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Theorem atcvatlem 23880
Description: Lemma for atcvati 23881. (Contributed by NM, 27-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
atoml.1  |-  A  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
atcvatlem  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( A  =/=  0H  /\  A  C.  ( B  vH  C
) ) )  -> 
( -.  B  C_  A  ->  A  e. HAtoms )
)

Proof of Theorem atcvatlem
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 atoml.1 . . . 4  |-  A  e. 
CH
21hatomici 23854 . . 3  |-  ( A  =/=  0H  ->  E. x  e. HAtoms  x  C_  A )
3 nssne2 3397 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  C_  A  /\  -.  B  C_  A )  ->  x  =/=  B
)
43adantrl 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  C_  A  /\  ( A  C.  ( B  vH  C )  /\  -.  B  C_  A ) )  ->  x  =/=  B )
5 atnemeq0 23872 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e. HAtoms  /\  B  e. HAtoms
)  ->  ( x  =/=  B  <->  ( x  i^i 
B )  =  0H ) )
64, 5syl5ib 211 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e. HAtoms  /\  B  e. HAtoms
)  ->  ( (
x  C_  A  /\  ( A  C.  ( B  vH  C )  /\  -.  B  C_  A ) )  ->  ( x  i^i  B )  =  0H ) )
7 atelch 23839 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e. HAtoms  ->  x  e.  CH )
8 cvp 23870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CH  /\  B  e. HAtoms )  ->  ( ( x  i^i  B
)  =  0H  <->  x  <oH  ( x  vH  B ) ) )
9 atelch 23839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  e. HAtoms  ->  B  e.  CH )
10 chjcom 23000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( x  vH  B
)  =  ( B  vH  x ) )
119, 10sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  CH  /\  B  e. HAtoms )  ->  ( x  vH  B )  =  ( B  vH  x ) )
1211breq2d 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CH  /\  B  e. HAtoms )  ->  ( x  <oH  ( x  vH  B )  <->  x  <oH  ( B  vH  x ) ) )
138, 12bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CH  /\  B  e. HAtoms )  ->  ( ( x  i^i  B
)  =  0H  <->  x  <oH  ( B  vH  x ) ) )
147, 13sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e. HAtoms  /\  B  e. HAtoms
)  ->  ( (
x  i^i  B )  =  0H  <->  x  <oH  ( B  vH  x ) ) )
156, 14sylibd 206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e. HAtoms  /\  B  e. HAtoms
)  ->  ( (
x  C_  A  /\  ( A  C.  ( B  vH  C )  /\  -.  B  C_  A ) )  ->  x  <oH  ( B  vH  x ) ) )
1615ancoms 440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  ->  ( (
x  C_  A  /\  ( A  C.  ( B  vH  C )  /\  -.  B  C_  A ) )  ->  x  <oH  ( B  vH  x ) ) )
1716adantlr 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  x  e. HAtoms
)  ->  ( (
x  C_  A  /\  ( A  C.  ( B  vH  C )  /\  -.  B  C_  A ) )  ->  x  <oH  ( B  vH  x ) ) )
1817imp 419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  x  e. HAtoms )  /\  (
x  C_  A  /\  ( A  C.  ( B  vH  C )  /\  -.  B  C_  A ) ) )  ->  x  <oH  ( B  vH  x
) )
19 chub1 23001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  B  C_  ( B  vH  x ) )
209, 7, 19syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  ->  B  C_  ( B  vH  x ) )
21203adant3 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  ->  B  C_  ( B  vH  x ) )
2221adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( ( x  C_  A  /\  -.  B  C_  A )  /\  A  C.  ( B  vH  C
) ) )  ->  B  C_  ( B  vH  x ) )
23 pssss 3434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A 
C.  ( B  vH  C )  ->  A  C_  ( B  vH  C
) )
24 sstr 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  C_  A  /\  A  C_  ( B  vH  C ) )  ->  x  C_  ( B  vH  C ) )
2523, 24sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  C_  A  /\  A  C.  ( B  vH  C ) )  ->  x  C_  ( B  vH  C ) )
2625adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( x  C_  A  /\  -.  B  C_  A
)  /\  A  C.  ( B  vH  C ) )  ->  x  C_  ( B  vH  C ) )
2726adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( ( x  C_  A  /\  -.  B  C_  A )  /\  A  C.  ( B  vH  C
) ) )  ->  x  C_  ( B  vH  C ) )
28 incom 3525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( B  i^i  x )  =  ( x  i^i  B
)
293, 5syl5ib 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( x  e. HAtoms  /\  B  e. HAtoms
)  ->  ( (
x  C_  A  /\  -.  B  C_  A )  ->  ( x  i^i 
B )  =  0H ) )
3029ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  ->  ( (
x  C_  A  /\  -.  B  C_  A )  ->  ( x  i^i 
B )  =  0H ) )
31303adant3 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  ->  ( ( x  C_  A  /\  -.  B  C_  A )  ->  (
x  i^i  B )  =  0H ) )
3231imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( x  C_  A  /\  -.  B  C_  A
) )  ->  (
x  i^i  B )  =  0H )
3328, 32syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( x  C_  A  /\  -.  B  C_  A
) )  ->  ( B  i^i  x )  =  0H )
3433adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( ( x  C_  A  /\  -.  B  C_  A )  /\  A  C.  ( B  vH  C
) ) )  -> 
( B  i^i  x
)  =  0H )
35 atexch 23876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( (
x  C_  ( B  vH  C )  /\  ( B  i^i  x )  =  0H )  ->  C  C_  ( B  vH  x
) ) )
369, 35syl3an1 1217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  ->  ( ( x  C_  ( B  vH  C )  /\  ( B  i^i  x )  =  0H )  ->  C  C_  ( B  vH  x ) ) )
3736adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( ( x  C_  A  /\  -.  B  C_  A )  /\  A  C.  ( B  vH  C
) ) )  -> 
( ( x  C_  ( B  vH  C )  /\  ( B  i^i  x )  =  0H )  ->  C  C_  ( B  vH  x ) ) )
3827, 34, 37mp2and 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( ( x  C_  A  /\  -.  B  C_  A )  /\  A  C.  ( B  vH  C
) ) )  ->  C  C_  ( B  vH  x ) )
39 atelch 23839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( C  e. HAtoms  ->  C  e.  CH )
40 simp1 957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  B  e.  CH )
41 simp3 959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  C  e.  CH )
42 chjcl 22851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( B  vH  x
)  e.  CH )
43423adant3 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( B  vH  x )  e. 
CH )
4440, 41, 433jca 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH  /\  ( B  vH  x )  e. 
CH ) )
459, 7, 39, 44syl3an 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  ->  ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH  /\  ( B  vH  x
)  e.  CH )
)
46 chlub 23003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH  /\  ( B  vH  x )  e. 
CH )  ->  (
( B  C_  ( B  vH  x )  /\  C  C_  ( B  vH  x ) )  <->  ( B  vH  C )  C_  ( B  vH  x ) ) )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  ->  ( ( B  C_  ( B  vH  x
)  /\  C  C_  ( B  vH  x ) )  <-> 
( B  vH  C
)  C_  ( B  vH  x ) ) )
4847adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( ( x  C_  A  /\  -.  B  C_  A )  /\  A  C.  ( B  vH  C
) ) )  -> 
( ( B  C_  ( B  vH  x
)  /\  C  C_  ( B  vH  x ) )  <-> 
( B  vH  C
)  C_  ( B  vH  x ) ) )
4922, 38, 48mpbi2and 888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( ( x  C_  A  /\  -.  B  C_  A )  /\  A  C.  ( B  vH  C
) ) )  -> 
( B  vH  C
)  C_  ( B  vH  x ) )
50 chub1 23001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  B  C_  ( B  vH  C ) )
51503adant2 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  B  C_  ( B  vH  C
) )
5251, 26anim12i 550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH  /\  C  e.  CH )  /\  ( ( x  C_  A  /\  -.  B  C_  A )  /\  A  C.  ( B  vH  C
) ) )  -> 
( B  C_  ( B  vH  C )  /\  x  C_  ( B  vH  C ) ) )
53 chjcl 22851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( B  vH  C
)  e.  CH )
54533adant2 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( B  vH  C )  e. 
CH )
55 chlub 23003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH  /\  ( B  vH  C )  e. 
CH )  ->  (
( B  C_  ( B  vH  C )  /\  x  C_  ( B  vH  C ) )  <->  ( B  vH  x )  C_  ( B  vH  C ) ) )
5654, 55syld3an3 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  (
( B  C_  ( B  vH  C )  /\  x  C_  ( B  vH  C ) )  <->  ( B  vH  x )  C_  ( B  vH  C ) ) )
5756adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH  /\  C  e.  CH )  /\  ( ( x  C_  A  /\  -.  B  C_  A )  /\  A  C.  ( B  vH  C
) ) )  -> 
( ( B  C_  ( B  vH  C )  /\  x  C_  ( B  vH  C ) )  <-> 
( B  vH  x
)  C_  ( B  vH  C ) ) )
5852, 57mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH  /\  C  e.  CH )  /\  ( ( x  C_  A  /\  -.  B  C_  A )  /\  A  C.  ( B  vH  C
) ) )  -> 
( B  vH  x
)  C_  ( B  vH  C ) )
599, 7, 39, 58syl3anl 1235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( ( x  C_  A  /\  -.  B  C_  A )  /\  A  C.  ( B  vH  C
) ) )  -> 
( B  vH  x
)  C_  ( B  vH  C ) )
6049, 59eqssd 3357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( ( x  C_  A  /\  -.  B  C_  A )  /\  A  C.  ( B  vH  C
) ) )  -> 
( B  vH  C
)  =  ( B  vH  x ) )
6160anassrs 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( x 
C_  A  /\  -.  B  C_  A ) )  /\  A  C.  ( B  vH  C ) )  ->  ( B  vH  C )  =  ( B  vH  x ) )
6261psseq2d 3432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( x 
C_  A  /\  -.  B  C_  A ) )  /\  A  C.  ( B  vH  C ) )  ->  ( A  C.  ( B  vH  C )  <-> 
A  C.  ( B  vH  x ) ) )
6362ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( x  C_  A  /\  -.  B  C_  A
) )  ->  ( A  C.  ( B  vH  C )  ->  ( A  C.  ( B  vH  C )  <->  A  C.  ( B  vH  x
) ) ) )
6463ibd 235 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( x  C_  A  /\  -.  B  C_  A
) )  ->  ( A  C.  ( B  vH  C )  ->  A  C.  ( B  vH  x
) ) )
6564exp32 589 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  ->  ( x  C_  A  ->  ( -.  B  C_  A  ->  ( A  C.  ( B  vH  C )  ->  A  C.  ( B  vH  x ) ) ) ) )
66653expa 1153 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( x  C_  A  ->  ( -.  B  C_  A  ->  ( A  C.  ( B  vH  C )  ->  A  C.  ( B  vH  x
) ) ) ) )
6766an32s 780 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  x  e. HAtoms
)  ->  ( x  C_  A  ->  ( -.  B  C_  A  ->  ( A  C.  ( B  vH  C )  ->  A  C.  ( B  vH  x
) ) ) ) )
6867com34 79 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  x  e. HAtoms
)  ->  ( x  C_  A  ->  ( A  C.  ( B  vH  C
)  ->  ( -.  B  C_  A  ->  A  C.  ( B  vH  x
) ) ) ) )
6968imp45 581 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  x  e. HAtoms )  /\  (
x  C_  A  /\  ( A  C.  ( B  vH  C )  /\  -.  B  C_  A ) ) )  ->  A  C.  ( B  vH  x
) )
70 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  x  e.  CH )
7170, 42jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( x  e.  CH  /\  ( B  vH  x
)  e.  CH )
)
729, 7, 71syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  ->  ( x  e.  CH  /\  ( B  vH  x )  e. 
CH ) )
73 cvnbtwn3 23783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( B  vH  x
)  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  ( x  <oH  ( B  vH  x )  -> 
( ( x  C_  A  /\  A  C.  ( B  vH  x ) )  ->  A  =  x ) ) )
741, 73mp3an3 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( B  vH  x
)  e.  CH )  ->  ( x  <oH  ( B  vH  x )  -> 
( ( x  C_  A  /\  A  C.  ( B  vH  x ) )  ->  A  =  x ) ) )
7574exp4a 590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( B  vH  x
)  e.  CH )  ->  ( x  <oH  ( B  vH  x )  -> 
( x  C_  A  ->  ( A  C.  ( B  vH  x )  ->  A  =  x )
) ) )
7675com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( B  vH  x
)  e.  CH )  ->  ( x  C_  A  ->  ( x  <oH  ( B  vH  x )  -> 
( A  C.  ( B  vH  x )  ->  A  =  x )
) ) )
7776imp4a 573 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( B  vH  x
)  e.  CH )  ->  ( x  C_  A  ->  ( ( x  <oH  ( B  vH  x )  /\  A  C.  ( B  vH  x ) )  ->  A  =  x ) ) )
7872, 77syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  ->  ( x  C_  A  ->  ( (
x  <oH  ( B  vH  x )  /\  A  C.  ( B  vH  x
) )  ->  A  =  x ) ) )
7978adantlr 696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  x  e. HAtoms
)  ->  ( x  C_  A  ->  ( (
x  <oH  ( B  vH  x )  /\  A  C.  ( B  vH  x
) )  ->  A  =  x ) ) )
8079imp 419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  x  e. HAtoms )  /\  x  C_  A )  ->  (
( x  <oH  ( B  vH  x )  /\  A  C.  ( B  vH  x ) )  ->  A  =  x )
)
8180adantrr 698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  x  e. HAtoms )  /\  (
x  C_  A  /\  ( A  C.  ( B  vH  C )  /\  -.  B  C_  A ) ) )  ->  (
( x  <oH  ( B  vH  x )  /\  A  C.  ( B  vH  x ) )  ->  A  =  x )
)
8218, 69, 81mp2and 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  x  e. HAtoms )  /\  (
x  C_  A  /\  ( A  C.  ( B  vH  C )  /\  -.  B  C_  A ) ) )  ->  A  =  x )
8382eleq1d 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  x  e. HAtoms )  /\  (
x  C_  A  /\  ( A  C.  ( B  vH  C )  /\  -.  B  C_  A ) ) )  ->  ( A  e. HAtoms  <->  x  e. HAtoms ) )
8483biimprcd 217 . . . . . . . 8  |-  ( x  e. HAtoms  ->  ( ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  x  e. HAtoms
)  /\  ( x  C_  A  /\  ( A 
C.  ( B  vH  C )  /\  -.  B  C_  A ) ) )  ->  A  e. HAtoms ) )
8584exp4c 592 . . . . . . 7  |-  ( x  e. HAtoms  ->  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  ->  ( x  e. HAtoms  ->  ( ( x  C_  A  /\  ( A  C.  ( B  vH  C )  /\  -.  B  C_  A ) )  ->  A  e. HAtoms ) ) ) )
8685pm2.43b 48 . . . . . 6  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( x  e. HAtoms  ->  ( ( x 
C_  A  /\  ( A  C.  ( B  vH  C )  /\  -.  B  C_  A ) )  ->  A  e. HAtoms )
) )
8786imp 419 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  x  e. HAtoms
)  ->  ( (
x  C_  A  /\  ( A  C.  ( B  vH  C )  /\  -.  B  C_  A ) )  ->  A  e. HAtoms ) )
8887exp4d 593 . . . 4  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  x  e. HAtoms
)  ->  ( x  C_  A  ->  ( A  C.  ( B  vH  C
)  ->  ( -.  B  C_  A  ->  A  e. HAtoms ) ) ) )
8988rexlimdva 2822 . . 3  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( E. x  e. HAtoms  x  C_  A  ->  ( A  C.  ( B  vH  C )  -> 
( -.  B  C_  A  ->  A  e. HAtoms )
) ) )
902, 89syl5 30 . 2  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( A  =/=  0H  ->  ( A  C.  ( B  vH  C
)  ->  ( -.  B  C_  A  ->  A  e. HAtoms ) ) ) )
9190imp32 423 1  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( A  =/=  0H  /\  A  C.  ( B  vH  C
) ) )  -> 
( -.  B  C_  A  ->  A  e. HAtoms )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   E.wrex 2698    i^i cin 3311    C_ wss 3312    C. wpss 3313   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   CHcch 22424    vH chj 22428   0Hc0h 22430    <oH ccv 22459  HAtomscat 22460
This theorem is referenced by:  atcvati  23881
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cc 8307  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062  ax-hilex 22494  ax-hfvadd 22495  ax-hvcom 22496  ax-hvass 22497  ax-hv0cl 22498  ax-hvaddid 22499  ax-hfvmul 22500  ax-hvmulid 22501  ax-hvmulass 22502  ax-hvdistr1 22503  ax-hvdistr2 22504  ax-hvmul0 22505  ax-hfi 22573  ax-his1 22576  ax-his2 22577  ax-his3 22578  ax-his4 22579  ax-hcompl 22696
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-acn 7821  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-lm 17285  df-haus 17371  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cfil 19200  df-cau 19201  df-cmet 19202  df-grpo 21771  df-gid 21772  df-ginv 21773  df-gdiv 21774  df-ablo 21862  df-subgo 21882  df-vc 22017  df-nv 22063  df-va 22066  df-ba 22067  df-sm 22068  df-0v 22069  df-vs 22070  df-nmcv 22071  df-ims 22072  df-dip 22189  df-ssp 22213  df-ph 22306  df-cbn 22357  df-hnorm 22463  df-hba 22464  df-hvsub 22466  df-hlim 22467  df-hcau 22468  df-sh 22701  df-ch 22716  df-oc 22746  df-ch0 22747  df-shs 22802  df-span 22803  df-chj 22804  df-chsup 22805  df-pjh 22889  df-cv 23774  df-at 23833
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