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Theorem atanlogsublem 20211
Description: Lemma for atanlogsub 20212. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
atanlogsublem  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  e.  (
-u pi (,) pi ) )

Proof of Theorem atanlogsublem
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 8795 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
2 ax-icn 8796 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
3 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  A  e.  dom arctan )
4 atandm2 20173 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  dom arctan  <->  ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  =/=  0  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 ) )
53, 4sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( A  e.  CC  /\  (
1  -  ( _i  x.  A ) )  =/=  0  /\  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 ) )
65simp1d 967 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  A  e.  CC )
7 mulcl 8821 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
82, 6, 7sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
9 addcl 8819 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  e.  CC )
101, 8, 9sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
115simp3d 969 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 )
12 logcl 19926 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 )  ->  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  e.  CC )
1310, 11, 12syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  e.  CC )
14 subcl 9051 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  CC )
151, 8, 14sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
165simp2d 968 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
1  -  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 )
17 logcl 19926 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  =/=  0 )  ->  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  CC )
1815, 16, 17syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) )  e.  CC )
1913, 18imsubd 11702 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )  -  ( Im `  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) ) )
202a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  _i  e.  CC )
2120, 6, 20subdid 9235 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
_i  x.  ( A  -  _i ) )  =  ( ( _i  x.  A )  -  (
_i  x.  _i )
) )
22 ixi 9397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
2322oveq2i 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  x.  A )  -  ( _i  x.  _i ) )  =  ( ( _i  x.  A
)  -  -u 1
)
24 subneg 9096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  A )  -  -u 1
)  =  ( ( _i  x.  A )  +  1 ) )
258, 1, 24sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( _i  x.  A
)  -  -u 1
)  =  ( ( _i  x.  A )  +  1 ) )
2623, 25syl5eq 2327 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( _i  x.  A
)  -  ( _i  x.  _i ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  1 ) )
27 addcom 8998 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  A )  +  1 )  =  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )
288, 1, 27sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( _i  x.  A
)  +  1 )  =  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )
2921, 26, 283eqtrd 2319 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
_i  x.  ( A  -  _i ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )
3029fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  ( _i  x.  ( A  -  _i ) ) )  =  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )
31 subcl 9051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( A  -  _i )  e.  CC )
326, 2, 31sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( A  -  _i )  e.  CC )
33 resub 11612 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( Re `  ( A  -  _i )
)  =  ( ( Re `  A )  -  ( Re `  _i ) ) )
346, 2, 33sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  ( A  -  _i ) )  =  ( ( Re `  A )  -  (
Re `  _i )
) )
35 rei 11641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Re
`  _i )  =  0
3635oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Re `  A )  -  ( Re `  _i ) )  =  ( ( Re `  A
)  -  0 )
376recld 11679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
3837recnd 8861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
3938subid1d 9146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Re `  A
)  -  0 )  =  ( Re `  A ) )
4036, 39syl5eq 2327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Re `  A
)  -  ( Re
`  _i ) )  =  ( Re `  A ) )
4134, 40eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  ( A  -  _i ) )  =  ( Re `  A
) )
42 gt0ne0 9239 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( Re `  A
)  =/=  0 )
4337, 42sylancom 648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  A )  =/=  0 )
4441, 43eqnetrd 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  ( A  -  _i ) )  =/=  0 )
45 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  -  _i )  =  0  ->  (
Re `  ( A  -  _i ) )  =  ( Re `  0
) )
46 re0 11637 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Re
`  0 )  =  0
4745, 46syl6eq 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  -  _i )  =  0  ->  (
Re `  ( A  -  _i ) )  =  0 )
4847necon3i 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Re `  ( A  -  _i ) )  =/=  0  ->  ( A  -  _i )  =/=  0 )
4944, 48syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( A  -  _i )  =/=  0 )
50 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  0  <  ( Re `  A
) )
51 0re 8838 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
52 ltle 8910 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( Re `  A )  e.  RR )  -> 
( 0  <  (
Re `  A )  ->  0  <_  ( Re `  A ) ) )
5351, 37, 52sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
0  <  ( Re `  A )  ->  0  <_  ( Re `  A
) ) )
5450, 53mpd 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  0  <_  ( Re `  A
) )
5554, 41breqtrrd 4049 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  0  <_  ( Re `  ( A  -  _i )
) )
56 logimul 19968 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  -  _i )  e.  CC  /\  ( A  -  _i )  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  ( A  -  _i )
) )  ->  ( log `  ( _i  x.  ( A  -  _i ) ) )  =  ( ( log `  ( A  -  _i )
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) )
5732, 49, 55, 56syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  ( _i  x.  ( A  -  _i ) ) )  =  ( ( log `  ( A  -  _i )
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) )
5830, 57eqtr3d 2317 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  =  ( ( log `  ( A  -  _i )
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) )
5958fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  =  ( Im `  (
( log `  ( A  -  _i )
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) ) )
60 logcl 19926 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  -  _i )  e.  CC  /\  ( A  -  _i )  =/=  0 )  ->  ( log `  ( A  -  _i ) )  e.  CC )
6132, 49, 60syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  ( A  -  _i ) )  e.  CC )
62 pire 19832 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  RR
63 rehalfcl 9938 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR )
6462, 63ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
6564recni 8849 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
662, 65mulcli 8842 . . . . . . 7  |-  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) )  e.  CC
67 imadd 11619 . . . . . . 7  |-  ( ( ( log `  ( A  -  _i )
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) )  e.  CC )  ->  ( Im `  ( ( log `  ( A  -  _i )
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  +  ( Im `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) ) ) )
6861, 66, 67sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( A  -  _i ) )  +  ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  +  ( Im `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) ) ) )
69 reim 11594 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  CC  ->  (
Re `  ( pi  /  2 ) )  =  ( Im `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) ) )
7065, 69ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( Re
`  ( pi  / 
2 ) )  =  ( Im `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) )
71 rere 11607 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  (
Re `  ( pi  /  2 ) )  =  ( pi  /  2
) )
7264, 71ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( Re
`  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
7370, 72eqtr3i 2305 . . . . . . 7  |-  ( Im
`  ( _i  x.  ( pi  /  2
) ) )  =  ( pi  /  2
)
7473oveq2i 5869 . . . . . 6  |-  ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  +  ( Im `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  +  ( pi  /  2
) )
7568, 74syl6eq 2331 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( A  -  _i ) )  +  ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  +  ( pi  /  2
) ) )
7659, 75eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  +  ( pi 
/  2 ) ) )
77 addcl 8819 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( A  +  _i )  e.  CC )
786, 2, 77sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( A  +  _i )  e.  CC )
79 mulcl 8821 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( A  +  _i )  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( A  +  _i )
)  e.  CC )
802, 78, 79sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
_i  x.  ( A  +  _i ) )  e.  CC )
81 reim 11594 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  +  _i )  e.  CC  ->  (
Re `  ( A  +  _i ) )  =  ( Im `  (
_i  x.  ( A  +  _i ) ) ) )
8278, 81syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  ( A  +  _i ) )  =  ( Im `  (
_i  x.  ( A  +  _i ) ) ) )
83 readd 11611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( Re `  ( A  +  _i )
)  =  ( ( Re `  A )  +  ( Re `  _i ) ) )
846, 2, 83sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  ( A  +  _i ) )  =  ( ( Re `  A )  +  ( Re `  _i ) ) )
8535oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Re `  A )  +  ( Re `  _i ) )  =  ( ( Re `  A
)  +  0 )
8638addid1d 9012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Re `  A
)  +  0 )  =  ( Re `  A ) )
8785, 86syl5eq 2327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Re `  A
)  +  ( Re
`  _i ) )  =  ( Re `  A ) )
8884, 87eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  ( A  +  _i ) )  =  ( Re `  A
) )
8982, 88eqtr3d 2317 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( _i  x.  ( A  +  _i ) ) )  =  ( Re `  A
) )
9050, 89breqtrrd 4049 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  0  <  ( Im `  (
_i  x.  ( A  +  _i ) ) ) )
91 logneg2 19969 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( _i  x.  ( A  +  _i )
)  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  ( _i  x.  ( A  +  _i )
) ) )  -> 
( log `  -u (
_i  x.  ( A  +  _i ) ) )  =  ( ( log `  ( _i  x.  ( A  +  _i )
) )  -  (
_i  x.  pi )
) )
9280, 90, 91syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  -u ( _i  x.  ( A  +  _i ) ) )  =  ( ( log `  (
_i  x.  ( A  +  _i ) ) )  -  ( _i  x.  pi ) ) )
9320, 6, 20adddid 8859 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
_i  x.  ( A  +  _i ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( _i  x.  _i ) ) )
9422oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  x.  A )  +  ( _i  x.  _i ) )  =  ( ( _i  x.  A
)  +  -u 1
)
95 negsub 9095 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  A )  +  -u
1 )  =  ( ( _i  x.  A
)  -  1 ) )
968, 1, 95sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( _i  x.  A
)  +  -u 1
)  =  ( ( _i  x.  A )  -  1 ) )
9794, 96syl5eq 2327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( _i  x.  A
)  +  ( _i  x.  _i ) )  =  ( ( _i  x.  A )  - 
1 ) )
9893, 97eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
_i  x.  ( A  +  _i ) )  =  ( ( _i  x.  A )  -  1 ) )
9998negeqd 9046 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  -u (
_i  x.  ( A  +  _i ) )  = 
-u ( ( _i  x.  A )  - 
1 ) )
100 negsubdi2 9106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( ( _i  x.  A )  - 
1 )  =  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )
1018, 1, 100sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  -u (
( _i  x.  A
)  -  1 )  =  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) )
10299, 101eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  -u (
_i  x.  ( A  +  _i ) )  =  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )
103102fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  -u ( _i  x.  ( A  +  _i ) ) )  =  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )
10488, 43eqnetrd 2464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  ( A  +  _i ) )  =/=  0 )
105 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  +  _i )  =  0  ->  (
Re `  ( A  +  _i ) )  =  ( Re `  0
) )
106105, 46syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  +  _i )  =  0  ->  (
Re `  ( A  +  _i ) )  =  0 )
107106necon3i 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Re `  ( A  +  _i ) )  =/=  0  ->  ( A  +  _i )  =/=  0 )
108104, 107syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( A  +  _i )  =/=  0 )
10954, 88breqtrrd 4049 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  0  <_  ( Re `  ( A  +  _i )
) )
110 logimul 19968 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  +  _i )  e.  CC  /\  ( A  +  _i )  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  ( A  +  _i )
) )  ->  ( log `  ( _i  x.  ( A  +  _i ) ) )  =  ( ( log `  ( A  +  _i )
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) )
11178, 108, 109, 110syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  ( _i  x.  ( A  +  _i ) ) )  =  ( ( log `  ( A  +  _i )
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) )
112111oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( log `  (
_i  x.  ( A  +  _i ) ) )  -  ( _i  x.  pi ) )  =  ( ( ( log `  ( A  +  _i )
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  -  ( _i  x.  pi ) ) )
113 logcl 19926 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  +  _i )  e.  CC  /\  ( A  +  _i )  =/=  0 )  ->  ( log `  ( A  +  _i ) )  e.  CC )
11478, 108, 113syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  ( A  +  _i ) )  e.  CC )
11566a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) )  e.  CC )
11662recni 8849 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  CC
1172, 116mulcli 8842 . . . . . . . . . 10  |-  ( _i  x.  pi )  e.  CC
118117a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
_i  x.  pi )  e.  CC )
119114, 115, 118addsubassd 9177 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( ( log `  ( A  +  _i )
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  -  ( _i  x.  pi ) )  =  ( ( log `  ( A  +  _i )
)  +  ( ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) )  -  ( _i  x.  pi ) ) ) )
120112, 119eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( log `  (
_i  x.  ( A  +  _i ) ) )  -  ( _i  x.  pi ) )  =  ( ( log `  ( A  +  _i )
)  +  ( ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) )  -  ( _i  x.  pi ) ) ) )
12192, 103, 1203eqtr3d 2323 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) )  =  ( ( log `  ( A  +  _i )
)  +  ( ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) )  -  ( _i  x.  pi ) ) ) )
122121fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  =  ( Im `  (
( log `  ( A  +  _i )
)  +  ( ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) )  -  ( _i  x.  pi ) ) ) ) )
12366, 117subcli 9122 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) )  -  ( _i  x.  pi ) )  e.  CC
124 imadd 11619 . . . . . . 7  |-  ( ( ( log `  ( A  +  _i )
)  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  ( pi  /  2
) )  -  (
_i  x.  pi )
)  e.  CC )  ->  ( Im `  ( ( log `  ( A  +  _i )
)  +  ( ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) )  -  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( Im
`  ( log `  ( A  +  _i )
) )  +  ( Im `  ( ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) )  -  ( _i  x.  pi ) ) ) ) )
125114, 123, 124sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( A  +  _i ) )  +  ( ( _i  x.  (
pi  /  2 ) )  -  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  +  ( Im `  (
( _i  x.  (
pi  /  2 ) )  -  ( _i  x.  pi ) ) ) ) )
126 imsub 11620 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( _i  x.  (
pi  /  2 ) )  e.  CC  /\  ( _i  x.  pi )  e.  CC )  ->  ( Im `  (
( _i  x.  (
pi  /  2 ) )  -  ( _i  x.  pi ) ) )  =  ( ( Im `  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  -  ( Im `  ( _i  x.  pi ) ) ) )
12766, 117, 126mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( Im
`  ( ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) )  -  ( _i  x.  pi ) ) )  =  ( ( Im `  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) )  -  (
Im `  ( _i  x.  pi ) ) )
128 reim 11594 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi  e.  CC  ->  (
Re `  pi )  =  ( Im `  ( _i  x.  pi ) ) )
129116, 128ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( Re
`  pi )  =  ( Im `  (
_i  x.  pi )
)
130 rere 11607 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi  e.  RR  ->  (
Re `  pi )  =  pi )
13162, 130ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( Re
`  pi )  =  pi
132129, 131eqtr3i 2305 . . . . . . . . 9  |-  ( Im
`  ( _i  x.  pi ) )  =  pi
13373, 132oveq12i 5870 . . . . . . . 8  |-  ( ( Im `  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  -  ( Im `  ( _i  x.  pi ) ) )  =  ( ( pi  / 
2 )  -  pi )
13465negcli 9114 . . . . . . . . 9  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  CC
135116, 65negsubi 9124 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi  +  -u ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  -  (
pi  /  2 ) )
136 2halves 9940 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( pi  e.  CC  ->  (
( pi  /  2
)  +  ( pi 
/  2 ) )  =  pi )
137116, 136ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( pi  /  2 )  +  ( pi  / 
2 ) )  =  pi
138116, 65, 65, 137subaddrii 9135 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
-  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
139135, 138eqtri 2303 . . . . . . . . 9  |-  ( pi  +  -u ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
14065, 116, 134, 139subaddrii 9135 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  /  2 )  -  pi )  = 
-u ( pi  / 
2 )
141127, 133, 1403eqtri 2307 . . . . . . 7  |-  ( Im
`  ( ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) )  -  ( _i  x.  pi ) ) )  = 
-u ( pi  / 
2 )
142141oveq2i 5869 . . . . . 6  |-  ( ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  +  ( Im `  (
( _i  x.  (
pi  /  2 ) )  -  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  + 
-u ( pi  / 
2 ) )
143125, 142syl6eq 2331 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( A  +  _i ) )  +  ( ( _i  x.  (
pi  /  2 ) )  -  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  + 
-u ( pi  / 
2 ) ) )
144122, 143eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  +  -u (
pi  /  2 ) ) )
14576, 144oveq12d 5876 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )  -  ( Im `  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  =  ( ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  +  ( pi 
/  2 ) )  -  ( ( Im
`  ( log `  ( A  +  _i )
) )  +  -u ( pi  /  2
) ) ) )
14661imcld 11680 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  e.  RR )
147146recnd 8861 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  e.  CC )
14865a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
pi  /  2 )  e.  CC )
149114imcld 11680 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  e.  RR )
150149recnd 8861 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  e.  CC )
151134a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  -u (
pi  /  2 )  e.  CC )
152147, 148, 150, 151addsub4d 9204 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  +  ( pi 
/  2 ) )  -  ( ( Im
`  ( log `  ( A  +  _i )
) )  +  -u ( pi  /  2
) ) )  =  ( ( ( Im
`  ( log `  ( A  -  _i )
) )  -  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  +  ( ( pi 
/  2 )  -  -u ( pi  /  2
) ) ) )
15365, 65subnegi 9125 . . . . . 6  |-  ( ( pi  /  2 )  -  -u ( pi  / 
2 ) )  =  ( ( pi  / 
2 )  +  ( pi  /  2 ) )
154153, 137eqtri 2303 . . . . 5  |-  ( ( pi  /  2 )  -  -u ( pi  / 
2 ) )  =  pi
155154oveq2i 5869 . . . 4  |-  ( ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  +  ( ( pi 
/  2 )  -  -u ( pi  /  2
) ) )  =  ( ( ( Im
`  ( log `  ( A  -  _i )
) )  -  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  +  pi )
156152, 155syl6eq 2331 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  +  ( pi 
/  2 ) )  -  ( ( Im
`  ( log `  ( A  +  _i )
) )  +  -u ( pi  /  2
) ) )  =  ( ( ( Im
`  ( log `  ( A  -  _i )
) )  -  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  +  pi ) )
15719, 145, 1563eqtrd 2319 . 2  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  =  ( ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im
`  ( log `  ( A  +  _i )
) ) )  +  pi ) )
158146, 149resubcld 9211 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  e.  RR )
159 readdcl 8820 . . . 4  |-  ( ( ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im
`  ( log `  ( A  +  _i )
) ) )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  ( ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  +  pi )  e.  RR )
160158, 62, 159sylancl 643 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im
`  ( log `  ( A  +  _i )
) ) )  +  pi )  e.  RR )
16162renegcli 9108 . . . . . . 7  |-  -u pi  e.  RR
162161recni 8849 . . . . . 6  |-  -u pi  e.  CC
163162, 116negsubi 9124 . . . . 5  |-  ( -u pi  +  -u pi )  =  ( -u pi  -  pi )
164161a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  -u pi  e.  RR )
165149renegcld 9210 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  -u (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  e.  RR )
166 logimcl 19927 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  -  _i )  e.  CC  /\  ( A  -  _i )  =/=  0 )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  ( A  -  _i )
) )  /\  (
Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  <_  pi ) )
16732, 49, 166syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  ( A  -  _i )
) )  /\  (
Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  <_  pi ) )
168167simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) ) )
169 logimcl 19927 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  +  _i )  e.  CC  /\  ( A  +  _i )  =/=  0 )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  ( A  +  _i )
) )  /\  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  <_  pi ) )
17078, 108, 169syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  ( A  +  _i )
) )  /\  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  <_  pi ) )
171170simprd 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  <_  pi )
172 leneg 9277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  ( ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  <_  pi 
<-> 
-u pi  <_  -u (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) ) )
173149, 62, 172sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  <_  pi 
<-> 
-u pi  <_  -u (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) ) )
174171, 173mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  -u pi  <_ 
-u ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )
175164, 164, 146, 165, 168, 174ltleaddd 9392 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( -u pi  +  -u pi )  <  ( ( Im
`  ( log `  ( A  -  _i )
) )  +  -u ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) ) )
176147, 150negsubd 9163 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  + 
-u ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) ) )
177175, 176breqtrd 4047 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( -u pi  +  -u pi )  <  ( ( Im
`  ( log `  ( A  -  _i )
) )  -  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) ) )
178163, 177syl5eqbrr 4057 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( -u pi  -  pi )  <  ( ( Im
`  ( log `  ( A  -  _i )
) )  -  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) ) )
17962a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  pi  e.  RR )
180164, 179, 158ltsubaddd 9368 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( -u pi  -  pi )  <  ( ( Im
`  ( log `  ( A  -  _i )
) )  -  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  <->  -u pi  <  ( ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  +  pi ) ) )
181178, 180mpbid 201 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  -u pi  <  ( ( ( Im
`  ( log `  ( A  -  _i )
) )  -  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  +  pi ) )
18251a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  0  e.  RR )
1836imcld 11680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
184 peano2rem 9113 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Im `  A )  e.  RR  ->  (
( Im `  A
)  -  1 )  e.  RR )
185183, 184syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  A
)  -  1 )  e.  RR )
186 peano2re 8985 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Im `  A )  e.  RR  ->  (
( Im `  A
)  +  1 )  e.  RR )
187183, 186syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  A
)  +  1 )  e.  RR )
188183ltm1d 9689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  A
)  -  1 )  <  ( Im `  A ) )
189183ltp1d 9687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  A )  <  ( ( Im `  A )  +  1 ) )
190185, 183, 187, 188, 189lttrd 8977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  A
)  -  1 )  <  ( ( Im
`  A )  +  1 ) )
191 ltdiv1 9620 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Im `  A )  -  1 )  e.  RR  /\  ( ( Im `  A )  +  1 )  e.  RR  /\  ( ( Re `  A )  e.  RR  /\  0  <  ( Re
`  A ) ) )  ->  ( (
( Im `  A
)  -  1 )  <  ( ( Im
`  A )  +  1 )  <->  ( (
( Im `  A
)  -  1 )  /  ( Re `  A ) )  < 
( ( ( Im
`  A )  +  1 )  /  (
Re `  A )
) ) )
192185, 187, 37, 50, 191syl112anc 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( ( Im `  A )  -  1 )  <  ( ( Im `  A )  +  1 )  <->  ( (
( Im `  A
)  -  1 )  /  ( Re `  A ) )  < 
( ( ( Im
`  A )  +  1 )  /  (
Re `  A )
) ) )
193190, 192mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( ( Im `  A )  -  1 )  /  ( Re
`  A ) )  <  ( ( ( Im `  A )  +  1 )  / 
( Re `  A
) ) )
194 imsub 11620 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( Im `  ( A  -  _i )
)  =  ( ( Im `  A )  -  ( Im `  _i ) ) )
1956, 2, 194sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( A  -  _i ) )  =  ( ( Im `  A )  -  (
Im `  _i )
) )
196 imi 11642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Im
`  _i )  =  1
197196oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Im `  A )  -  ( Im `  _i ) )  =  ( ( Im `  A
)  -  1 )
198195, 197syl6eq 2331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( A  -  _i ) )  =  ( ( Im `  A )  -  1 ) )
199198, 41oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( A  -  _i )
)  /  ( Re
`  ( A  -  _i ) ) )  =  ( ( ( Im
`  A )  - 
1 )  /  (
Re `  A )
) )
200 imadd 11619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( Im `  ( A  +  _i )
)  =  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  _i ) ) )
2016, 2, 200sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( A  +  _i ) )  =  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  _i ) ) )
202196oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  _i ) )  =  ( ( Im `  A
)  +  1 )
203201, 202syl6eq 2331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( A  +  _i ) )  =  ( ( Im `  A )  +  1 ) )
204203, 88oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( A  +  _i )
)  /  ( Re
`  ( A  +  _i ) ) )  =  ( ( ( Im
`  A )  +  1 )  /  (
Re `  A )
) )
205193, 199, 2043brtr4d 4053 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( A  -  _i )
)  /  ( Re
`  ( A  -  _i ) ) )  < 
( ( Im `  ( A  +  _i ) )  /  (
Re `  ( A  +  _i ) ) ) )
206 tanarg 19970 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  -  _i )  e.  CC  /\  (
Re `  ( A  -  _i ) )  =/=  0 )  ->  ( tan `  ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( A  -  _i )
)  /  ( Re
`  ( A  -  _i ) ) ) )
20732, 44, 206syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( tan `  ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( A  -  _i )
)  /  ( Re
`  ( A  -  _i ) ) ) )
208 tanarg 19970 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  +  _i )  e.  CC  /\  (
Re `  ( A  +  _i ) )  =/=  0 )  ->  ( tan `  ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( A  +  _i )
)  /  ( Re
`  ( A  +  _i ) ) ) )
20978, 104, 208syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( tan `  ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( A  +  _i )
)  /  ( Re
`  ( A  +  _i ) ) ) )
210205, 207, 2093brtr4d 4053 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( tan `  ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) ) )  <  ( tan `  ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) ) )
21150, 41breqtrrd 4049 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  0  <  ( Re `  ( A  -  _i )
) )
212 argregt0 19964 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  -  _i )  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  ( A  -  _i )
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
21332, 211, 212syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
21450, 88breqtrrd 4049 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  0  <  ( Re `  ( A  +  _i )
) )
215 argregt0 19964 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  +  _i )  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  ( A  +  _i )
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
21678, 214, 215syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
217 tanord 19900 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  <  ( Im
`  ( log `  ( A  +  _i )
) )  <->  ( tan `  ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) ) )  <  ( tan `  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) ) ) )
218213, 216, 217syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  < 
( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  <->  ( tan `  ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) ) )  <  ( tan `  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) ) ) )
219210, 218mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  < 
( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )
220150addid2d 9013 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
0  +  ( Im
`  ( log `  ( A  +  _i )
) ) )  =  ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )
221219, 220breqtrrd 4049 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  < 
( 0  +  ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) ) )
222146, 149, 182ltsubaddd 9368 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im
`  ( log `  ( A  +  _i )
) ) )  <  0  <->  ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  <  ( 0  +  ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) ) ) )
223221, 222mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  <  0 )
224158, 182, 179, 223ltadd1dd 9383 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im
`  ( log `  ( A  +  _i )
) ) )  +  pi )  <  (
0  +  pi ) )
225116addid2i 9000 . . . 4  |-  ( 0  +  pi )  =  pi
226224, 225syl6breq 4062 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im
`  ( log `  ( A  +  _i )
) ) )  +  pi )  <  pi )
227 ressxr 8876 . . . . 5  |-  RR  C_  RR*
228227, 161sselii 3177 . . . 4  |-  -u pi  e.  RR*
229227, 62sselii 3177 . . . 4  |-  pi  e.  RR*
230 elioo2 10697 . . . 4  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  ( ( ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  +  pi )  e.  ( -u pi (,) pi )  <->  ( ( ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  +  pi )  e.  RR  /\  -u pi  <  ( ( ( Im
`  ( log `  ( A  -  _i )
) )  -  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  +  pi )  /\  ( ( ( Im
`  ( log `  ( A  -  _i )
) )  -  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  +  pi )  < 
pi ) ) )
231228, 229, 230mp2an 653 . . 3  |-  ( ( ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im
`  ( log `  ( A  +  _i )
) ) )  +  pi )  e.  (
-u pi (,) pi ) 
<->  ( ( ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  +  pi )  e.  RR  /\  -u pi  <  ( ( ( Im
`  ( log `  ( A  -  _i )
) )  -  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  +  pi )  /\  ( ( ( Im
`  ( log `  ( A  -  _i )
) )  -  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  +  pi )  < 
pi ) )
232160, 181, 226, 231syl3anbrc 1136 . 2  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im
`  ( log `  ( A  +  _i )
) ) )  +  pi )  e.  (
-u pi (,) pi ) )
233157, 232eqeltrd 2357 1  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  e.  (
-u pi (,) pi ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023   dom cdm 4689   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738   _ici 8739    + caddc 8740    x. cmul 8742   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   2c2 9795   (,)cioo 10656   Recre 11582   Imcim 11583   tanctan 12347   picpi 12348   logclog 19912  arctancatan 20160
This theorem is referenced by:  atanlogsub  20212  atanbndlem  20221
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-tan 12353  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-atan 20163
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