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Theorem atans2 20243
Description: It suffices to show that  1  -  _i A and  1  +  _i A are in the continuity domain of  log to show that  A is in the continuity domain of arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
atansopn.d  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
atansopn.s  |-  S  =  { y  e.  CC  |  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D }
Assertion
Ref Expression
atans2  |-  ( A  e.  S  <->  ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  D  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  D ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, D
Allowed substitution hint:    S( y)

Proof of Theorem atans2
StepHypRef Expression
1 sqcl 11182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
21adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( A ^ 2 )  e.  CC )
32sqsqrd 11937 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  ( A ^ 2 ) )
43eqcomd 2301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( A ^ 2 )  =  ( ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ^ 2 ) )
52sqrcld 11935 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( sqr `  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
6 sqeqor 11233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( ( A ^
2 )  =  ( ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ^ 2 )  <->  ( A  =  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  \/  A  =  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
75, 6syldan 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( A ^
2 )  =  ( ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ^ 2 )  <->  ( A  =  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  \/  A  =  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
84, 7mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( A  =  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  \/  A  =  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )
9 1re 8853 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
109a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
1  e.  RR )
112negnegd 9164 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  ->  -u -u ( A ^ 2 )  =  ( A ^ 2 ) )
1211fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( sqr `  -u -u ( A ^ 2 ) )  =  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) )
13 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  CC
14 pncan2 9074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  =  ( A ^ 2 ) )
1513, 2, 14sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  =  ( A ^ 2 ) )
16 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )
17 mnfxr 10472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  -oo  e.  RR*
18 0re 8854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  0  e.  RR
19 elioc2 10729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR )  ->  (
( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  /\  ( 1  +  ( A ^
2 ) )  <_ 
0 ) ) )
2017, 18, 19mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  /\  ( 1  +  ( A ^
2 ) )  <_ 
0 ) )
2116, 20sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  RR  /\ 
-oo  <  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  /\  (
1  +  ( A ^ 2 ) )  <_  0 ) )
2221simp1d 967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  RR )
23 resubcl 9127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  e.  RR )
2422, 9, 23sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  e.  RR )
2515, 24eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( A ^ 2 )  e.  RR )
2625renegcld 9226 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  ->  -u ( A ^ 2 )  e.  RR )
2718a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  e.  RR )
28 0le1 9313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  <_  1
2928a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  <_  1 )
30 subneg 9112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( 1  -  -u ( A ^ 2 ) )  =  ( 1  +  ( A ^ 2 ) ) )
3113, 2, 30sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  -u ( A ^ 2 ) )  =  ( 1  +  ( A ^ 2 ) ) )
3221simp3d 969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( A ^ 2 ) )  <_  0 )
3331, 32eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  -u ( A ^ 2 ) )  <_  0 )
34 suble0 9304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  -u ( A ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( ( 1  -  -u ( A ^
2 ) )  <_ 
0  <->  1  <_  -u ( A ^ 2 ) ) )
359, 26, 34sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  - 
-u ( A ^
2 ) )  <_ 
0  <->  1  <_  -u ( A ^ 2 ) ) )
3633, 35mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
1  <_  -u ( A ^ 2 ) )
3727, 10, 26, 29, 36letrd 8989 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  <_  -u ( A ^ 2 ) )
3826, 37sqrnegd 11920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( sqr `  -u -u ( A ^ 2 ) )  =  ( _i  x.  ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) ) )
3912, 38eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( sqr `  ( A ^ 2 ) )  =  ( _i  x.  ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) ) )
4039oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  ( sqr `  -u ( A ^
2 ) ) ) ) )
41 ax-icn 8812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  _i  e.  CC
4241a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  ->  _i  e.  CC )
4326, 37resqrcld 11916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( sqr `  -u ( A ^ 2 ) )  e.  RR )
4443recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( sqr `  -u ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
4542, 42, 44mulassd 8874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( _i  x.  _i )  x.  ( sqr `  -u ( A ^
2 ) ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  ( sqr `  -u ( A ^
2 ) ) ) ) )
46 ixi 9413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
4746oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) )  =  ( -u
1  x.  ( sqr `  -u ( A ^
2 ) ) )
4844mulm1d 9247 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( -u 1  x.  ( sqr `  -u ( A ^
2 ) ) )  =  -u ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) )
4947, 48syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( _i  x.  _i )  x.  ( sqr `  -u ( A ^
2 ) ) )  =  -u ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) )
5040, 45, 493eqtr2d 2334 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) )  =  -u ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) )
5143renegcld 9226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  ->  -u ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) )  e.  RR )
5250, 51eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) )  e.  RR )
5310, 52readdcld 8878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  RR )
54 mnflt 10480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  ->  -oo  <  ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
5553, 54syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  ->  -oo  <  ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) ) ) )
5650oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  =  ( 1  + 
-u ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) ) )
57 negsub 9111 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( 1  +  -u ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) )  =  ( 1  -  ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) ) )
5813, 44, 57sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  -u ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) )  =  ( 1  -  ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) ) )
5956, 58eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  =  ( 1  -  ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) ) )
60 sq1 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
6160a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1 ^ 2 )  =  1 )
6226recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  ->  -u ( A ^ 2 )  e.  CC )
6362sqsqrd 11937 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) ^ 2 )  = 
-u ( A ^
2 ) )
6436, 61, 633brtr4d 4069 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1 ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  -u ( A ^
2 ) ) ^
2 ) )
6526, 37sqrge0d 11919 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  <_  ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) )
6610, 43, 29, 65le2sqd 11296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  <_  ( sqr `  -u ( A ^
2 ) )  <->  ( 1 ^ 2 )  <_ 
( ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
6764, 66mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
1  <_  ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) )
6810, 43suble0d 9379 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  -  ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) )  <_  0  <->  1  <_  ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) ) )
6967, 68mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  ( sqr `  -u ( A ^
2 ) ) )  <_  0 )
7059, 69eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  <_  0 )
71 elioc2 10729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR )  ->  (
( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  /\ 
-oo  <  ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) ) )  /\  ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  <_  0
) ) )
7217, 18, 71mp2an 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  ( 
-oo (,] 0 )  <->  ( (
1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  /\ 
-oo  <  ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) ) )  /\  ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  <_  0
) )
7353, 55, 70, 72syl3anbrc 1136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )
74 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  ->  ( _i  x.  A )  =  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )
7574oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
7675eleq1d 2362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  ->  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0
)  <->  ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
7773, 76syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( A  =  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  e.  ( 
-oo (,] 0 ) ) )
78 mulneg2 9233 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  -u ( sqr `  ( A ^
2 ) ) )  =  -u ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )
7941, 5, 78sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( _i  x.  -u ( sqr `  ( A ^
2 ) ) )  =  -u ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )
8079oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  (
_i  x.  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  =  ( 1  - 
-u ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
81 mulcl 8837 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) )  e.  CC )
8241, 5, 81sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) )  e.  CC )
83 subneg 9112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) )  e.  CC )  -> 
( 1  -  -u (
_i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) ) ) )
8413, 82, 83sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  -u (
_i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) ) ) )
8580, 84eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  (
_i  x.  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) ) ) )
8685, 73eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  (
_i  x.  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )
87 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  ->  ( _i  x.  A )  =  ( _i  x.  -u ( sqr `  ( A ^
2 ) ) ) )
8887oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  =  ( 1  -  ( _i  x.  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
8988eleq1d 2362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  ->  ( ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0
)  <->  ( 1  -  ( _i  x.  -u ( sqr `  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
9086, 89syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( A  =  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  ( 
-oo (,] 0 ) ) )
9177, 90orim12d 811 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( A  =  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  \/  A  =  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) )  ->  ( (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  \/  (
1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) ) )
928, 91mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  e.  ( 
-oo (,] 0 )  \/  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
9392orcomd 377 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  ( 
-oo (,] 0 )  \/  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
9460a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1 ^ 2 )  =  1 )
95 sqmul 11183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  A ) ^ 2 )  =  ( ( _i ^ 2 )  x.  ( A ^
2 ) ) )
9641, 95mpan 651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  A
) ^ 2 )  =  ( ( _i
^ 2 )  x.  ( A ^ 2 ) ) )
97 i2 11219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( _i
^ 2 )  = 
-u 1
9897oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i ^ 2 )  x.  ( A ^
2 ) )  =  ( -u 1  x.  ( A ^ 2 ) )
991mulm1d 9247 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u 1  x.  ( A ^ 2 ) )  =  -u ( A ^
2 ) )
10098, 99syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i ^ 2 )  x.  ( A ^ 2 ) )  =  -u ( A ^
2 ) )
10196, 100eqtrd 2328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  A
) ^ 2 )  =  -u ( A ^
2 ) )
10294, 101oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1 ^ 2 )  -  ( ( _i  x.  A ) ^ 2 ) )  =  ( 1  - 
-u ( A ^
2 ) ) )
103 mulcl 8837 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
10441, 103mpan 651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
105 subsq 11226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( ( 1 ^ 2 )  -  ( ( _i  x.  A ) ^ 2 ) )  =  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )
10613, 104, 105sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1 ^ 2 )  -  ( ( _i  x.  A ) ^ 2 ) )  =  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )
10713, 1, 30sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  -  -u ( A ^ 2 ) )  =  ( 1  +  ( A ^ 2 ) ) )
108102, 106, 1073eqtr3d 2336 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( 1  +  ( A ^ 2 ) ) )
109108adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  ( 
-oo (,] 0 )  \/  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )  ->  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  =  ( 1  +  ( A ^ 2 ) ) )
110 2cn 9832 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  CC
111110a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  2  e.  CC )
11213a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  1  e.  CC )
113111, 112, 104subsubd 9201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  -  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( ( 2  -  1 )  +  ( _i  x.  A
) ) )
114 1p1e2 9856 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  +  1 )  =  2
115110, 13, 13, 114subaddrii 9151 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  -  1 )  =  1
116115oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  -  1 )  +  ( _i  x.  A ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )
117113, 116syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  -  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )
118117adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 2  -  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )
119 2re 9831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
120 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )
121 elioc2 10729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR )  ->  (
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  /\  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  <_ 
0 ) ) )
12217, 18, 121mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  /\  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  <_ 
0 ) )
123120, 122sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  RR  /\ 
-oo  <  ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  /\  (
1  -  ( _i  x.  A ) )  <_  0 ) )
124123simp1d 967 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  RR )
125 resubcl 9127 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  RR )  ->  ( 2  -  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  e.  RR )
126119, 124, 125sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 2  -  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR )
127118, 126eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  RR )
128127, 124remulcld 8879 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR )
129 mnflt 10480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR  ->  -oo  <  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )
130128, 129syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  ->  -oo  <  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )
131123simp3d 969 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  <_  0 )
13218a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  e.  RR )
133119a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
2  e.  RR )
134 2pos 9844 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  2
135134a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  <  2 )
136110subid1i 9134 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  -  0 )  =  2
137124, 132, 133, 131lesub2dd 9405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 2  -  0 )  <_  ( 2  -  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) )
138136, 137syl5eqbrr 4073 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
2  <_  ( 2  -  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) )
139138, 118breqtrd 4063 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
2  <_  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )
140132, 133, 127, 135, 139ltletrd 8992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  <  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )
141 lemul2 9625 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  (
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )  ->  ( ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  <_ 
0  <->  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  <_  (
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  0 ) ) )
142124, 132, 127, 140, 141syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  <_  0  <->  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  <_  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  0 ) ) )
143131, 142mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  <_  ( (
1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  0 ) )
144 addcl 8835 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  e.  CC )
14513, 104, 144sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
146145adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
147146mul01d 9027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  0 )  =  0 )
148143, 147breqtrd 4063 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  <_  0 )
149 elioc2 10729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR )  ->  (
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  /\  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) )  <_ 
0 ) ) )
15017, 18, 149mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  /\  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) )  <_ 
0 ) )
151128, 130, 148, 150syl3anbrc 1136 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )
152 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )
153 elioc2 10729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR )  ->  (
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  <_ 
0 ) ) )
15417, 18, 153mp2an 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  <_ 
0 ) )
155152, 154sylib 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  e.  RR  /\ 
-oo  <  ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  /\  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  <_  0 ) )
156155simp1d 967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  RR )
157115oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  -  1 )  -  ( _i  x.  A ) )  =  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)
158111, 112, 104subsub4d 9204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 2  -  1 )  -  ( _i  x.  A ) )  =  ( 2  -  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )
159157, 158syl5reqr 2343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  -  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) )
160159adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 2  -  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )
161 resubcl 9127 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  RR )  ->  ( 2  -  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR )
162119, 156, 161sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 2  -  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR )
163160, 162eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  RR )
164156, 163remulcld 8879 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR )
165164, 129syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  ->  -oo  <  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )
166155simp3d 969 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  <_  0 )
16718a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  e.  RR )
168119a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
2  e.  RR )
169134a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  <  2 )
170156, 167, 168, 166lesub2dd 9405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 2  -  0 )  <_  ( 2  -  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )
171136, 170syl5eqbrr 4073 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
2  <_  ( 2  -  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )
172171, 160breqtrd 4063 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
2  <_  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )
173167, 168, 163, 169, 172ltletrd 8992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  <  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )
174 lemul1 9624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  (
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  RR  /\  0  <  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) )  ->  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  <_ 
0  <->  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  <_  (
0  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )
175156, 167, 163, 173, 174syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  <_  0  <->  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  <_  ( 0  x.  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) ) )
176166, 175mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  <_  ( 0  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) )
177163recnd 8877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  CC )
178177mul02d 9026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 0  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  =  0 )
179176, 178breqtrd 4063 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  <_  0 )
180164, 165, 179, 150syl3anbrc 1136 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )
181151, 180jaodan 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  ( 
-oo (,] 0 )  \/  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )  ->  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  e.  ( 
-oo (,] 0 ) )
182109, 181eqeltrrd 2371 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  ( 
-oo (,] 0 )  \/  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )  ->  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  ( 
-oo (,] 0 ) )
18393, 182impbida 805 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  \/  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) ) )
184183notbid 285 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -.  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  -.  (
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 )  \/  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) ) )
185 ioran 476 . . . . 5  |-  ( -.  ( ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  ( 
-oo (,] 0 )  \/  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  <->  ( -.  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 )  /\  -.  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
186184, 185syl6bb 252 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -.  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( -.  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 )  /\  -.  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) ) )
187 addcl 8835 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
18813, 1, 187sylancr 644 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
189 atansopn.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
190189eleq2i 2360 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  D  <->  ( 1  +  ( A ^
2 ) )  e.  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )
191 eldif 3175 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  <->  ( ( 1  +  ( A ^
2 ) )  e.  CC  /\  -.  (
1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
192190, 191bitri 240 . . . . . 6  |-  ( ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  D  <->  ( (
1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  CC  /\  -.  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
193192baib 871 . . . . 5  |-  ( ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  CC  ->  (
( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  D  <->  -.  (
1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
194188, 193syl 15 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  D  <->  -.  (
1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
195 subcl 9067 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  CC )
19613, 104, 195sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
197189eleq2i 2360 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  D  <->  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )
198 eldif 3175 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  <->  ( ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  CC  /\  -.  (
1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
199197, 198bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  D  <->  ( (
1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  CC  /\  -.  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
200199baib 871 . . . . . 6  |-  ( ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  CC  ->  (
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  D  <->  -.  (
1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
201196, 200syl 15 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  D  <->  -.  (
1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
202189eleq2i 2360 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  D  <->  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )
203 eldif 3175 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  <->  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC  /\  -.  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
204202, 203bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  D  <->  ( (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC  /\  -.  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
205204baib 871 . . . . . 6  |-  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC  ->  (
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  D  <->  -.  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
206145, 205syl 15 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  D  <->  -.  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
207201, 206anbi12d 691 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  D  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  D )  <-> 
( -.  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0
)  /\  -.  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) ) )
208186, 194, 2073bitr4d 276 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  D  <->  ( (
1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  D  /\  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  D ) ) )
209208pm5.32i 618 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  D )  <-> 
( A  e.  CC  /\  ( ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  D  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  D ) ) )
210 atansopn.s . . 3  |-  S  =  { y  e.  CC  |  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D }
211189, 210atans 20242 . 2  |-  ( A  e.  S  <->  ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^
2 ) )  e.  D ) )
212 3anass 938 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  D  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  D )  <-> 
( A  e.  CC  /\  ( ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  D  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  D ) ) )
213209, 211, 2123bitr4i 268 1  |-  ( A  e.  S  <->  ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  D  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560    \ cdif 3162   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754   _ici 8755    + caddc 8756    x. cmul 8758    -oocmnf 8881   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054   2c2 9811   (,]cioc 10673   ^cexp 11120   sqrcsqr 11734
This theorem is referenced by:  dvatan  20247
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-ioc 10677  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737
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