsum 13648  df-qtop 13653  df-imas 13654  df-xps 13656  df-mre 13731  df-mrc 13732  df-acs 13734  df-mnd 14610  df-submnd 14659  df-mulg 14735  df-cntz 15036  df-cmn 15334  df-xmet 16612  df-met 16613  df-bl 16614  df-mopn 16615  df-fbas 16616  df-fg 16617  df-cnfld 16620  df-top 16879  df-bases 16881  df-topon 16882  df-topsp 16883  df-cld 16999  df-ntr 17000  df-cls 17001  df-nei 17078  df-lp 17116  df-perf 17117  df-cn 17206  df-cnp 17207  df-haus 17294  df-tx 17508  df-hmeo 17701  df-fil 17792  df-fm 17884  df-flim 17885  df-flf 17886  df-xms 18252  df-ms 18253  df-tms 18254  df-cncf 18772  df-limc 19613  df-dv 19614  df-log 20314  df-atan 20567
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