Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atlatle Unicode version

Theorem atlatle 30132
Description: The ordering of two Hilbert lattice elements is determined by the atoms under them. (chrelat3 22967 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atlatle.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
atlatle.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
atlatle.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
atlatle  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  A. p  e.  A  ( p  .<_  X  ->  p  .<_  Y ) ) )
Distinct variable groups:    A, p    B, p    K, p    .<_ , p    X, p    Y, p

Proof of Theorem atlatle
StepHypRef Expression
1 simpl13 1032 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  K  e.  AtLat
)
2 atlpos 30113 . . . . . 6  |-  ( K  e.  AtLat  ->  K  e.  Poset
)
31, 2syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  K  e.  Poset
)
4 atlatle.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
5 atlatle.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
64, 5atbase 30101 . . . . . 6  |-  ( p  e.  A  ->  p  e.  B )
76adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  p  e.  B )
8 simpl2 959 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  X  e.  B )
9 simpl3 960 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  Y  e.  B )
10 atlatle.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
114, 10postr 14103 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
p  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( (
p  .<_  X  /\  X  .<_  Y )  ->  p  .<_  Y ) )
123, 7, 8, 9, 11syl13anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( (
p  .<_  X  /\  X  .<_  Y )  ->  p  .<_  Y ) )
1312exp3acom23 1362 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( X  .<_  Y  ->  ( p  .<_  X  ->  p  .<_  Y ) ) )
1413ralrimdva 2646 . 2  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  ->  A. p  e.  A  ( p  .<_  X  ->  p  .<_  Y ) ) )
15 ss2rab 3262 . . 3  |-  ( { p  e.  A  |  p  .<_  X }  C_  { p  e.  A  |  p  .<_  Y }  <->  A. p  e.  A  ( p  .<_  X  ->  p  .<_  Y ) )
16 simpl12 1031 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  { p  e.  A  |  p  .<_  X }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  .<_  Y }
)  ->  K  e.  CLat )
17 ssrab2 3271 . . . . . . . 8  |-  { p  e.  A  |  p  .<_  Y }  C_  A
184, 5atssbase 30102 . . . . . . . 8  |-  A  C_  B
1917, 18sstri 3201 . . . . . . 7  |-  { p  e.  A  |  p  .<_  Y }  C_  B
20 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
214, 10, 20lubss 14241 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  {
p  e.  A  |  p  .<_  Y }  C_  B  /\  { p  e.  A  |  p  .<_  X }  C_  { p  e.  A  |  p  .<_  Y } )  -> 
( ( lub `  K
) `  { p  e.  A  |  p  .<_  X } )  .<_  ( ( lub `  K
) `  { p  e.  A  |  p  .<_  Y } ) )
2219, 21mp3an2 1265 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  {
p  e.  A  |  p  .<_  X }  C_  { p  e.  A  |  p  .<_  Y } )  ->  ( ( lub `  K ) `  {
p  e.  A  |  p  .<_  X } ) 
.<_  ( ( lub `  K
) `  { p  e.  A  |  p  .<_  Y } ) )
2316, 22sylancom 648 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  { p  e.  A  |  p  .<_  X }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  .<_  Y }
)  ->  ( ( lub `  K ) `  { p  e.  A  |  p  .<_  X }
)  .<_  ( ( lub `  K ) `  {
p  e.  A  |  p  .<_  Y } ) )
2423ex 423 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( { p  e.  A  |  p  .<_  X }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  .<_  Y }  ->  ( ( lub `  K
) `  { p  e.  A  |  p  .<_  X } )  .<_  ( ( lub `  K
) `  { p  e.  A  |  p  .<_  Y } ) ) )
254, 10, 20, 5atlatmstc 30131 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (
( lub `  K
) `  { p  e.  A  |  p  .<_  X } )  =  X )
26253adant3 975 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( lub `  K
) `  { p  e.  A  |  p  .<_  X } )  =  X )
274, 10, 20, 5atlatmstc 30131 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  Y  e.  B )  ->  (
( lub `  K
) `  { p  e.  A  |  p  .<_  Y } )  =  Y )
28273adant2 974 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( lub `  K
) `  { p  e.  A  |  p  .<_  Y } )  =  Y )
2926, 28breq12d 4052 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( lub `  K
) `  { p  e.  A  |  p  .<_  X } )  .<_  ( ( lub `  K
) `  { p  e.  A  |  p  .<_  Y } )  <->  X  .<_  Y ) )
3024, 29sylibd 205 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( { p  e.  A  |  p  .<_  X }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  .<_  Y }  ->  X  .<_  Y )
)
3115, 30syl5bir 209 . 2  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( A. p  e.  A  ( p  .<_  X  ->  p  .<_  Y )  ->  X  .<_  Y ) )
3214, 31impbid 183 1  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  A. p  e.  A  ( p  .<_  X  ->  p  .<_  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   {crab 2560    C_ wss 3165   class class class wbr 4039   ` cfv 5271   Basecbs 13164   lecple 13231   Posetcpo 14090   lubclub 14092   CLatccla 14229   OMLcoml 29987   Atomscatm 30075   AtLatcal 30076
This theorem is referenced by:  atlrelat1  30133  hlatle  30209
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110
  Copyright terms: Public domain W3C validator