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Theorem athgt 30327
 Description: A Hilbert lattice, whose height is at least 4, has a chain of 4 successively covering atom joins. (Contributed by NM, 3-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
athgt.j
athgt.c
athgt.a
Assertion
Ref Expression
athgt
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,)

Proof of Theorem athgt
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . 3
2 eqid 2438 . . 3
3 eqid 2438 . . 3
4 eqid 2438 . . 3
51, 2, 3, 4hlhgt4 30259 . 2
6 simpl1 961 . . . . . . . . 9
7 hlop 30234 . . . . . . . . . 10
81, 3op0cl 30056 . . . . . . . . . 10
96, 7, 83syl 19 . . . . . . . . 9
10 simpl2l 1011 . . . . . . . . 9
11 simprll 740 . . . . . . . . 9
12 eqid 2438 . . . . . . . . . 10
13 athgt.j . . . . . . . . . 10
14 athgt.c . . . . . . . . . 10
15 athgt.a . . . . . . . . . 10
161, 12, 2, 13, 14, 15hlrelat3 30283 . . . . . . . . 9
176, 9, 10, 11, 16syl31anc 1188 . . . . . . . 8
18 simp11 988 . . . . . . . . . . . . . 14
19 simp3 960 . . . . . . . . . . . . . 14
203, 14, 15atcvr0 30160 . . . . . . . . . . . . . 14
2118, 19, 20syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13
22 hlol 30233 . . . . . . . . . . . . . . 15
2318, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
241, 15atbase 30161 . . . . . . . . . . . . . . 15
25243ad2ant3 981 . . . . . . . . . . . . . 14
261, 13, 3olj02 30098 . . . . . . . . . . . . . 14
2723, 25, 26syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13
2821, 27breqtrrd 4241 . . . . . . . . . . . 12
2928biantrurd 496 . . . . . . . . . . 11
3027breq1d 4225 . . . . . . . . . . 11
3129, 30bitr3d 248 . . . . . . . . . 10
32313expa 1154 . . . . . . . . 9
3332rexbidva 2724 . . . . . . . 8
3417, 33mpbid 203 . . . . . . 7
35 simp11 988 . . . . . . . . . . . 12
36253adant3r 1182 . . . . . . . . . . . 12
37 simp12r 1072 . . . . . . . . . . . 12
38 simp3r 987 . . . . . . . . . . . . 13
39 simp2lr 1026 . . . . . . . . . . . . 13
40 hlpos 30237 . . . . . . . . . . . . . . 15
4135, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
42 simp12l 1071 . . . . . . . . . . . . . 14
431, 12, 2plelttr 14434 . . . . . . . . . . . . . 14
4441, 36, 42, 37, 43syl13anc 1187 . . . . . . . . . . . . 13
4538, 39, 44mp2and 662 . . . . . . . . . . . 12
461, 12, 2, 13, 14, 15hlrelat3 30283 . . . . . . . . . . . 12
4735, 36, 37, 45, 46syl31anc 1188 . . . . . . . . . . 11
48 simp11 988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
49 hllat 30235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5048, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
51 simp3ll 1029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5251, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
53 simp3lr 1030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
541, 15atbase 30161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
561, 13latjcl 14484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5750, 52, 55, 56syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
58 simp13 990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
59 simp3r 987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
60 simp2l 984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6148, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
62 simp12 989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
631, 12, 2plelttr 14434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6461, 57, 62, 58, 63syl13anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6559, 60, 64mp2and 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
661, 12, 2, 13, 14, 15hlrelat3 30283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6748, 57, 58, 65, 66syl31anc 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
68 simp1ll 1021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6968, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
70 simp2ll 1025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
7170, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
72 simp2lr 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
7372, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7469, 71, 73, 56syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
75 simp3l 986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
761, 15atbase 30161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7775, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
781, 13latjcl 14484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
7969, 74, 77, 78syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
801, 4op1cl 30057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8168, 7, 803syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
82 simp3r 987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
83 simp1r 983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8468, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
85 simp1lr 1022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
861, 12, 2plelttr 14434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
8784, 79, 85, 81, 86syl13anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8882, 83, 87mp2and 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
891, 12, 2, 13, 14, 15hlrelat3 30283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
9068, 79, 81, 88, 89syl31anc 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
91 simpl 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
9291reximi 2815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
9390, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
94933exp 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
9594exp4a 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
9695ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
97963adant2 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
98973imp 1148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
99983adant2l 1179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
10099imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
101100anim2d 550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
102101reximdva 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10367, 102mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1041033exp 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
105104exp4a 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
106105exp4a 591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1071063adant2l 1179 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1081073imp1 1167 . . . . . . . . . . . . . . 15
109108anim2d 550 . . . . . . . . . . . . . 14
110109reximdva 2820 . . . . . . . . . . . . 13
1111103adant2l 1179 . . . . . . . . . . . 12
1121113adant3r 1182 . . . . . . . . . . 11
11347, 112mpd 15 . . . . . . . . . 10
1141133expia 1156 . . . . . . . . 9
115114exp3a 427 . . . . . . . 8
116115reximdvai 2818 . . . . . . 7
11734, 116mpd 15 . . . . . 6
1181173exp1 1170 . . . . 5
119118imp 420 . . . 4
120119rexlimdv 2831 . . 3
121120rexlimdvva 2839 . 2
1225, 121mpd 15 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wrex 2708   class class class wbr 4215  cfv 5457  (class class class)co 6084  cbs 13474  cple 13541  cpo 14402  cplt 14403  cjn 14406  cp0 14471  cp1 14472  clat 14479  cops 30044  col 30046   ccvr 30134  catm 30135  chlt 30222 This theorem is referenced by:  3dim0  30328 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-undef 6546  df-riota 6552  df-poset 14408  df-plt 14420  df-lub 14436  df-glb 14437  df-join 14438  df-meet 14439  df-p0 14473  df-lat 14480  df-clat 14542  df-oposet 30048  df-ol 30050  df-oml 30051  df-covers 30138  df-ats 30139  df-atl 30170  df-cvlat 30194  df-hlat 30223
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