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Theorem atantayl 20455
Description: The Taylor series for arctan ( A
). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
atantayl.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^ n ) ) )  /  2
)  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) )
Assertion
Ref Expression
atantayl  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  (arctan `  A ) )
Distinct variable group:    A, n
Allowed substitution hint:    F( n)

Proof of Theorem atantayl
Dummy variables  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10414 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10204 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
32a1i 10 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
1  e.  ZZ )
4 ax-icn 8943 . . . 4  |-  _i  e.  CC
5 halfcl 10086 . . . 4  |-  ( _i  e.  CC  ->  (
_i  /  2 )  e.  CC )
64, 5mp1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( _i  /  2
)  e.  CC )
7 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  A  e.  CC )
8 mulcl 8968 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
94, 7, 8sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( _i  x.  A
)  e.  CC )
109negcld 9291 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  -u ( _i  x.  A
)  e.  CC )
119absnegd 12138 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  -u (
_i  x.  A )
)  =  ( abs `  ( _i  x.  A
) ) )
12 absmul 11986 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( abs `  (
_i  x.  A )
)  =  ( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  A
) ) )
134, 7, 12sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  (
_i  x.  A )
)  =  ( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  A
) ) )
14 absi 11978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs `  _i )  =  1
1514oveq1i 5991 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  A
) )  =  ( 1  x.  ( abs `  A ) )
16 abscl 11970 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
1716adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR )
1817recnd 9008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  A
)  e.  CC )
1918mulid2d 9000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( 1  x.  ( abs `  A ) )  =  ( abs `  A
) )
2015, 19syl5eq 2410 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  A ) )  =  ( abs `  A
) )
2111, 13, 203eqtrd 2402 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  -u (
_i  x.  A )
)  =  ( abs `  A ) )
22 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  A
)  <  1 )
2321, 22eqbrtrd 4145 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  -u (
_i  x.  A )
)  <  1 )
24 logtayl 20229 . . . . . . 7  |-  ( (
-u ( _i  x.  A )  e.  CC  /\  ( abs `  -u (
_i  x.  A )
)  <  1 )  ->  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) ) )  ~~>  -u ( log `  ( 1  - 
-u ( _i  x.  A ) ) ) )
2510, 23, 24syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( -u (
_i  x.  A ) ^ n )  /  n ) ) )  ~~> 
-u ( log `  (
1  -  -u (
_i  x.  A )
) ) )
26 ax-1cn 8942 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
27 subneg 9243 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  - 
-u ( _i  x.  A ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )
2826, 9, 27sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( 1  -  -u (
_i  x.  A )
)  =  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )
2928fveq2d 5636 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( log `  (
1  -  -u (
_i  x.  A )
) )  =  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )
3029negeqd 9193 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  -u ( log `  (
1  -  -u (
_i  x.  A )
) )  =  -u ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )
3125, 30breqtrd 4149 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( -u (
_i  x.  A ) ^ n )  /  n ) ) )  ~~> 
-u ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )
32 seqex 11212 . . . . . 6  |-  seq  1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u (
_i  x.  A ) ^ n )  /  n )  -  (
( ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) ) ) )  e. 
_V
3332a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) ) )  e.  _V )
3411, 23eqbrtrrd 4147 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  (
_i  x.  A )
)  <  1 )
35 logtayl 20229 . . . . . 6  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( _i  x.  A ) )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) )  ~~>  -u ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) )
369, 34, 35syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) )  ~~>  -u ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) )
37 oveq2 5989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  ( -u ( _i  x.  A
) ^ n )  =  ( -u (
_i  x.  A ) ^ m ) )
38 id 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  n  =  m )
3937, 38oveq12d 5999 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  (
( -u ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n )  =  ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ m )  /  m ) )
40 eqid 2366 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) )
41 ovex 6006 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ m
)  /  m )  e.  _V
4239, 40, 41fvmpt 5709 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( -u (
_i  x.  A ) ^ n )  /  n ) ) `  m )  =  ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
m )  /  m
) )
4342adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) ) `  m )  =  ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ m )  /  m ) )
44 nnnn0 10121 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  NN0 )
45 expcl 11286 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u ( _i  x.  A )  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( -u ( _i  x.  A ) ^
m )  e.  CC )
4610, 44, 45syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( -u (
_i  x.  A ) ^ m )  e.  CC )
47 nncn 9901 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
4847adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  CC )
49 nnne0 9925 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  m  =/=  0 )
5049adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  m  =/=  0
)
5146, 48, 50divcld 9683 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ m )  /  m )  e.  CC )
5243, 51eqeltrd 2440 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) ) `  m )  e.  CC )
531, 3, 52serf 11238 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( -u (
_i  x.  A ) ^ n )  /  n ) ) ) : NN --> CC )
54 ffvelrn 5770 . . . . . 6  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n ) ) ) : NN --> CC  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) ) ) `  k
)  e.  CC )
5553, 54sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) ) `  k )  e.  CC )
56 oveq2 5989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( _i  x.  A
) ^ n )  =  ( ( _i  x.  A ) ^
m ) )
5756, 38oveq12d 5999 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n )  =  ( ( ( _i  x.  A ) ^ m )  /  m ) )
58 eqid 2366 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  /  n ) )
59 ovex 6006 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _i  x.  A
) ^ m )  /  m )  e. 
_V
6057, 58, 59fvmpt 5709 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) `  m
)  =  ( ( ( _i  x.  A
) ^ m )  /  m ) )
6160adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n ) ) `
 m )  =  ( ( ( _i  x.  A ) ^
m )  /  m
) )
62 expcl 11286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( _i  x.  A ) ^ m
)  e.  CC )
639, 44, 62syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( _i  x.  A ) ^
m )  e.  CC )
6463, 48, 50divcld 9683 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ m )  /  m )  e.  CC )
6561, 64eqeltrd 2440 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n ) ) `
 m )  e.  CC )
661, 3, 65serf 11238 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) ) : NN --> CC )
67 ffvelrn 5770 . . . . . 6  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  /  n ) ) ) : NN --> CC  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n ) ) ) `  k )  e.  CC )
6866, 67sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) ) ) `  k
)  e.  CC )
69 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
7069, 1syl6eleq 2456 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
71 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
) )
72 elfznn 10972 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  ( 1 ... k )  ->  m  e.  NN )
7371, 72, 52syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( -u (
_i  x.  A ) ^ n )  /  n ) ) `  m )  e.  CC )
7471, 72, 65syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) `  m
)  e.  CC )
7539, 57oveq12d 5999 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( -u (
_i  x.  A ) ^ n )  /  n )  -  (
( ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) )  =  ( ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
m )  /  m
)  -  ( ( ( _i  x.  A
) ^ m )  /  m ) ) )
76 eqid 2366 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
)  -  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
)  -  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n ) ) )
77 ovex 6006 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
m )  /  m
)  -  ( ( ( _i  x.  A
) ^ m )  /  m ) )  e.  _V
7875, 76, 77fvmpt 5709 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) ) `  m )  =  ( ( ( -u (
_i  x.  A ) ^ m )  /  m )  -  (
( ( _i  x.  A ) ^ m
)  /  m ) ) )
7978adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
)  -  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n ) ) ) `  m )  =  ( ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ m
)  /  m )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^ m )  /  m ) ) )
8043, 61oveq12d 5999 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) `  m
)  -  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) ) `  m ) )  =  ( ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
m )  /  m
)  -  ( ( ( _i  x.  A
) ^ m )  /  m ) ) )
8179, 80eqtr4d 2401 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
)  -  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n ) ) ) `  m )  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) `  m
)  -  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) ) `  m ) ) )
8271, 72, 81syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) ) `  m )  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n ) ) `
 m )  -  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  /  n ) ) `  m ) ) )
8370, 73, 74, 82sersub 11253 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u (
_i  x.  A ) ^ n )  /  n )  -  (
( ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) ) ) ) `  k )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) ) ) `  k
)  -  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) ) `  k ) ) )
841, 3, 31, 33, 36, 55, 68, 83climsub 12314 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) ) )  ~~>  ( -u ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  -u ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) ) )
85 addcl 8966 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  e.  CC )
8626, 9, 85sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
87 bndatandm 20447 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  A  e.  dom arctan )
88 atandm2 20395 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom arctan  <->  ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  =/=  0  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 ) )
8987, 88sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  =/=  0  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 ) )
9089simp3d 970 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 )
91 logcl 20144 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 )  ->  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  e.  CC )
9286, 90, 91syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  e.  CC )
93 subcl 9198 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  CC )
9426, 9, 93sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  CC )
9589simp2d 969 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  =/=  0 )
96 logcl 20144 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  =/=  0 )  ->  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  CC )
9794, 95, 96syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  CC )
9892, 97neg2subd 9321 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( -u ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  -u ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) )  =  ( ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) ) )
9984, 98breqtrd 4149 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) ) )  ~~>  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) ) )
10051, 64subcld 9304 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ m
)  /  m )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^ m )  /  m ) )  e.  CC )
10179, 100eqeltrd 2440 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
)  -  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n ) ) ) `  m )  e.  CC )
1024a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  _i  e.  CC )
1034negcli 9261 . . . . . . . . 9  |-  -u _i  e.  CC
10444adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  NN0 )
105 expcl 11286 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( -u _i ^
m )  e.  CC )
106103, 104, 105sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( -u _i ^ m )  e.  CC )
107 expcl 11286 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( _i ^ m
)  e.  CC )
1084, 104, 107sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( _i ^
m )  e.  CC )
109106, 108subcld 9304 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( -u _i ^ m )  -  ( _i ^ m ) )  e.  CC )
110 2cn 9963 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
111110a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
112 2ne0 9976 . . . . . . . 8  |-  2  =/=  0
113112a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  2  =/=  0
)
114102, 109, 111, 113div23d 9720 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ m )  -  ( _i ^ m ) ) )  /  2
)  =  ( ( _i  /  2 )  x.  ( ( -u _i ^ m )  -  ( _i ^ m ) ) ) )
115114oveq1d 5996 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( _i  x.  ( (
-u _i ^ m
)  -  ( _i
^ m ) ) )  /  2 )  x.  ( ( A ^ m )  /  m ) )  =  ( ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( -u _i ^ m )  -  ( _i ^ m ) ) )  x.  (
( A ^ m
)  /  m ) ) )
1166adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( _i  / 
2 )  e.  CC )
117 expcl 11286 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( A ^ m
)  e.  CC )
1187, 44, 117syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( A ^
m )  e.  CC )
119118, 48, 50divcld 9683 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( A ^ m )  /  m )  e.  CC )
120116, 109, 119mulassd 9005 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( _i  /  2 )  x.  ( ( -u _i ^ m )  -  ( _i ^ m ) ) )  x.  (
( A ^ m
)  /  m ) )  =  ( ( _i  /  2 )  x.  ( ( (
-u _i ^ m
)  -  ( _i
^ m ) )  x.  ( ( A ^ m )  /  m ) ) ) )
121106, 108, 118subdird 9383 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( (
-u _i ^ m
)  -  ( _i
^ m ) )  x.  ( A ^
m ) )  =  ( ( ( -u _i ^ m )  x.  ( A ^ m
) )  -  (
( _i ^ m
)  x.  ( A ^ m ) ) ) )
1227adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
123 mulneg1 9363 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  A )  =  -u ( _i  x.  A
) )
1244, 122, 123sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( -u _i  x.  A )  =  -u ( _i  x.  A
) )
125124oveq1d 5996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( -u _i  x.  A ) ^
m )  =  (
-u ( _i  x.  A ) ^ m
) )
126103a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  -u _i  e.  CC )
127126, 122, 104mulexpd 11425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( -u _i  x.  A ) ^
m )  =  ( ( -u _i ^
m )  x.  ( A ^ m ) ) )
128125, 127eqtr3d 2400 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( -u (
_i  x.  A ) ^ m )  =  ( ( -u _i ^ m )  x.  ( A ^ m
) ) )
129102, 122, 104mulexpd 11425 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( _i  x.  A ) ^
m )  =  ( ( _i ^ m
)  x.  ( A ^ m ) ) )
130128, 129oveq12d 5999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ m )  -  ( ( _i  x.  A ) ^
m ) )  =  ( ( ( -u _i ^ m )  x.  ( A ^ m
) )  -  (
( _i ^ m
)  x.  ( A ^ m ) ) ) )
131121, 130eqtr4d 2401 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( (
-u _i ^ m
)  -  ( _i
^ m ) )  x.  ( A ^
m ) )  =  ( ( -u (
_i  x.  A ) ^ m )  -  ( ( _i  x.  A ) ^ m
) ) )
132131oveq1d 5996 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( ( -u _i ^
m )  -  (
_i ^ m ) )  x.  ( A ^ m ) )  /  m )  =  ( ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ m )  -  ( ( _i  x.  A ) ^
m ) )  /  m ) )
133109, 118, 48, 50divassd 9718 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( ( -u _i ^
m )  -  (
_i ^ m ) )  x.  ( A ^ m ) )  /  m )  =  ( ( ( -u _i ^ m )  -  ( _i ^ m ) )  x.  ( ( A ^ m )  /  m ) ) )
13446, 63, 48, 50divsubdird 9722 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ m
)  -  ( ( _i  x.  A ) ^ m ) )  /  m )  =  ( ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ m )  /  m )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^
m )  /  m
) ) )
135132, 133, 1343eqtr3d 2406 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( (
-u _i ^ m
)  -  ( _i
^ m ) )  x.  ( ( A ^ m )  /  m ) )  =  ( ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ m )  /  m )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^
m )  /  m
) ) )
136135oveq2d 5997 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( ( -u _i ^ m )  -  ( _i ^ m ) )  x.  ( ( A ^ m )  /  m ) ) )  =  ( ( _i  /  2 )  x.  ( ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ m
)  /  m )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^ m )  /  m ) ) ) )
137115, 120, 1363eqtrd 2402 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( _i  x.  ( (
-u _i ^ m
)  -  ( _i
^ m ) ) )  /  2 )  x.  ( ( A ^ m )  /  m ) )  =  ( ( _i  / 
2 )  x.  (
( ( -u (
_i  x.  A ) ^ m )  /  m )  -  (
( ( _i  x.  A ) ^ m
)  /  m ) ) ) )
138 oveq2 5989 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  ( -u _i ^ n )  =  ( -u _i ^ m ) )
139 oveq2 5989 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  (
_i ^ n )  =  ( _i ^
m ) )
140138, 139oveq12d 5999 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  (
( -u _i ^ n
)  -  ( _i
^ n ) )  =  ( ( -u _i ^ m )  -  ( _i ^ m ) ) )
141140oveq2d 5997 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  (
_i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^
n ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( -u _i ^ m )  -  ( _i ^ m ) ) ) )
142141oveq1d 5996 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  (
( _i  x.  (
( -u _i ^ n
)  -  ( _i
^ n ) ) )  /  2 )  =  ( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ m )  -  ( _i ^ m ) ) )  /  2
) )
143 oveq2 5989 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  ( A ^ n )  =  ( A ^ m
) )
144143, 38oveq12d 5999 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  (
( A ^ n
)  /  n )  =  ( ( A ^ m )  /  m ) )
145142, 144oveq12d 5999 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^ n ) ) )  /  2
)  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( (
-u _i ^ m
)  -  ( _i
^ m ) ) )  /  2 )  x.  ( ( A ^ m )  /  m ) ) )
146 atantayl.1 . . . . . 6  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^ n ) ) )  /  2
)  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) )
147 ovex 6006 . . . . . 6  |-  ( ( ( _i  x.  (
( -u _i ^ m
)  -  ( _i
^ m ) ) )  /  2 )  x.  ( ( A ^ m )  /  m ) )  e. 
_V
148145, 146, 147fvmpt 5709 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  ( F `  m )  =  ( ( ( _i  x.  ( (
-u _i ^ m
)  -  ( _i
^ m ) ) )  /  2 )  x.  ( ( A ^ m )  /  m ) ) )
149148adantl 452 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `  m )  =  ( ( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ m )  -  ( _i ^ m ) ) )  /  2
)  x.  ( ( A ^ m )  /  m ) ) )
15079oveq2d 5997 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  /  n ) ) ) `
 m ) )  =  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ m )  /  m )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^
m )  /  m
) ) ) )
151137, 149, 1503eqtr4d 2408 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `  m )  =  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u (
_i  x.  A ) ^ n )  /  n )  -  (
( ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) ) ) `  m
) ) )
1521, 3, 6, 99, 101, 151isermulc2 12338 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  ( ( _i  /  2 )  x.  ( ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) ) ) )
153 atanval 20402 . . 3  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  (arctan `  A )  =  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) ) ) ) )
15487, 153syl 15 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
(arctan `  A )  =  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) ) ) )
155152, 154breqtrrd 4151 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  (arctan `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 935    = wceq 1647    e. wcel 1715    =/= wne 2529   _Vcvv 2873   class class class wbr 4125    e. cmpt 4179   dom cdm 4792   -->wf 5354   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   CCcc 8882   RRcr 8883   0cc0 8884   1c1 8885   _ici 8886    + caddc 8887    x. cmul 8889    < clt 9014    - cmin 9184   -ucneg 9185    / cdiv 9570   NNcn 9893   2c2 9942   NN0cn0 10114   ZZcz 10175   ZZ>=cuz 10381   ...cfz 10935    seq cseq 11210   ^cexp 11269   abscabs 11926    ~~> cli 12165   logclog 20130  arctancatan 20382
This theorem is referenced by:  atantayl2  20456
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962  ax-addf 8963  ax-mulf 8964
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-iin 4010  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-2o 6622  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-pm 6918  df-ixp 6961  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-fi 7312  df-sup 7341  df-oi 7372  df-card 7719  df-cda 7941  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-10 9959  df-n0 10115  df-z 10176  df-dec 10276  df-uz 10382  df-q 10468  df-rp 10506  df-xneg 10603  df-xadd 10604  df-xmul 10605  df-ioo 10813  df-ioc 10814  df-ico 10815  df-icc 10816  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-fl 11089  df-mod 11138  df-seq 11211  df-exp 11270  df-fac 11454  df-bc 11481  df-hash 11506  df-shft 11769  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-limsup 12152  df-clim 12169  df-rlim 12170  df-sum 12367  df-ef 12557  df-sin 12559  df-cos 12560  df-tan 12561  df-pi 12562  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-starv 13431  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-tset 13435  df-ple 13436  df-ds 13438  df-unif 13439  df-hom 13440  df-cco 13441  df-rest 13537  df-topn 13538  df-topgen 13554  df-pt 13555  df-prds 13558  df-xrs 13613  df-0g 13614  df-gsum 13615  df-qtop 13620  df-imas 13621  df-xps 13623  df-mre 13698  df-mrc 13699  df-acs 13701  df-mnd 14577  df-submnd 14626  df-mulg 14702  df-cntz 15003  df-cmn 15301  df-xmet 16586  df-met 16587  df-bl 16588  df-mopn 16589  df-fbas 16590  df-fg 16591  df-cnfld 16594  df-top 16853  df-bases 16855  df-topon 16856  df-topsp 16857  df-cld 16973  df-ntr 16974  df-cls 16975  df-nei 17052  df-lp 17085  df-perf 17086  df-cn 17174  df-cnp 17175  df-haus 17260  df-cmp 17331  df-tx 17474  df-hmeo 17663  df-fil 17754  df-fm 17846  df-flim 17847  df-flf 17848  df-xms 18098  df-ms 18099  df-tms 18100  df-cncf 18596  df-limc 19431  df-dv 19432  df-ulm 19971  df-log 20132  df-atan 20385
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