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Theorem atantan 20764
Description: The arctangent function is an inverse to  tan. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
atantan  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  (arctan `  ( tan `  A ) )  =  A )

Proof of Theorem atantan
StepHypRef Expression
1 cosne0 20433 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  A
)  =/=  0 )
2 atandmtan 20761 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A )  =/=  0 )  -> 
( tan `  A
)  e.  dom arctan )
31, 2syldan 458 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( tan `  A
)  e.  dom arctan )
4 atanval 20725 . . 3  |-  ( ( tan `  A )  e.  dom arctan  ->  (arctan `  ( tan `  A ) )  =  ( ( _i  /  2 )  x.  ( ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) ) )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  (arctan `  ( tan `  A ) )  =  ( ( _i  / 
2 )  x.  (
( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) ) ) )
6 ax-1cn 9049 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
7 ax-icn 9050 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
8 tancl 12731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A )  =/=  0 )  -> 
( tan `  A
)  e.  CC )
91, 8syldan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( tan `  A
)  e.  CC )
10 mulcl 9075 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( tan `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( tan `  A ) )  e.  CC )
117, 9, 10sylancr 646 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  ( tan `  A ) )  e.  CC )
12 addcl 9073 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  ( tan `  A ) )  e.  CC )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )  e.  CC )
136, 11, 12sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )  e.  CC )
14 atandm2 20718 . . . . . . . 8  |-  ( ( tan `  A )  e.  dom arctan  <->  ( ( tan `  A )  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) )  =/=  0  /\  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) )  =/=  0 ) )
153, 14sylib 190 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( tan `  A )  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) )  =/=  0  /\  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) )  =/=  0 ) )
1615simp3d 972 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )  =/=  0 )
1713, 16logcld 20469 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  e.  CC )
18 subcl 9306 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  ( tan `  A ) )  e.  CC )  -> 
( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) )  e.  CC )
196, 11, 18sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )  e.  CC )
2015simp2d 971 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )  =/=  0 )
2119, 20logcld 20469 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  e.  CC )
2217, 21negsubdi2d 9428 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  =  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) ) )
23 efsub 12702 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  e.  CC  /\  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  / 
( exp `  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) ) )
2417, 21, 23syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  / 
( exp `  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) ) )
25 coscl 12729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
2625adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  A
)  e.  CC )
27 sincl 12728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  A )  e.  CC )
2827adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( sin `  A
)  e.  CC )
29 mulcl 9075 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )
307, 28, 29sylancr 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )
3126, 30, 26, 1divdird 9829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  /  ( cos `  A ) )  =  ( ( ( cos `  A )  /  ( cos `  A
) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) )  /  ( cos `  A
) ) ) )
3226, 1dividd 9789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( cos `  A )  /  ( cos `  A ) )  =  1 )
337a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  _i  e.  CC )
3433, 28, 26, 1divassd 9826 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i  x.  ( sin `  A
) )  /  ( cos `  A ) )  =  ( _i  x.  ( ( sin `  A
)  /  ( cos `  A ) ) ) )
35 tanval 12730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A )  =/=  0 )  -> 
( tan `  A
)  =  ( ( sin `  A )  /  ( cos `  A
) ) )
361, 35syldan 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( tan `  A
)  =  ( ( sin `  A )  /  ( cos `  A
) ) )
3736oveq2d 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  ( tan `  A ) )  =  ( _i  x.  ( ( sin `  A )  /  ( cos `  A ) ) ) )
3834, 37eqtr4d 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i  x.  ( sin `  A
) )  /  ( cos `  A ) )  =  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )
3932, 38oveq12d 6100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A )  /  ( cos `  A
) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) )  /  ( cos `  A
) ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
4031, 39eqtrd 2469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  /  ( cos `  A ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
41 efival 12754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )
4241adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
_i  x.  A )
)  =  ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
4342oveq1d 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  /  ( cos `  A ) )  =  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  /  ( cos `  A ) ) )
44 eflog 20475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )  e.  CC  /\  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) )  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
4513, 16, 44syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
4640, 43, 453eqtr4d 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  /  ( cos `  A ) )  =  ( exp `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) )
4726, 30, 26, 1divsubdird 9830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A )  -  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  /  ( cos `  A ) )  =  ( ( ( cos `  A )  /  ( cos `  A
) )  -  (
( _i  x.  ( sin `  A ) )  /  ( cos `  A
) ) ) )
4832, 38oveq12d 6100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A )  /  ( cos `  A
) )  -  (
( _i  x.  ( sin `  A ) )  /  ( cos `  A
) ) )  =  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
4947, 48eqtrd 2469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos `  A )  -  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  /  ( cos `  A ) )  =  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
50 negcl 9307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
5150adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u A  e.  CC )
52 efival 12754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  -u A ) )  =  ( ( cos `  -u A )  +  ( _i  x.  ( sin `  -u A ) ) ) )
5351, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
_i  x.  -u A ) )  =  ( ( cos `  -u A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  -u A
) ) ) )
54 cosneg 12749 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  -u A )  =  ( cos `  A
) )
5554adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  -u A
)  =  ( cos `  A ) )
56 sinneg 12748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  -u A )  = 
-u ( sin `  A
) )
5756adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( sin `  -u A
)  =  -u ( sin `  A ) )
5857oveq2d 6098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  ( sin `  -u A
) )  =  ( _i  x.  -u ( sin `  A ) ) )
59 mulneg2 9472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  -u ( sin `  A ) )  =  -u ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )
607, 28, 59sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  -u ( sin `  A
) )  =  -u ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )
6158, 60eqtrd 2469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  ( sin `  -u A
) )  =  -u ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )
6255, 61oveq12d 6100 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( cos `  -u A )  +  ( _i  x.  ( sin `  -u A ) ) )  =  ( ( cos `  A )  +  -u ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
6353, 62eqtrd 2469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
_i  x.  -u A ) )  =  ( ( cos `  A )  +  -u ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
64 simpl 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  A  e.  CC )
65 mulneg2 9472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  -u A
)  =  -u (
_i  x.  A )
)
667, 64, 65sylancr 646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  -u A )  =  -u ( _i  x.  A
) )
6766fveq2d 5733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
_i  x.  -u A ) )  =  ( exp `  -u ( _i  x.  A ) ) )
6826, 30negsubd 9418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( cos `  A )  +  -u ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  =  ( ( cos `  A )  -  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
6963, 67, 683eqtr3d 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  -u (
_i  x.  A )
)  =  ( ( cos `  A )  -  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
7069oveq1d 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  -u ( _i  x.  A ) )  / 
( cos `  A
) )  =  ( ( ( cos `  A
)  -  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) )  / 
( cos `  A
) ) )
71 eflog 20475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) )  e.  CC  /\  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) )  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  =  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
7219, 20, 71syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  =  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
7349, 70, 723eqtr4d 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( exp `  -u ( _i  x.  A ) )  / 
( cos `  A
) )  =  ( exp `  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) )
7446, 73oveq12d 6100 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  /  ( cos `  A
) )  /  (
( exp `  -u (
_i  x.  A )
)  /  ( cos `  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  /  ( exp `  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) ) ) )
75 mulcl 9075 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
767, 64, 75sylancr 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  A )  e.  CC )
77 efcl 12686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( _i  x.  A )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
7876, 77syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
_i  x.  A )
)  e.  CC )
7976negcld 9399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u ( _i  x.  A )  e.  CC )
80 efcl 12686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u ( _i  x.  A
)  e.  CC  ->  ( exp `  -u (
_i  x.  A )
)  e.  CC )
8179, 80syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  -u (
_i  x.  A )
)  e.  CC )
82 efne0 12699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u ( _i  x.  A
)  e.  CC  ->  ( exp `  -u (
_i  x.  A )
)  =/=  0 )
8379, 82syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  -u (
_i  x.  A )
)  =/=  0 )
8478, 81, 26, 83, 1divcan7d 9819 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  /  ( cos `  A
) )  /  (
( exp `  -u (
_i  x.  A )
)  /  ( cos `  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  /  ( exp `  -u ( _i  x.  A ) ) ) )
85 efsub 12702 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  -u ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( _i  x.  A
)  -  -u (
_i  x.  A )
) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  /  ( exp `  -u ( _i  x.  A ) ) ) )
8676, 79, 85syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
( _i  x.  A
)  -  -u (
_i  x.  A )
) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  /  ( exp `  -u ( _i  x.  A ) ) ) )
8776, 76subnegd 9419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i  x.  A )  -  -u ( _i  x.  A
) )  =  ( ( _i  x.  A
)  +  ( _i  x.  A ) ) )
88762timesd 10211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) )  =  ( ( _i  x.  A
)  +  ( _i  x.  A ) ) )
8987, 88eqtr4d 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i  x.  A )  -  -u ( _i  x.  A
) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  A ) ) )
9089fveq2d 5733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
( _i  x.  A
)  -  -u (
_i  x.  A )
) )  =  ( exp `  ( 2  x.  ( _i  x.  A ) ) ) )
9184, 86, 903eqtr2d 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  /  ( cos `  A
) )  /  (
( exp `  -u (
_i  x.  A )
)  /  ( cos `  A ) ) )  =  ( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  A ) ) ) )
9224, 74, 913eqtr2d 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( exp `  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) ) )  =  ( exp `  ( 2  x.  ( _i  x.  A ) ) ) )
9392fveq2d 5733 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( log `  ( exp `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) ) )  =  ( log `  ( exp `  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) ) ) ) )
94 recl 11916 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
9594adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  A )  e.  RR )
96 0re 9092 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
97 lttri4 9160 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( Re `  A )  <  0  \/  ( Re `  A
)  =  0  \/  0  <  ( Re
`  A ) ) )
9895, 96, 97sylancl 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( Re
`  A )  <  0  \/  ( Re
`  A )  =  0  \/  0  < 
( Re `  A
) ) )
993adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  ( tan `  A )  e. 
dom arctan )
10051adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  -u A  e.  CC )
10164adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  A  e.  CC )
102101renegd 12015 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  -u A )  =  -u ( Re `  A ) )
103101recld 12000 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
104103renegcld 9465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  -u (
Re `  A )  e.  RR )
105 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  A )  <  0 )
106103lt0neg1d 9597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
( Re `  A
)  <  0  <->  0  <  -u ( Re `  A
) ) )
107105, 106mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  0  <  -u ( Re `  A ) )
108 eliooord 10971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( -u ( pi  / 
2 )  <  (
Re `  A )  /\  ( Re `  A
)  <  ( pi  /  2 ) ) )
109108adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( -u (
pi  /  2 )  <  ( Re `  A )  /\  (
Re `  A )  <  ( pi  /  2
) ) )
110109simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u ( pi  / 
2 )  <  (
Re `  A )
)
111110adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  -u (
pi  /  2 )  <  ( Re `  A ) )
112 halfpire 20376 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
113 ltnegcon1 9530 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  ( Re `  A )  e.  RR )  -> 
( -u ( pi  / 
2 )  <  (
Re `  A )  <->  -u ( Re `  A
)  <  ( pi  /  2 ) ) )
114112, 103, 113sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  ( -u ( pi  /  2
)  <  ( Re `  A )  <->  -u ( Re
`  A )  < 
( pi  /  2
) ) )
115111, 114mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  -u (
Re `  A )  <  ( pi  /  2
) )
116 0xr 9132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR*
117112rexri 9138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( pi 
/  2 )  e. 
RR*
118 elioo2 10958 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR* )  ->  ( -u ( Re `  A
)  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( -u (
Re `  A )  e.  RR  /\  0  <  -u ( Re `  A
)  /\  -u ( Re
`  A )  < 
( pi  /  2
) ) ) )
119116, 117, 118mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  <->  ( -u (
Re `  A )  e.  RR  /\  0  <  -u ( Re `  A
)  /\  -u ( Re
`  A )  < 
( pi  /  2
) ) )
120104, 107, 115, 119syl3anbrc 1139 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  -u (
Re `  A )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) ) )
121102, 120eqeltrd 2511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  -u A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )
122 tanregt0 20442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u A  e.  CC  /\  ( Re `  -u A
)  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  (
Re `  ( tan `  -u A ) ) )
123100, 121, 122syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  0  <  ( Re `  ( tan `  -u A ) ) )
124 tanneg 12750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A )  =/=  0 )  -> 
( tan `  -u A
)  =  -u ( tan `  A ) )
1251, 124syldan 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( tan `  -u A
)  =  -u ( tan `  A ) )
126125adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  ( tan `  -u A )  = 
-u ( tan `  A
) )
127126fveq2d 5733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  ( tan `  -u A ) )  =  ( Re `  -u ( tan `  A ) ) )
1289adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  ( tan `  A )  e.  CC )
129128renegd 12015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  -u ( tan `  A ) )  = 
-u ( Re `  ( tan `  A ) ) )
130127, 129eqtrd 2469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  ( tan `  -u A ) )  = 
-u ( Re `  ( tan `  A ) ) )
131123, 130breqtrd 4237 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  0  <  -u ( Re `  ( tan `  A ) ) )
1329recld 12000 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  ( tan `  A ) )  e.  RR )
133132adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  ( tan `  A ) )  e.  RR )
134133lt0neg1d 9597 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
( Re `  ( tan `  A ) )  <  0  <->  0  <  -u ( Re `  ( tan `  A ) ) ) )
135131, 134mpbird 225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  ( tan `  A ) )  <  0 )
136135lt0ne0d 9593 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
Re `  ( tan `  A ) )  =/=  0 )
137 atanlogsub 20757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( tan `  A
)  e.  dom arctan  /\  (
Re `  ( tan `  A ) )  =/=  0 )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  e.  ran  log )
13899, 136, 137syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  <  0 )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  e.  ran  log )
139 1re 9091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
140 ioossre 10973 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u
1 (,) 1 ) 
C_  RR
14111adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
_i  x.  ( tan `  A ) )  e.  CC )
1427a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  _i  e.  CC )
143 ine0 9470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  _i  =/=  0
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  _i  =/=  0 )
145141, 142, 144divcan3d 9796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( _i  x.  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) )  /  _i )  =  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )
146 ixi 9652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
147146oveq1i 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( tan `  A
) )  =  (
-u 1  x.  ( tan `  A ) )
1489adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  ( tan `  A )  e.  CC )
149148mulm1d 9486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  ( -u 1  x.  ( tan `  A ) )  = 
-u ( tan `  A
) )
150125adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  ( tan `  -u A )  = 
-u ( tan `  A
) )
151149, 150eqtr4d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  ( -u 1  x.  ( tan `  A ) )  =  ( tan `  -u A
) )
152147, 151syl5eq 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( tan `  A ) )  =  ( tan `  -u A
) )
153142, 142, 148mulassd 9112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( tan `  A ) )  =  ( _i  x.  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
154146oveq1i 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  A )  =  ( -u 1  x.  A )
15564adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  A  e.  CC )
156155mulm1d 9486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  ( -u 1  x.  A )  =  -u A )
157154, 156syl5eq 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  A )  =  -u A )
158142, 142, 155mulassd 9112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  A )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  A
) ) )
159157, 158eqtr3d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  -u A  =  ( _i  x.  ( _i  x.  A
) ) )
160159fveq2d 5733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  ( tan `  -u A )  =  ( tan `  (
_i  x.  ( _i  x.  A ) ) ) )
161152, 153, 1603eqtr3d 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
_i  x.  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) )  =  ( tan `  (
_i  x.  ( _i  x.  A ) ) ) )
162161oveq1d 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( _i  x.  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) )  /  _i )  =  ( ( tan `  (
_i  x.  ( _i  x.  A ) ) )  /  _i ) )
163145, 162eqtr3d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
_i  x.  ( tan `  A ) )  =  ( ( tan `  (
_i  x.  ( _i  x.  A ) ) )  /  _i ) )
16476adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
165 reim 11915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  =  ( Im `  ( _i  x.  A
) ) )
166165adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  A )  =  ( Im `  ( _i  x.  A ) ) )
167166eqeq1d 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( Re
`  A )  =  0  <->  ( Im `  ( _i  x.  A
) )  =  0 ) )
168167biimpa 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
Im `  ( _i  x.  A ) )  =  0 )
169164, 168reim0bd 12006 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
_i  x.  A )  e.  RR )
170 tanhbnd 12763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _i  x.  A )  e.  RR  ->  (
( tan `  (
_i  x.  ( _i  x.  A ) ) )  /  _i )  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )
171169, 170syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( tan `  (
_i  x.  ( _i  x.  A ) ) )  /  _i )  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )
172163, 171eqeltrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
_i  x.  ( tan `  A ) )  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )
173140, 172sseldi 3347 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
_i  x.  ( tan `  A ) )  e.  RR )
174 readdcl 9074 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( tan `  A ) )  e.  RR )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )  e.  RR )
175139, 173, 174sylancr 646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) )  e.  RR )
176 df-neg 9295 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
177 eliooord 10971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _i  x.  ( tan `  A ) )  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -u 1  <  ( _i  x.  ( tan `  A
) )  /\  (
_i  x.  ( tan `  A ) )  <  1 ) )
178172, 177syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  ( -u 1  <  ( _i  x.  ( tan `  A
) )  /\  (
_i  x.  ( tan `  A ) )  <  1 ) )
179178simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  -u 1  <  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )
180176, 179syl5eqbrr 4247 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
0  -  1 )  <  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )
18196a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  0  e.  RR )
182139a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  1  e.  RR )
183181, 182, 173ltsubadd2d 9625 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( 0  -  1 )  <  ( _i  x.  ( tan `  A
) )  <->  0  <  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )
184180, 183mpbid 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  0  <  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )
185175, 184elrpd 10647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) )  e.  RR+ )
186185relogcld 20519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  e.  RR )
187178simprd 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
_i  x.  ( tan `  A ) )  <  1 )
188 difrp 10646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( _i  x.  ( tan `  A ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( _i  x.  ( tan `  A ) )  <  1  <->  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )  e.  RR+ ) )
189173, 139, 188sylancl 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( _i  x.  ( tan `  A ) )  <  1  <->  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) )  e.  RR+ ) )
190187, 189mpbid 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) )  e.  RR+ )
191190relogcld 20519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  e.  RR )
192186, 191resubcld 9466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  e.  RR )
193 relogrn 20460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  e.  RR  ->  ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  e.  ran  log )
194192, 193syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( Re
`  A )  =  0 )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  e.  ran  log )
1953adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  0  < 
( Re `  A
) )  ->  ( tan `  A )  e. 
dom arctan )
19664adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  0  < 
( Re `  A
) )  ->  A  e.  CC )
197196recld 12000 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  0  < 
( Re `  A
) )  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
198 simpr 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  0  < 
( Re `  A
) )  ->  0  <  ( Re `  A
) )
199109simprd 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Re `  A )  <  (
pi  /  2 ) )
200199adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  0  < 
( Re `  A
) )  ->  (
Re `  A )  <  ( pi  /  2
) )
201 elioo2 10958 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR* )  ->  (
( Re `  A
)  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( (
Re `  A )  e.  RR  /\  0  < 
( Re `  A
)  /\  ( Re `  A )  <  (
pi  /  2 ) ) ) )
202116, 117, 201mp2an 655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  <->  ( (
Re `  A )  e.  RR  /\  0  < 
( Re `  A
)  /\  ( Re `  A )  <  (
pi  /  2 ) ) )
203197, 198, 200, 202syl3anbrc 1139 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  0  < 
( Re `  A
) )  ->  (
Re `  A )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) ) )
204 tanregt0 20442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
0  <  ( Re `  ( tan `  A
) ) )
205196, 203, 204syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  0  < 
( Re `  A
) )  ->  0  <  ( Re `  ( tan `  A ) ) )
206205gt0ne0d 9592 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  0  < 
( Re `  A
) )  ->  (
Re `  ( tan `  A ) )  =/=  0 )
207195, 206, 137syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  0  < 
( Re `  A
) )  ->  (
( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  e.  ran  log )
208138, 194, 2073jaodan 1251 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( ( Re `  A )  <  0  \/  (
Re `  A )  =  0  \/  0  <  ( Re `  A ) ) )  ->  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  e.  ran  log )
20998, 208mpdan 651 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  e.  ran  log )
210 logef 20477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) )  e.  ran  log  ->  ( log `  ( exp `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) ) )  =  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) )
211209, 210syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( log `  ( exp `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) ) )  =  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) ) )
212 2cn 10071 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
213 mulcl 9075 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) )  e.  CC )
214212, 76, 213sylancr 646 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) )  e.  CC )
215 pire 20373 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  RR
216215recni 9103 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  CC
217 2ne0 10084 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
218 divneg 9710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  -u (
pi  /  2 )  =  ( -u pi  /  2 ) )
219216, 212, 217, 218mp3an 1280 . . . . . . . . . . 11  |-  -u (
pi  /  2 )  =  ( -u pi  /  2 )
220219, 110syl5eqbrr 4247 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( -u pi  /  2 )  <  (
Re `  A )
)
221215renegcli 9363 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u pi  e.  RR
222221a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u pi  e.  RR )
223 2re 10070 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
224223a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  2  e.  RR )
225 2pos 10083 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
226225a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  0  <  2
)
227 ltdivmul 9883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  ( Re `  A
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( -u pi  /  2 )  <  ( Re `  A )  <->  -u pi  <  ( 2  x.  ( Re
`  A ) ) ) )
228222, 95, 224, 226, 227syl112anc 1189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( -u pi  /  2 )  < 
( Re `  A
)  <->  -u pi  <  (
2  x.  ( Re
`  A ) ) ) )
229220, 228mpbid 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u pi  <  (
2  x.  ( Re
`  A ) ) )
230 immul2 11943 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( Im `  ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )  =  ( 2  x.  ( Im
`  ( _i  x.  A ) ) ) )
231223, 76, 230sylancr 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Im `  ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )  =  ( 2  x.  ( Im
`  ( _i  x.  A ) ) ) )
232166oveq2d 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( Re `  A
) )  =  ( 2  x.  ( Im
`  ( _i  x.  A ) ) ) )
233231, 232eqtr4d 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Im `  ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )  =  ( 2  x.  ( Re
`  A ) ) )
234229, 233breqtrrd 4239 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u pi  <  (
Im `  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) ) ) )
235 remulcl 9076 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( Re `  A )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  (
Re `  A )
)  e.  RR )
236223, 95, 235sylancr 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( Re `  A
) )  e.  RR )
237215a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  pi  e.  RR )
238 ltmuldiv2 9882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( 2  x.  ( Re `  A ) )  < 
pi 
<->  ( Re `  A
)  <  ( pi  /  2 ) ) )
23995, 237, 224, 226, 238syl112anc 1189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( 2  x.  ( Re `  A ) )  < 
pi 
<->  ( Re `  A
)  <  ( pi  /  2 ) ) )
240199, 239mpbird 225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( Re `  A
) )  <  pi )
241236, 237, 240ltled 9222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( Re `  A
) )  <_  pi )
242233, 241eqbrtrd 4233 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( Im `  ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )  <_  pi )
243 ellogrn 20458 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  ( _i  x.  A ) )  e.  ran  log  <->  ( (
2  x.  ( _i  x.  A ) )  e.  CC  /\  -u pi  <  ( Im `  (
2  x.  ( _i  x.  A ) ) )  /\  ( Im
`  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) ) )  <_  pi ) )
244214, 234, 242, 243syl3anbrc 1139 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) )  e.  ran  log )
245 logef 20477 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  ( _i  x.  A ) )  e.  ran  log  ->  ( log `  ( exp `  ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) ) )  =  ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )
246244, 245syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( log `  ( exp `  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) ) ) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  A
) ) )
24793, 211, 2463eqtr3d 2477 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  A ) ) )
248247negeqd 9301 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -u ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  =  -u ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )
24922, 248eqtr3d 2471 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( tan `  A ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( tan `  A ) ) ) ) )  =  -u ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )
250249oveq2d 6098 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( tan `  A
) ) ) ) ) )  =  ( ( _i  /  2
)  x.  -u (
2  x.  ( _i  x.  A ) ) ) )
251 halfcl 10194 . . . . 5  |-  ( _i  e.  CC  ->  (
_i  /  2 )  e.  CC )
2527, 251mp1i 12 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  / 
2 )  e.  CC )
253212a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  2  e.  CC )
254252, 253, 79mulassd 9112 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( _i  /  2 )  x.  2 )  x.  -u ( _i  x.  A
) )  =  ( ( _i  /  2
)  x.  ( 2  x.  -u ( _i  x.  A ) ) ) )
2557, 212, 217divcan1i 9759 . . . . 5  |-  ( ( _i  /  2 )  x.  2 )  =  _i
256255oveq1i 6092 . . . 4  |-  ( ( ( _i  /  2
)  x.  2 )  x.  -u ( _i  x.  A ) )  =  ( _i  x.  -u (
_i  x.  A )
)
25733, 33, 51mulassd 9112 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i  x.  _i )  x.  -u A )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  -u A ) ) )
258146oveq1i 6092 . . . . . 6  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  -u A )  =  ( -u 1  x.  -u A )
259 mul2neg 9474 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u 1  x.  -u A )  =  ( 1  x.  A ) )
2606, 64, 259sylancr 646 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( -u 1  x.  -u A )  =  ( 1  x.  A
) )
261 mulid2 9090 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  x.  A )  =  A )
262261adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 1  x.  A )  =  A )
263260, 262eqtrd 2469 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( -u 1  x.  -u A )  =  A )
264258, 263syl5eq 2481 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i  x.  _i )  x.  -u A )  =  A )
26566oveq2d 6098 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  ( _i  x.  -u A
) )  =  ( _i  x.  -u (
_i  x.  A )
) )
266257, 264, 2653eqtr3rd 2478 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( _i  x.  -u ( _i  x.  A
) )  =  A )
267256, 266syl5eq 2481 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( _i  /  2 )  x.  2 )  x.  -u ( _i  x.  A
) )  =  A )
268 mulneg2 9472 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  -u ( _i  x.  A
) )  =  -u ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )
269212, 76, 268sylancr 646 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  -u ( _i  x.  A
) )  =  -u ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )
270269oveq2d 6098 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( 2  x.  -u (
_i  x.  A )
) )  =  ( ( _i  /  2
)  x.  -u (
2  x.  ( _i  x.  A ) ) ) )
271254, 267, 2703eqtr3rd 2478 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( _i 
/  2 )  x.  -u ( 2  x.  (
_i  x.  A )
) )  =  A )
2725, 250, 2713eqtrd 2473 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  (arctan `  ( tan `  A ) )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    \/ w3o 936    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2600   class class class wbr 4213   dom cdm 4879   ran crn 4880   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   CCcc 8989   RRcr 8990   0cc0 8991   1c1 8992   _ici 8993    + caddc 8994    x. cmul 8996   RR*cxr 9120    < clt 9121    <_ cle 9122    - cmin 9292   -ucneg 9293    / cdiv 9678   2c2 10050   RR+crp 10613   (,)cioo 10917   Recre 11903   Imcim 11904   expce 12665   sincsin 12667   cosccos 12668   tanctan 12669   picpi 12670   logclog 20453  arctancatan 20705
This theorem is referenced by:  atantanb  20765  atan1  20769
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069  ax-addf 9070  ax-mulf 9071
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-ixp 7065  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-fi 7417  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-cda 8049  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-xneg 10711  df-xadd 10712  df-xmul 10713  df-ioo 10921  df-ioc 10922  df-ico 10923  df-icc 10924  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-fl 11203  df-mod 11252  df-seq 11325  df-exp 11384  df-fac 11568  df-bc 11595  df-hash 11620  df-shft 11883  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-limsup 12266  df-clim 12283  df-rlim 12284  df-sum 12481  df-ef 12671  df-sin 12673  df-cos 12674  df-tan 12675  df-pi 12676  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-starv 13545  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ds 13552  df-unif 13553  df-hom 13554  df-cco 13555  df-rest 13651  df-topn 13652  df-topgen 13668  df-pt 13669  df-prds 13672  df-xrs 13727  df-0g 13728  df-gsum 13729  df-qtop 13734  df-imas 13735  df-xps 13737  df-mre 13812  df-mrc 13813  df-acs 13815  df-mnd 14691  df-submnd 14740  df-mulg 14816  df-cntz 15117  df-cmn 15415  df-psmet 16695  df-xmet 16696  df-met 16697  df-bl 16698  df-mopn 16699  df-fbas 16700  df-fg 16701  df-cnfld 16705  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-topsp 16968  df-cld 17084  df-ntr 17085  df-cls 17086  df-nei 17163  df-lp 17201  df-perf 17202  df-cn 17292  df-cnp 17293  df-haus 17380  df-tx 17595  df-hmeo 17788  df-fil 17879  df-fm 17971  df-flim 17972  df-flf 17973  df-xms 18351  df-ms 18352  df-tms 18353  df-cncf 18909  df-limc 19754  df-dv 19755  df-log 20455  df-atan 20708
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