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Theorem atans2 20639
Description: It suffices to show that  1  -  _i A and  1  +  _i A are in the continuity domain of  log to show that  A is in the continuity domain of arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
atansopn.d  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
atansopn.s  |-  S  =  { y  e.  CC  |  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D }
Assertion
Ref Expression
atans2  |-  ( A  e.  S  <->  ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  D  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  D ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, D
Allowed substitution hint:    S( y)

Proof of Theorem atans2
StepHypRef Expression
1 sqcl 11372 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
21adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( A ^ 2 )  e.  CC )
32sqsqrd 12169 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  ( A ^ 2 ) )
43eqcomd 2393 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( A ^ 2 )  =  ( ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ^ 2 ) )
52sqrcld 12167 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( sqr `  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
6 sqeqor 11423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( ( A ^
2 )  =  ( ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ^ 2 )  <->  ( A  =  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  \/  A  =  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
75, 6syldan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( A ^
2 )  =  ( ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ^ 2 )  <->  ( A  =  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  \/  A  =  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
84, 7mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( A  =  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  \/  A  =  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )
9 1re 9024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
1  e.  RR )
112negnegd 9335 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  ->  -u -u ( A ^ 2 )  =  ( A ^ 2 ) )
1211fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( sqr `  -u -u ( A ^ 2 ) )  =  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) )
13 ax-1cn 8982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  CC
14 pncan2 9245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  =  ( A ^ 2 ) )
1513, 2, 14sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  =  ( A ^ 2 ) )
16 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )
17 mnfxr 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  -oo  e.  RR*
18 0re 9025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  0  e.  RR
19 elioc2 10906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR )  ->  (
( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  /\  ( 1  +  ( A ^
2 ) )  <_ 
0 ) ) )
2017, 18, 19mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  /\  ( 1  +  ( A ^
2 ) )  <_ 
0 ) )
2116, 20sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  RR  /\ 
-oo  <  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  /\  (
1  +  ( A ^ 2 ) )  <_  0 ) )
2221simp1d 969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  RR )
23 resubcl 9298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  e.  RR )
2422, 9, 23sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  e.  RR )
2515, 24eqeltrrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( A ^ 2 )  e.  RR )
2625renegcld 9397 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  ->  -u ( A ^ 2 )  e.  RR )
2718a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  e.  RR )
28 0le1 9484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  <_  1
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  <_  1 )
30 subneg 9283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( 1  -  -u ( A ^ 2 ) )  =  ( 1  +  ( A ^ 2 ) ) )
3113, 2, 30sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  -u ( A ^ 2 ) )  =  ( 1  +  ( A ^ 2 ) ) )
3221simp3d 971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( A ^ 2 ) )  <_  0 )
3331, 32eqbrtrd 4174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  -u ( A ^ 2 ) )  <_  0 )
34 suble0 9475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  -u ( A ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( ( 1  -  -u ( A ^
2 ) )  <_ 
0  <->  1  <_  -u ( A ^ 2 ) ) )
359, 26, 34sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  - 
-u ( A ^
2 ) )  <_ 
0  <->  1  <_  -u ( A ^ 2 ) ) )
3633, 35mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
1  <_  -u ( A ^ 2 ) )
3727, 10, 26, 29, 36letrd 9160 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  <_  -u ( A ^ 2 ) )
3826, 37sqrnegd 12152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( sqr `  -u -u ( A ^ 2 ) )  =  ( _i  x.  ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) ) )
3912, 38eqtr3d 2422 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( sqr `  ( A ^ 2 ) )  =  ( _i  x.  ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) ) )
4039oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  ( sqr `  -u ( A ^
2 ) ) ) ) )
41 ax-icn 8983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  _i  e.  CC
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  ->  _i  e.  CC )
4326, 37resqrcld 12148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( sqr `  -u ( A ^ 2 ) )  e.  RR )
4443recnd 9048 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( sqr `  -u ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
4542, 42, 44mulassd 9045 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( _i  x.  _i )  x.  ( sqr `  -u ( A ^
2 ) ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  ( sqr `  -u ( A ^
2 ) ) ) ) )
46 ixi 9584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
4746oveq1i 6031 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) )  =  ( -u
1  x.  ( sqr `  -u ( A ^
2 ) ) )
4844mulm1d 9418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( -u 1  x.  ( sqr `  -u ( A ^
2 ) ) )  =  -u ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) )
4947, 48syl5eq 2432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( _i  x.  _i )  x.  ( sqr `  -u ( A ^
2 ) ) )  =  -u ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) )
5040, 45, 493eqtr2d 2426 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) )  =  -u ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) )
5143renegcld 9397 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  ->  -u ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) )  e.  RR )
5250, 51eqeltrd 2462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) )  e.  RR )
5310, 52readdcld 9049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  RR )
54 mnflt 10655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  ->  -oo  <  ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  ->  -oo  <  ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) ) ) )
5650oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  =  ( 1  + 
-u ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) ) )
57 negsub 9282 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( 1  +  -u ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) )  =  ( 1  -  ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) ) )
5813, 44, 57sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  -u ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) )  =  ( 1  -  ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) ) )
5956, 58eqtrd 2420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  =  ( 1  -  ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) ) )
60 sq1 11404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1 ^ 2 )  =  1 )
6226recnd 9048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  ->  -u ( A ^ 2 )  e.  CC )
6362sqsqrd 12169 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) ^ 2 )  = 
-u ( A ^
2 ) )
6436, 61, 633brtr4d 4184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1 ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  -u ( A ^
2 ) ) ^
2 ) )
6526, 37sqrge0d 12151 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  <_  ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) )
6610, 43, 29, 65le2sqd 11486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  <_  ( sqr `  -u ( A ^
2 ) )  <->  ( 1 ^ 2 )  <_ 
( ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
6764, 66mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
1  <_  ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) )
6810, 43suble0d 9550 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  -  ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) )  <_  0  <->  1  <_  ( sqr `  -u ( A ^ 2 ) ) ) )
6967, 68mpbird 224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  ( sqr `  -u ( A ^
2 ) ) )  <_  0 )
7059, 69eqbrtrd 4174 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  <_  0 )
71 elioc2 10906 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR )  ->  (
( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  /\ 
-oo  <  ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) ) )  /\  ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  <_  0
) ) )
7217, 18, 71mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  ( 
-oo (,] 0 )  <->  ( (
1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  /\ 
-oo  <  ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) ) )  /\  ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  <_  0
) )
7353, 55, 70, 72syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )
74 oveq2 6029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  ->  ( _i  x.  A )  =  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )
7574oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
7675eleq1d 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  ->  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0
)  <->  ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
7773, 76syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( A  =  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  e.  ( 
-oo (,] 0 ) ) )
78 mulneg2 9404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  -u ( sqr `  ( A ^
2 ) ) )  =  -u ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )
7941, 5, 78sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( _i  x.  -u ( sqr `  ( A ^
2 ) ) )  =  -u ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )
8079oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  (
_i  x.  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  =  ( 1  - 
-u ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
81 mulcl 9008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) )  e.  CC )
8241, 5, 81sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) )  e.  CC )
83 subneg 9283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) )  e.  CC )  -> 
( 1  -  -u (
_i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) ) ) )
8413, 82, 83sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  -u (
_i  x.  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) ) ) )
8580, 84eqtrd 2420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  (
_i  x.  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( A ^
2 ) ) ) ) )
8685, 73eqeltrd 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  (
_i  x.  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )
87 oveq2 6029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  ->  ( _i  x.  A )  =  ( _i  x.  -u ( sqr `  ( A ^
2 ) ) ) )
8887oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  =  ( 1  -  ( _i  x.  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
8988eleq1d 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  ->  ( ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0
)  <->  ( 1  -  ( _i  x.  -u ( sqr `  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
9086, 89syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( A  =  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  ( 
-oo (,] 0 ) ) )
9177, 90orim12d 812 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( A  =  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  \/  A  =  -u ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) )  ->  ( (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  \/  (
1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) ) )
928, 91mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  e.  ( 
-oo (,] 0 )  \/  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
9392orcomd 378 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  ( 
-oo (,] 0 )  \/  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
9460a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1 ^ 2 )  =  1 )
95 sqmul 11373 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  A ) ^ 2 )  =  ( ( _i ^ 2 )  x.  ( A ^
2 ) ) )
9641, 95mpan 652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  A
) ^ 2 )  =  ( ( _i
^ 2 )  x.  ( A ^ 2 ) ) )
97 i2 11409 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( _i
^ 2 )  = 
-u 1
9897oveq1i 6031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i ^ 2 )  x.  ( A ^
2 ) )  =  ( -u 1  x.  ( A ^ 2 ) )
991mulm1d 9418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u 1  x.  ( A ^ 2 ) )  =  -u ( A ^
2 ) )
10098, 99syl5eq 2432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i ^ 2 )  x.  ( A ^ 2 ) )  =  -u ( A ^
2 ) )
10196, 100eqtrd 2420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  A
) ^ 2 )  =  -u ( A ^
2 ) )
10294, 101oveq12d 6039 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1 ^ 2 )  -  ( ( _i  x.  A ) ^ 2 ) )  =  ( 1  - 
-u ( A ^
2 ) ) )
103 mulcl 9008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
10441, 103mpan 652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
105 subsq 11416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( ( 1 ^ 2 )  -  ( ( _i  x.  A ) ^ 2 ) )  =  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )
10613, 104, 105sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1 ^ 2 )  -  ( ( _i  x.  A ) ^ 2 ) )  =  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )
10713, 1, 30sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  -  -u ( A ^ 2 ) )  =  ( 1  +  ( A ^ 2 ) ) )
108102, 106, 1073eqtr3d 2428 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( 1  +  ( A ^ 2 ) ) )
109108adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  ( 
-oo (,] 0 )  \/  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )  ->  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  =  ( 1  +  ( A ^ 2 ) ) )
110 2cn 10003 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  CC
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  2  e.  CC )
11213a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  1  e.  CC )
113111, 112, 104subsubd 9372 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  -  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( ( 2  -  1 )  +  ( _i  x.  A
) ) )
114 2m1e1 10028 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  -  1 )  =  1
115114oveq1i 6031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  -  1 )  +  ( _i  x.  A ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )
116113, 115syl6eq 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  -  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )
117116adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 2  -  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )
118 2re 10002 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
119 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )
120 elioc2 10906 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR )  ->  (
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  /\  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  <_ 
0 ) ) )
12117, 18, 120mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  /\  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  <_ 
0 ) )
122119, 121sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  RR  /\ 
-oo  <  ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  /\  (
1  -  ( _i  x.  A ) )  <_  0 ) )
123122simp1d 969 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  RR )
124 resubcl 9298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  RR )  ->  ( 2  -  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  e.  RR )
125118, 123, 124sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 2  -  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR )
126117, 125eqeltrrd 2463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  RR )
127126, 123remulcld 9050 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR )
128 mnflt 10655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR  ->  -oo  <  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )
129127, 128syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  ->  -oo  <  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )
130122simp3d 971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  <_  0 )
13118a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  e.  RR )
132118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
2  e.  RR )
133 2pos 10015 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  2
134133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  <  2 )
135110subid1i 9305 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  -  0 )  =  2
136123, 131, 132, 130lesub2dd 9576 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 2  -  0 )  <_  ( 2  -  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) )
137135, 136syl5eqbrr 4188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
2  <_  ( 2  -  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) )
138137, 117breqtrd 4178 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
2  <_  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )
139131, 132, 126, 134, 138ltletrd 9163 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  <  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )
140 lemul2 9796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  (
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )  ->  ( ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  <_ 
0  <->  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  <_  (
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  0 ) ) )
141123, 131, 126, 139, 140syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  <_  0  <->  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  <_  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  0 ) ) )
142130, 141mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  <_  ( (
1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  0 ) )
143 addcl 9006 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  e.  CC )
14413, 104, 143sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
145144adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
146145mul01d 9198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  0 )  =  0 )
147142, 146breqtrd 4178 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  <_  0 )
148 elioc2 10906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR )  ->  (
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  /\  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) )  <_ 
0 ) ) )
14917, 18, 148mp2an 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  /\  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) )  <_ 
0 ) )
150127, 129, 147, 149syl3anbrc 1138 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )
151 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )
152 elioc2 10906 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR )  ->  (
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  <_ 
0 ) ) )
15317, 18, 152mp2an 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  <_ 
0 ) )
154151, 153sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  e.  RR  /\ 
-oo  <  ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  /\  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  <_  0 ) )
155154simp1d 969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  RR )
156114oveq1i 6031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  -  1 )  -  ( _i  x.  A ) )  =  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)
157111, 112, 104subsub4d 9375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 2  -  1 )  -  ( _i  x.  A ) )  =  ( 2  -  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )
158156, 157syl5reqr 2435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  -  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) )
159158adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 2  -  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )
160 resubcl 9298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  RR )  ->  ( 2  -  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR )
161118, 155, 160sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 2  -  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR )
162159, 161eqeltrrd 2463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  RR )
163155, 162remulcld 9050 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  RR )
164163, 128syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  ->  -oo  <  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )
165154simp3d 971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  <_  0 )
16618a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  e.  RR )
167118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
2  e.  RR )
168133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  <  2 )
169155, 166, 167, 165lesub2dd 9576 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 2  -  0 )  <_  ( 2  -  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )
170135, 169syl5eqbrr 4188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
2  <_  ( 2  -  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )
171170, 159breqtrd 4178 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
2  <_  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )
172166, 167, 162, 168, 171ltletrd 9163 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  <  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )
173 lemul1 9795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  (
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  RR  /\  0  <  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) )  ->  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  <_ 
0  <->  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  <_  (
0  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )
174155, 166, 162, 172, 173syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  <_  0  <->  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  <_  ( 0  x.  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) ) )
175165, 174mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  <_  ( 0  x.  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) )
176162recnd 9048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  CC )
177176mul02d 9197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( 0  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  =  0 )
178175, 177breqtrd 4178 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  <_  0 )
179163, 164, 178, 149syl3anbrc 1138 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  x.  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )
180150, 179jaodan 761 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  ( 
-oo (,] 0 )  \/  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )  ->  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  x.  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  e.  ( 
-oo (,] 0 ) )
181109, 180eqeltrrd 2463 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  ( 
-oo (,] 0 )  \/  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )  ->  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  ( 
-oo (,] 0 ) )
18293, 181impbida 806 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  \/  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) ) )
183182notbid 286 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -.  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  -.  (
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 )  \/  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) ) )
184 ioran 477 . . . . 5  |-  ( -.  ( ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  ( 
-oo (,] 0 )  \/  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )  <->  ( -.  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 )  /\  -.  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
185183, 184syl6bb 253 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -.  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( -.  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 )  /\  -.  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) ) )
186 addcl 9006 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
18713, 1, 186sylancr 645 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
188 atansopn.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
189188eleq2i 2452 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  D  <->  ( 1  +  ( A ^
2 ) )  e.  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )
190 eldif 3274 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  <->  ( ( 1  +  ( A ^
2 ) )  e.  CC  /\  -.  (
1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
191189, 190bitri 241 . . . . . 6  |-  ( ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  D  <->  ( (
1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  CC  /\  -.  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
192191baib 872 . . . . 5  |-  ( ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  CC  ->  (
( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  D  <->  -.  (
1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
193187, 192syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  D  <->  -.  (
1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
194 subcl 9238 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  CC )
19513, 104, 194sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
196188eleq2i 2452 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  D  <->  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )
197 eldif 3274 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  <->  ( ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  CC  /\  -.  (
1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
198196, 197bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  D  <->  ( (
1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  CC  /\  -.  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
199198baib 872 . . . . . 6  |-  ( ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  CC  ->  (
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  D  <->  -.  (
1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
200195, 199syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  D  <->  -.  (
1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
201188eleq2i 2452 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  D  <->  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )
202 eldif 3274 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  <->  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC  /\  -.  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
203201, 202bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  D  <->  ( (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC  /\  -.  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
204203baib 872 . . . . . 6  |-  ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC  ->  (
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  D  <->  -.  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
205144, 204syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  D  <->  -.  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
206200, 205anbi12d 692 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  D  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  D )  <-> 
( -.  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0
)  /\  -.  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) ) )
207185, 193, 2063bitr4d 277 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  D  <->  ( (
1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  D  /\  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  D ) ) )
208207pm5.32i 619 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^ 2 ) )  e.  D )  <-> 
( A  e.  CC  /\  ( ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  D  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  D ) ) )
209 atansopn.s . . 3  |-  S  =  { y  e.  CC  |  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D }
210188, 209atans 20638 . 2  |-  ( A  e.  S  <->  ( A  e.  CC  /\  ( 1  +  ( A ^
2 ) )  e.  D ) )
211 3anass 940 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  D  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  D )  <-> 
( A  e.  CC  /\  ( ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  D  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  D ) ) )
212208, 210, 2113bitr4i 269 1  |-  ( A  e.  S  <->  ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  D  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   {crab 2654    \ cdif 3261   class class class wbr 4154   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   CCcc 8922   RRcr 8923   0cc0 8924   1c1 8925   _ici 8926    + caddc 8927    x. cmul 8929    -oocmnf 9052   RR*cxr 9053    < clt 9054    <_ cle 9055    - cmin 9224   -ucneg 9225   2c2 9982   (,]cioc 10850   ^cexp 11310   sqrcsqr 11966
This theorem is referenced by:  dvatan  20643
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-sup 7382  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-rp 10546  df-ioc 10854  df-seq 11252  df-exp 11311  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969
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