MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atansssdm Unicode version

Theorem atansssdm 20633
Description: The domain of continuity of the arctangent is a subset of the actual domain of the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
atansopn.d  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
atansopn.s  |-  S  =  { y  e.  CC  |  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D }
Assertion
Ref Expression
atansssdm  |-  S  C_  dom arctan
Distinct variable group:    y, D
Allowed substitution hint:    S( y)

Proof of Theorem atansssdm
StepHypRef Expression
1 atansopn.s . 2  |-  S  =  { y  e.  CC  |  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D }
2 rabss 3356 . . 3  |-  ( { y  e.  CC  | 
( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D }  C_ 
dom arctan 
<-> 
A. y  e.  CC  ( ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D  ->  y  e.  dom arctan ) )
3 simpl 444 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D )  ->  y  e.  CC )
4 atansopn.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
54logdmn0 20391 . . . . . 6  |-  ( ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D  ->  (
1  +  ( y ^ 2 ) )  =/=  0 )
65adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D )  ->  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  =/=  0
)
7 atandm4 20579 . . . . 5  |-  ( y  e.  dom arctan  <->  ( y  e.  CC  /\  ( 1  +  ( y ^
2 ) )  =/=  0 ) )
83, 6, 7sylanbrc 646 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D )  ->  y  e.  dom arctan )
98ex 424 . . 3  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D  -> 
y  e.  dom arctan ) )
102, 9mprgbir 2712 . 2  |-  { y  e.  CC  |  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D }  C_  dom arctan
111, 10eqsstri 3314 1  |-  S  C_  dom arctan
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2543   {crab 2646    \ cdif 3253    C_ wss 3256   dom cdm 4811  (class class class)co 6013   CCcc 8914   0cc0 8916   1c1 8917    + caddc 8919    -oocmnf 9044   2c2 9974   (,]cioc 10842   ^cexp 11302  arctancatan 20564
This theorem is referenced by:  dvatan  20635  atancn  20636
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-rp 10538  df-ioc 10846  df-seq 11244  df-exp 11303  df-atan 20567
  Copyright terms: Public domain W3C validator