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Theorem atans2 20763
Description: It suffices to show that  1  -  _i A and  1  +  _i A are in the continuity domain of  log to show that  A is in the continuity domain of arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
atansopn.d  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
atansopn.s  |-  S  =  { y  e.  CC  |  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D }
Assertion
Ref Expression
atans2  |-  ( A  e.  S  <->  ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  D  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  D ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, D
Allowed substitution hint:    S( y)

Proof of Theorem atans2
StepHypRef Expression
1 sqcl 11436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
21adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( A ^ 2 )  e.  CC )
32sqsqrd 12233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  ( A ^ 2 ) )
43eqcomd 2440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( A ^ 2 )  =  ( ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ^ 2 ) )
52sqrcld 12231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( sqr `  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
6 sqeqor 11487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( ( A ^
2 )  =  ( ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ^ 2 )  <->  ( A  =  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  \/  A  =  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
75, 6syldan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( A ^
2 )  =  ( ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ^ 2 )  <->  ( A  =  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  \/  A  =  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
84, 7mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( A  =  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  \/  A  =  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )
9 1re 9082 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
1  e.  RR )
112negnegd 9394 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  ->  -u -u ( A ^ 2 )  =  ( A ^ 2 ) )
1211fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( sqr `  -u -u ( A ^ 2 ) )  =  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) )
13 ax-1cn 9040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  CC
14 pncan2 9304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  =  ( A ^ 2 ) )
1513, 2, 14sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  =  ( A ^ 2 ) )
16 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )
17 mnfxr 10706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  -oo  e.  RR*
18 0re 9083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  0  e.  RR
19 elioc2 10965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR )  ->  (
( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  /\  ( 1  +  ( A ^
2 ) )  <_ 
0 ) ) )
2017, 18, 19mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  /\  ( 1  +  ( A ^
2 ) )  <_ 
0 ) )
2116, 20sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  RR  /\ 
-oo  <  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  /\  (
1  +  ( A ^ 2 ) )  <_  0 ) )
2221simp1d 969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  RR )
23 resubcl 9357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  e.  RR )
2422, 9, 23sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  e.  RR )
2515, 24eqeltrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( A ^ 2 )  e.  RR )
2625renegcld 9456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  ->  -u ( A ^ 2 )  e.  RR )
2718a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  e.  RR )
28 0le1 9543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  <_  1
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  <_  1 )
30 subneg 9342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( 1  -  -u ( A ^ 2 ) )  =  ( 1  +  ( A ^ 2 ) ) )
3113, 2, 30sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  -u ( A ^ 2 ) )  =  ( 1  +  ( A ^ 2 ) ) )
3221simp3d 971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( A ^ 2 ) )  <_  0 )
3331, 32eqbrtrd 4224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  -u ( A ^ 2 ) )  <_  0 )
34 suble0 9534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  -u ( A ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( ( 1  -  -u ( A ^
2 ) )  <_ 
0  <->  1  <_  -u ( A ^ 2 ) ) )
359, 26, 34sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  - 
-u ( A ^
2 ) )  <_ 
0  <->  1  <_  -u ( A ^ 2 ) ) )
3633, 35mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
1  <_  -u ( A ^ 2 ) )
3727, 10, 26, 29, 36letrd 9219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  <_  -u ( A ^ 2 ) )
3826, 37sqrnegd 12216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( sqr `  -u -u ( A ^ 2 ) )  =  ( _i  x.  ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) ) )
3912, 38eqtr3d 2469 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( sqr `  ( A ^ 2 ) )  =  ( _i  x.  ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) ) )
4039oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  ( sqr `  -u ( A ^
2 ) ) ) ) )
41 ax-icn 9041 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  _i  e.  CC
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  ->  _i  e.  CC )
4326, 37resqrcld 12212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( sqr `  -u ( A ^ 2 ) )  e.  RR )
4443recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( sqr `  -u ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
4542, 42, 44mulassd 9103 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( _i  x.  _i )  x.  ( sqr `  -u ( A ^
2 ) ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  ( sqr `  -u ( A ^
2 ) ) ) ) )
46 ixi 9643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
4746oveq1i 6083 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) )  =  ( -u
1  x.  ( sqr `  -u ( A ^
2 ) ) )
4844mulm1d 9477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( -u 1  x.  ( sqr `  -u ( A ^
2 ) ) )  =  -u ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) )
4947, 48syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( _i  x.  _i )  x.  ( sqr `  -u ( A ^
2 ) ) )  =  -u ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) )
5040, 45, 493eqtr2d 2473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) )  =  -u ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) )
5143renegcld 9456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  ->  -u ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) )  e.  RR )
5250, 51eqeltrd 2509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) )  e.  RR )
5310, 52readdcld 9107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  RR )
54 mnflt 10714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  ->  -oo  <  ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  ->  -oo  <  ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) ) ) )
5650oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  =  ( 1  + 
-u ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) ) )
57 negsub 9341 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( 1  +  -u ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) )  =  ( 1  -  ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) ) )
5813, 44, 57sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  -u ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) )  =  ( 1  -  ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) ) )
5956, 58eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  =  ( 1  -  ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) ) )
60 sq1 11468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1 ^ 2 )  =  1 )
6226recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  ->  -u ( A ^ 2 )  e.  CC )
6362sqsqrd 12233 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) ^ 2 )  = 
-u ( A ^
2 ) )
6436, 61, 633brtr4d 4234 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1 ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  -u ( A ^
2 ) ) ^
2 ) )
6526, 37sqrge0d 12215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  <_  ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) )
6610, 43, 29, 65le2sqd 11550 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  <_  ( sqr `  -u ( A ^
2 ) )  <->  ( 1 ^ 2 )  <_ 
( ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
6764, 66mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
1  <_  ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) )
6810, 43suble0d 9609 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  -  ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) )  <_  0  <->  1  <_  ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) ) )
6967, 68mpbird 224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  ( sqr `  -u ( A ^
2 ) ) )  <_  0 )
7059, 69eqbrtrd 4224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  <_  0 )
71 elioc2 10965 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR )  ->  (
( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  /\ 
-oo  <  ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) ) )  /\  ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  <_  0
) ) )
7217, 18, 71mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  ( 
-oo (,] 0 )  <->  ( (
1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  /\ 
-oo  <  ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) ) )  /\  ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  <_  0
) )
7353, 55, 70, 72syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )
74 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  ->  ( _i  x.  A )  =  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )
7574oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
7675eleq1d 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  ->  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0
)  <->  ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
7773, 76syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( A  =  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  e.  ( 
-oo (,] 0 ) ) )
78 mulneg2 9463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  -u ( sqr `  ( A ^
2 ) ) )  =  -u ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )
7941, 5, 78sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( _i  x.  -u ( sqr `  ( A ^
2 ) ) )  =  -u ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )
8079oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  (
_i  x.  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  =  ( 1  - 
-u ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
81 mulcl 9066 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) )  e.  CC )
8241, 5, 81sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) )  e.  CC )
83 subneg 9342 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) )  e.  CC )  -> 
( 1  -  -u (
_i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) ) ) )
8413, 82, 83sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  -u (
_i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) ) ) )
8580, 84eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  (
_i  x.  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) ) ) )
8685, 73eqeltrd 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  (
_i  x.  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )
87 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  ->  ( _i  x.  A )  =  ( _i  x.  -u ( sqr `  ( A ^
2 ) ) ) )
8887oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  =  ( 1  -  ( _i  x.  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
8988eleq1d 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  ->  ( ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0
)  <->  ( 1  -  ( _i  x.  -u ( sqr `  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
9086, 89syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( A  =  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  ( 
-oo (,] 0 ) ) )
9177, 90orim12d 812 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( A  =  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  \/  A  =  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) )  ->  ( (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  \/  (
1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) ) )
928, 91mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  e.  ( 
-oo (,] 0 )  \/  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
9392orcomd 378 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  ( 
-oo (,] 0 )  \/  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
9460a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1 ^ 2 )  =  1 )
95 sqmul 11437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  A ) ^ 2 )  =  ( ( _i ^ 2 )  x.  ( A ^
2 ) ) )
9641, 95mpan 652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  A
) ^ 2 )  =  ( ( _i
^ 2 )  x.  ( A ^ 2 ) ) )
97 i2 11473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( _i
^ 2 )  = 
-u 1
9897oveq1i 6083 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i ^ 2 )  x.  ( A ^
2 ) )  =  ( -u 1  x.  ( A ^ 2 ) )
991mulm1d 9477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u 1  x.  ( A ^ 2 ) )  =  -u ( A ^
2 ) )
10098, 99syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i ^ 2 )  x.  ( A ^ 2 ) )  =  -u ( A ^
2 ) )
10196, 100eqtrd 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  A
) ^ 2 )  =  -u ( A ^
2 ) )
10294, 101oveq12d 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1 ^ 2 )  -  ( ( _i  x.  A ) ^ 2 ) )  =  ( 1  - 
-u ( A ^
2 ) ) )
103 mulcl 9066 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
10441, 103mpan 652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
105 subsq 11480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( ( 1 ^ 2 )  -  ( ( _i  x.  A ) ^ 2 ) )  =  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )
10613, 104, 105sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1 ^ 2 )  -  ( ( _i  x.  A ) ^ 2 ) )  =  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )
10713, 1, 30sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  -  -u ( A ^ 2 ) )  =  ( 1  +  ( A ^ 2 ) ) )
108102, 106, 1073eqtr3d 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( 1  +  ( A ^ 2 ) ) )
109108adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  ( 
-oo (,] 0 )  \/  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )  ->  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  =  ( 1  +  ( A ^ 2 ) ) )
110 2cn 10062 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  CC
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  2  e.  CC )
11213a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  1  e.  CC )
113111, 112, 104subsubd 9431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  -  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( ( 2  -  1 )  +  ( _i  x.  A
) ) )
114 2m1e1 10087 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  -  1 )  =  1
115114oveq1i 6083 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  -  1 )  +  ( _i  x.  A ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )
116113, 115syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  -  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )
117116adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 2  -  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )
118 2re 10061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
119 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )
120 elioc2 10965 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR )  ->  (
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  /\  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  <_ 
0 ) ) )
12117, 18, 120mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  /\  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  <_ 
0 ) )
122119, 121sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  RR  /\ 
-oo  <  ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  /\  (
1  -  ( _i  x.  A ) )  <_  0 ) )
123122simp1d 969 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  RR )
124 resubcl 9357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  RR )  ->  ( 2  -  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  e.  RR )
125118, 123, 124sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 2  -  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR )
126117, 125eqeltrrd 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  RR )
127126, 123remulcld 9108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR )
128 mnflt 10714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR  ->  -oo  <  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )
129127, 128syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  ->  -oo  <  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )
130122simp3d 971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  <_  0 )
13118a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  e.  RR )
132118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
2  e.  RR )
133 2pos 10074 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  2
134133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  <  2 )
135110subid1i 9364 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  -  0 )  =  2
136123, 131, 132, 130lesub2dd 9635 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 2  -  0 )  <_  ( 2  -  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) )
137135, 136syl5eqbrr 4238 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
2  <_  ( 2  -  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) )
138137, 117breqtrd 4228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
2  <_  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )
139131, 132, 126, 134, 138ltletrd 9222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  <  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )
140 lemul2 9855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  (
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )  ->  ( ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  <_ 
0  <->  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  <_  (
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  0 ) ) )
141123, 131, 126, 139, 140syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  <_  0  <->  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  <_  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  0 ) ) )
142130, 141mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  <_  ( (
1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  0 ) )
143 addcl 9064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  e.  CC )
14413, 104, 143sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
145144adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
146145mul01d 9257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  0 )  =  0 )
147142, 146breqtrd 4228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  <_  0 )
148 elioc2 10965 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR )  ->  (
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  /\  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) )  <_ 
0 ) ) )
14917, 18, 148mp2an 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  /\  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) )  <_ 
0 ) )
150127, 129, 147, 149syl3anbrc 1138 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )
151 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )
152 elioc2 10965 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR )  ->  (
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  <_ 
0 ) ) )
15317, 18, 152mp2an 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  <_ 
0 ) )
154151, 153sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  e.  RR  /\ 
-oo  <  ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  /\  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  <_  0 ) )
155154simp1d 969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  RR )
156114oveq1i 6083 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  -  1 )  -  ( _i  x.  A ) )  =  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)
157111, 112, 104subsub4d 9434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 2  -  1 )  -  ( _i  x.  A ) )  =  ( 2  -  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )
158156, 157syl5reqr 2482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  -  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) )
159158adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 2  -  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )
160 resubcl 9357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  RR )  ->  ( 2  -  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR )
161118, 155, 160sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 2  -  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR )
162159, 161eqeltrrd 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  RR )
163155, 162remulcld 9108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR )
164163, 128syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  ->  -oo  <  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )
165154simp3d 971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  <_  0 )
16618a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  e.  RR )
167118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
2  e.  RR )
168133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  <  2 )
169155, 166, 167, 165lesub2dd 9635 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 2  -  0 )  <_  ( 2  -  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )
170135, 169syl5eqbrr 4238 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
2  <_  ( 2  -  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )
171170, 159breqtrd 4228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
2  <_  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )
172166, 167, 162, 168, 171ltletrd 9222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  <  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )
173 lemul1 9854 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  (
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  RR  /\  0  <  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) )  ->  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  <_ 
0  <->  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  <_  (
0  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )
174155, 166, 162, 172, 173syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  <_  0  <->  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  <_  ( 0  x.  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) ) )
175165, 174mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  <_  ( 0  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) )
176162recnd 9106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  CC )
177176mul02d 9256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 0  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  =  0 )
178175, 177breqtrd 4228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  <_  0 )
179163, 164, 178, 149syl3anbrc 1138 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )
180150, 179jaodan 761 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  ( 
-oo (,] 0 )  \/  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )  ->  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  e.  ( 
-oo (,] 0 ) )
181109, 180eqeltrrd 2510 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  ( 
-oo (,] 0 )  \/  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )  ->  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  ( 
-oo (,] 0 ) )
18293, 181impbida 806 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  \/  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) ) )
183182notbid 286 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -.  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  -.  (
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 )  \/  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) ) )
184 ioran 477 . . . . 5  |-  ( -.  ( ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  ( 
-oo (,] 0 )  \/  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  <->  ( -.  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 )  /\  -.  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
185183, 184syl6bb 253 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -.  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( -.  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 )  /\  -.  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) ) )
186 addcl 9064 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
18713, 1, 186sylancr 645 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
188 atansopn.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
189188eleq2i 2499 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  D  <->  ( 1  +  ( A ^
2 ) )  e.  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )
190 eldif 3322 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  <->  ( ( 1  +  ( A ^
2 ) )  e.  CC  /\  -.  (
1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
191189, 190bitri 241 . . . . . 6  |-  ( ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  D  <->  ( (
1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  CC  /\  -.  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
192191baib 872 . . . . 5  |-  ( ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  CC  ->  (
( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  D  <->  -.  (
1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
193187, 192syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  D  <->  -.  (
1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
194 subcl 9297 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  CC )
19513, 104, 194sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
196188eleq2i 2499 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  D  <->  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )
197 eldif 3322 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  <->  ( ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  CC  /\  -.  (
1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
198196, 197bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  D  <->  ( (
1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  CC  /\  -.  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
199198baib 872 . . . . . 6  |-  ( ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  CC  ->  (
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  D  <->  -.  (
1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
200195, 199syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  D  <->  -.  (
1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
201188eleq2i 2499 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  D  <->  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )
202 eldif 3322 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  <->  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC  /\  -.  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
203201, 202bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  D  <->  ( (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC  /\  -.  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
204203baib 872 . . . . . 6  |-  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC  ->  (
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  D  <->  -.  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
205144, 204syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  D  <->  -.  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
206200, 205anbi12d 692 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  D  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  D )  <-> 
( -.  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0
)  /\  -.  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) ) )
207185, 193, 2063bitr4d 277 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  D  <->  ( (
1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  D  /\  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  D ) ) )
208207pm5.32i 619 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  D )  <-> 
( A  e.  CC  /\  ( ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  D  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  D ) ) )
209 atansopn.s . . 3  |-  S  =  { y  e.  CC  |  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D }
210188, 209atans 20762 . 2  |-  ( A  e.  S  <->  ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^
2 ) )  e.  D ) )
211 3anass 940 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  D  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  D )  <-> 
( A  e.  CC  /\  ( ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  D  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  D ) ) )
212208, 210, 2113bitr4i 269 1  |-  ( A  e.  S  <->  ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  D  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2701    \ cdif 3309   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983   _ici 8984    + caddc 8985    x. cmul 8987    -oocmnf 9110   RR*cxr 9111    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283   -ucneg 9284   2c2 10041   (,]cioc 10909   ^cexp 11374   sqrcsqr 12030
This theorem is referenced by:  dvatan  20767
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-ioc 10913  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033
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