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Theorem atantayl 20734
Description: The Taylor series for arctan ( A
). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
atantayl.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^ n ) ) )  /  2
)  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) )
Assertion
Ref Expression
atantayl  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  (arctan `  A ) )
Distinct variable group:    A, n
Allowed substitution hint:    F( n)

Proof of Theorem atantayl
Dummy variables  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10481 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10271 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
1  e.  ZZ )
4 ax-icn 9009 . . . 4  |-  _i  e.  CC
5 halfcl 10153 . . . 4  |-  ( _i  e.  CC  ->  (
_i  /  2 )  e.  CC )
64, 5mp1i 12 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( _i  /  2
)  e.  CC )
7 simpl 444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  A  e.  CC )
8 mulcl 9034 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
94, 7, 8sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( _i  x.  A
)  e.  CC )
109negcld 9358 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  -u ( _i  x.  A
)  e.  CC )
119absnegd 12210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  -u (
_i  x.  A )
)  =  ( abs `  ( _i  x.  A
) ) )
12 absmul 12058 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( abs `  (
_i  x.  A )
)  =  ( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  A
) ) )
134, 7, 12sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  (
_i  x.  A )
)  =  ( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  A
) ) )
14 absi 12050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs `  _i )  =  1
1514oveq1i 6054 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  A
) )  =  ( 1  x.  ( abs `  A ) )
16 abscl 12042 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
1716adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR )
1817recnd 9074 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  A
)  e.  CC )
1918mulid2d 9066 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( 1  x.  ( abs `  A ) )  =  ( abs `  A
) )
2015, 19syl5eq 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  A ) )  =  ( abs `  A
) )
2111, 13, 203eqtrd 2444 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  -u (
_i  x.  A )
)  =  ( abs `  A ) )
22 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  A
)  <  1 )
2321, 22eqbrtrd 4196 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  -u (
_i  x.  A )
)  <  1 )
24 logtayl 20508 . . . . . . 7  |-  ( (
-u ( _i  x.  A )  e.  CC  /\  ( abs `  -u (
_i  x.  A )
)  <  1 )  ->  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) ) )  ~~>  -u ( log `  ( 1  - 
-u ( _i  x.  A ) ) ) )
2510, 23, 24syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( -u (
_i  x.  A ) ^ n )  /  n ) ) )  ~~> 
-u ( log `  (
1  -  -u (
_i  x.  A )
) ) )
26 ax-1cn 9008 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
27 subneg 9310 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  - 
-u ( _i  x.  A ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )
2826, 9, 27sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( 1  -  -u (
_i  x.  A )
)  =  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )
2928fveq2d 5695 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( log `  (
1  -  -u (
_i  x.  A )
) )  =  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )
3029negeqd 9260 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  -u ( log `  (
1  -  -u (
_i  x.  A )
) )  =  -u ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )
3125, 30breqtrd 4200 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( -u (
_i  x.  A ) ^ n )  /  n ) ) )  ~~> 
-u ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )
32 seqex 11284 . . . . . 6  |-  seq  1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u (
_i  x.  A ) ^ n )  /  n )  -  (
( ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) ) ) )  e. 
_V
3332a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) ) )  e.  _V )
3411, 23eqbrtrrd 4198 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  (
_i  x.  A )
)  <  1 )
35 logtayl 20508 . . . . . 6  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( _i  x.  A ) )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) )  ~~>  -u ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) )
369, 34, 35syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) )  ~~>  -u ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) )
37 oveq2 6052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  ( -u ( _i  x.  A
) ^ n )  =  ( -u (
_i  x.  A ) ^ m ) )
38 id 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  n  =  m )
3937, 38oveq12d 6062 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  (
( -u ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n )  =  ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ m )  /  m ) )
40 eqid 2408 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) )
41 ovex 6069 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ m
)  /  m )  e.  _V
4239, 40, 41fvmpt 5769 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( -u (
_i  x.  A ) ^ n )  /  n ) ) `  m )  =  ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
m )  /  m
) )
4342adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) ) `  m )  =  ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ m )  /  m ) )
44 nnnn0 10188 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  NN0 )
45 expcl 11358 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u ( _i  x.  A )  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( -u ( _i  x.  A ) ^
m )  e.  CC )
4610, 44, 45syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( -u (
_i  x.  A ) ^ m )  e.  CC )
47 nncn 9968 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
4847adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  CC )
49 nnne0 9992 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  m  =/=  0 )
5049adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  m  =/=  0
)
5146, 48, 50divcld 9750 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ m )  /  m )  e.  CC )
5243, 51eqeltrd 2482 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) ) `  m )  e.  CC )
531, 3, 52serf 11310 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( -u (
_i  x.  A ) ^ n )  /  n ) ) ) : NN --> CC )
5453ffvelrnda 5833 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) ) `  k )  e.  CC )
55 oveq2 6052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( _i  x.  A
) ^ n )  =  ( ( _i  x.  A ) ^
m ) )
5655, 38oveq12d 6062 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n )  =  ( ( ( _i  x.  A ) ^ m )  /  m ) )
57 eqid 2408 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  /  n ) )
58 ovex 6069 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _i  x.  A
) ^ m )  /  m )  e. 
_V
5956, 57, 58fvmpt 5769 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) `  m
)  =  ( ( ( _i  x.  A
) ^ m )  /  m ) )
6059adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n ) ) `
 m )  =  ( ( ( _i  x.  A ) ^
m )  /  m
) )
61 expcl 11358 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( _i  x.  A ) ^ m
)  e.  CC )
629, 44, 61syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( _i  x.  A ) ^
m )  e.  CC )
6362, 48, 50divcld 9750 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ m )  /  m )  e.  CC )
6460, 63eqeltrd 2482 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n ) ) `
 m )  e.  CC )
651, 3, 64serf 11310 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) ) : NN --> CC )
6665ffvelrnda 5833 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) ) ) `  k
)  e.  CC )
67 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
6867, 1syl6eleq 2498 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
69 simpl 444 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
) )
70 elfznn 11040 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  ( 1 ... k )  ->  m  e.  NN )
7169, 70, 52syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( -u (
_i  x.  A ) ^ n )  /  n ) ) `  m )  e.  CC )
7269, 70, 64syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) `  m
)  e.  CC )
7339, 56oveq12d 6062 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( -u (
_i  x.  A ) ^ n )  /  n )  -  (
( ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) )  =  ( ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
m )  /  m
)  -  ( ( ( _i  x.  A
) ^ m )  /  m ) ) )
74 eqid 2408 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
)  -  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
)  -  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n ) ) )
75 ovex 6069 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
m )  /  m
)  -  ( ( ( _i  x.  A
) ^ m )  /  m ) )  e.  _V
7673, 74, 75fvmpt 5769 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) ) `  m )  =  ( ( ( -u (
_i  x.  A ) ^ m )  /  m )  -  (
( ( _i  x.  A ) ^ m
)  /  m ) ) )
7776adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
)  -  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n ) ) ) `  m )  =  ( ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ m
)  /  m )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^ m )  /  m ) ) )
7843, 60oveq12d 6062 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) `  m
)  -  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) ) `  m ) )  =  ( ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
m )  /  m
)  -  ( ( ( _i  x.  A
) ^ m )  /  m ) ) )
7977, 78eqtr4d 2443 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
)  -  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n ) ) ) `  m )  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) `  m
)  -  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) ) `  m ) ) )
8069, 70, 79syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) ) `  m )  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n ) ) `
 m )  -  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  /  n ) ) `  m ) ) )
8168, 71, 72, 80sersub 11325 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u (
_i  x.  A ) ^ n )  /  n )  -  (
( ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) ) ) ) `  k )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) ) ) `  k
)  -  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) ) `  k ) ) )
821, 3, 31, 33, 36, 54, 66, 81climsub 12386 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) ) )  ~~>  ( -u ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  -u ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) ) )
83 addcl 9032 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  e.  CC )
8426, 9, 83sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
85 bndatandm 20726 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  A  e.  dom arctan )
86 atandm2 20674 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom arctan  <->  ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  =/=  0  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 ) )
8785, 86sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  =/=  0  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 ) )
8887simp3d 971 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 )
8984, 88logcld 20425 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  e.  CC )
90 subcl 9265 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  CC )
9126, 9, 90sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  CC )
9287simp2d 970 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  =/=  0 )
9391, 92logcld 20425 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  CC )
9489, 93neg2subd 9388 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( -u ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  -u ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) )  =  ( ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) ) )
9582, 94breqtrd 4200 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) ) )  ~~>  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) ) )
9651, 63subcld 9371 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ m
)  /  m )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^ m )  /  m ) )  e.  CC )
9777, 96eqeltrd 2482 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
)  -  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n ) ) ) `  m )  e.  CC )
984a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  _i  e.  CC )
994negcli 9328 . . . . . . . . 9  |-  -u _i  e.  CC
10044adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  NN0 )
101 expcl 11358 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( -u _i ^
m )  e.  CC )
10299, 100, 101sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( -u _i ^ m )  e.  CC )
103 expcl 11358 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( _i ^ m
)  e.  CC )
1044, 100, 103sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( _i ^
m )  e.  CC )
105102, 104subcld 9371 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( -u _i ^ m )  -  ( _i ^ m ) )  e.  CC )
106 2cn 10030 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
107106a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
108 2ne0 10043 . . . . . . . 8  |-  2  =/=  0
109108a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  2  =/=  0
)
11098, 105, 107, 109div23d 9787 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ m )  -  ( _i ^ m ) ) )  /  2
)  =  ( ( _i  /  2 )  x.  ( ( -u _i ^ m )  -  ( _i ^ m ) ) ) )
111110oveq1d 6059 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( _i  x.  ( (
-u _i ^ m
)  -  ( _i
^ m ) ) )  /  2 )  x.  ( ( A ^ m )  /  m ) )  =  ( ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( -u _i ^ m )  -  ( _i ^ m ) ) )  x.  (
( A ^ m
)  /  m ) ) )
1126adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( _i  / 
2 )  e.  CC )
113 expcl 11358 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( A ^ m
)  e.  CC )
1147, 44, 113syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( A ^
m )  e.  CC )
115114, 48, 50divcld 9750 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( A ^ m )  /  m )  e.  CC )
116112, 105, 115mulassd 9071 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( _i  /  2 )  x.  ( ( -u _i ^ m )  -  ( _i ^ m ) ) )  x.  (
( A ^ m
)  /  m ) )  =  ( ( _i  /  2 )  x.  ( ( (
-u _i ^ m
)  -  ( _i
^ m ) )  x.  ( ( A ^ m )  /  m ) ) ) )
117102, 104, 114subdird 9450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( (
-u _i ^ m
)  -  ( _i
^ m ) )  x.  ( A ^
m ) )  =  ( ( ( -u _i ^ m )  x.  ( A ^ m
) )  -  (
( _i ^ m
)  x.  ( A ^ m ) ) ) )
1187adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
119 mulneg1 9430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  A )  =  -u ( _i  x.  A
) )
1204, 118, 119sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( -u _i  x.  A )  =  -u ( _i  x.  A
) )
121120oveq1d 6059 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( -u _i  x.  A ) ^
m )  =  (
-u ( _i  x.  A ) ^ m
) )
12299a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  -u _i  e.  CC )
123122, 118, 100mulexpd 11497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( -u _i  x.  A ) ^
m )  =  ( ( -u _i ^
m )  x.  ( A ^ m ) ) )
124121, 123eqtr3d 2442 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( -u (
_i  x.  A ) ^ m )  =  ( ( -u _i ^ m )  x.  ( A ^ m
) ) )
12598, 118, 100mulexpd 11497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( _i  x.  A ) ^
m )  =  ( ( _i ^ m
)  x.  ( A ^ m ) ) )
126124, 125oveq12d 6062 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ m )  -  ( ( _i  x.  A ) ^
m ) )  =  ( ( ( -u _i ^ m )  x.  ( A ^ m
) )  -  (
( _i ^ m
)  x.  ( A ^ m ) ) ) )
127117, 126eqtr4d 2443 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( (
-u _i ^ m
)  -  ( _i
^ m ) )  x.  ( A ^
m ) )  =  ( ( -u (
_i  x.  A ) ^ m )  -  ( ( _i  x.  A ) ^ m
) ) )
128127oveq1d 6059 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( ( -u _i ^
m )  -  (
_i ^ m ) )  x.  ( A ^ m ) )  /  m )  =  ( ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ m )  -  ( ( _i  x.  A ) ^
m ) )  /  m ) )
129105, 114, 48, 50divassd 9785 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( ( -u _i ^
m )  -  (
_i ^ m ) )  x.  ( A ^ m ) )  /  m )  =  ( ( ( -u _i ^ m )  -  ( _i ^ m ) )  x.  ( ( A ^ m )  /  m ) ) )
13046, 62, 48, 50divsubdird 9789 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ m
)  -  ( ( _i  x.  A ) ^ m ) )  /  m )  =  ( ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ m )  /  m )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^
m )  /  m
) ) )
131128, 129, 1303eqtr3d 2448 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( (
-u _i ^ m
)  -  ( _i
^ m ) )  x.  ( ( A ^ m )  /  m ) )  =  ( ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ m )  /  m )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^
m )  /  m
) ) )
132131oveq2d 6060 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( ( -u _i ^ m )  -  ( _i ^ m ) )  x.  ( ( A ^ m )  /  m ) ) )  =  ( ( _i  /  2 )  x.  ( ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ m
)  /  m )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^ m )  /  m ) ) ) )
133111, 116, 1323eqtrd 2444 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( _i  x.  ( (
-u _i ^ m
)  -  ( _i
^ m ) ) )  /  2 )  x.  ( ( A ^ m )  /  m ) )  =  ( ( _i  / 
2 )  x.  (
( ( -u (
_i  x.  A ) ^ m )  /  m )  -  (
( ( _i  x.  A ) ^ m
)  /  m ) ) ) )
134 oveq2 6052 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  ( -u _i ^ n )  =  ( -u _i ^ m ) )
135 oveq2 6052 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  (
_i ^ n )  =  ( _i ^
m ) )
136134, 135oveq12d 6062 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  (
( -u _i ^ n
)  -  ( _i
^ n ) )  =  ( ( -u _i ^ m )  -  ( _i ^ m ) ) )
137136oveq2d 6060 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  (
_i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^
n ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( -u _i ^ m )  -  ( _i ^ m ) ) ) )
138137oveq1d 6059 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  (
( _i  x.  (
( -u _i ^ n
)  -  ( _i
^ n ) ) )  /  2 )  =  ( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ m )  -  ( _i ^ m ) ) )  /  2
) )
139 oveq2 6052 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  ( A ^ n )  =  ( A ^ m
) )
140139, 38oveq12d 6062 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  (
( A ^ n
)  /  n )  =  ( ( A ^ m )  /  m ) )
141138, 140oveq12d 6062 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^ n ) ) )  /  2
)  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( (
-u _i ^ m
)  -  ( _i
^ m ) ) )  /  2 )  x.  ( ( A ^ m )  /  m ) ) )
142 atantayl.1 . . . . . 6  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^ n ) ) )  /  2
)  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) )
143 ovex 6069 . . . . . 6  |-  ( ( ( _i  x.  (
( -u _i ^ m
)  -  ( _i
^ m ) ) )  /  2 )  x.  ( ( A ^ m )  /  m ) )  e. 
_V
144141, 142, 143fvmpt 5769 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  ( F `  m )  =  ( ( ( _i  x.  ( (
-u _i ^ m
)  -  ( _i
^ m ) ) )  /  2 )  x.  ( ( A ^ m )  /  m ) ) )
145144adantl 453 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `  m )  =  ( ( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ m )  -  ( _i ^ m ) ) )  /  2
)  x.  ( ( A ^ m )  /  m ) ) )
14677oveq2d 6060 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  /  n ) ) ) `
 m ) )  =  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ m )  /  m )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^
m )  /  m
) ) ) )
147133, 145, 1463eqtr4d 2450 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `  m )  =  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u (
_i  x.  A ) ^ n )  /  n )  -  (
( ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) ) ) `  m
) ) )
1481, 3, 6, 95, 97, 147isermulc2 12410 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  ( ( _i  /  2 )  x.  ( ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) ) ) )
149 atanval 20681 . . 3  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  (arctan `  A )  =  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) ) ) ) )
15085, 149syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
(arctan `  A )  =  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) ) ) )
151148, 150breqtrrd 4202 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  (arctan `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571   _Vcvv 2920   class class class wbr 4176    e. cmpt 4230   dom cdm 4841   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   CCcc 8948   RRcr 8949   0cc0 8950   1c1 8951   _ici 8952    + caddc 8953    x. cmul 8955    < clt 9080    - cmin 9251   -ucneg 9252    / cdiv 9637   NNcn 9960   2c2 10009   NN0cn0 10181   ZZcz 10242   ZZ>=cuz 10448   ...cfz 11003    seq cseq 11282   ^cexp 11341   abscabs 11998    ~~> cli 12237   logclog 20409  arctancatan 20661
This theorem is referenced by:  atantayl2  20735
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028  ax-addf 9029  ax-mulf 9030
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-of 6268  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-pm 6984  df-ixp 7027  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-fi 7378  df-sup 7408  df-oi 7439  df-card 7786  df-cda 8008  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-7 10023  df-8 10024  df-9 10025  df-10 10026  df-n0 10182  df-z 10243  df-dec 10343  df-uz 10449  df-q 10535  df-rp 10573  df-xneg 10670  df-xadd 10671  df-xmul 10672  df-ioo 10880  df-ioc 10881  df-ico 10882  df-icc 10883  df-fz 11004  df-fzo 11095  df-fl 11161  df-mod 11210  df-seq 11283  df-exp 11342  df-fac 11526  df-bc 11553  df-hash 11578  df-shft 11841  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-limsup 12224  df-clim 12241  df-rlim 12242  df-sum 12439  df-ef 12629  df-sin 12631  df-cos 12632  df-tan 12633  df-pi 12634  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-starv 13503  df-sca 13504  df-vsca 13505  df-tset 13507  df-ple 13508  df-ds 13510  df-unif 13511  df-hom 13512  df-cco 13513  df-rest 13609  df-topn 13610  df-topgen 13626  df-pt 13627  df-prds 13630  df-xrs 13685  df-0g 13686  df-gsum 13687  df-qtop 13692  df-imas 13693  df-xps 13695  df-mre 13770  df-mrc 13771  df-acs 13773  df-mnd 14649  df-submnd 14698  df-mulg 14774  df-cntz 15075  df-cmn 15373  df-psmet 16653  df-xmet 16654  df-met 16655  df-bl 16656  df-mopn 16657  df-fbas 16658  df-fg 16659  df-cnfld 16663  df-top 16922  df-bases 16924  df-topon 16925  df-topsp 16926  df-cld 17042  df-ntr 17043  df-cls 17044  df-nei 17121  df-lp 17159  df-perf 17160  df-cn 17249  df-cnp 17250  df-haus 17337  df-cmp 17408  df-tx 17551  df-hmeo 17744  df-fil 17835  df-fm 17927  df-flim 17928  df-flf 17929  df-xms 18307  df-ms 18308  df-tms 18309  df-cncf 18865  df-limc 19710  df-dv 19711  df-ulm 20250  df-log 20411  df-atan 20664
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