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Theorem atlatle 29435
Description: The ordering of two Hilbert lattice elements is determined by the atoms under them. (chrelat3 23722 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atlatle.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
atlatle.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
atlatle.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
atlatle  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  A. p  e.  A  ( p  .<_  X  ->  p  .<_  Y ) ) )
Distinct variable groups:    A, p    B, p    K, p    .<_ , p    X, p    Y, p

Proof of Theorem atlatle
StepHypRef Expression
1 simpl13 1034 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  K  e.  AtLat
)
2 atlpos 29416 . . . . . 6  |-  ( K  e.  AtLat  ->  K  e.  Poset
)
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  K  e.  Poset
)
4 atlatle.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
5 atlatle.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
64, 5atbase 29404 . . . . . 6  |-  ( p  e.  A  ->  p  e.  B )
76adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  p  e.  B )
8 simpl2 961 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  X  e.  B )
9 simpl3 962 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  Y  e.  B )
10 atlatle.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
114, 10postr 14337 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
p  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( (
p  .<_  X  /\  X  .<_  Y )  ->  p  .<_  Y ) )
123, 7, 8, 9, 11syl13anc 1186 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( (
p  .<_  X  /\  X  .<_  Y )  ->  p  .<_  Y ) )
1312exp3acom23 1378 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( X  .<_  Y  ->  ( p  .<_  X  ->  p  .<_  Y ) ) )
1413ralrimdva 2739 . 2  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  ->  A. p  e.  A  ( p  .<_  X  ->  p  .<_  Y ) ) )
15 ss2rab 3362 . . 3  |-  ( { p  e.  A  |  p  .<_  X }  C_  { p  e.  A  |  p  .<_  Y }  <->  A. p  e.  A  ( p  .<_  X  ->  p  .<_  Y ) )
16 simpl12 1033 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  { p  e.  A  |  p  .<_  X }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  .<_  Y }
)  ->  K  e.  CLat )
17 ssrab2 3371 . . . . . . . 8  |-  { p  e.  A  |  p  .<_  Y }  C_  A
184, 5atssbase 29405 . . . . . . . 8  |-  A  C_  B
1917, 18sstri 3300 . . . . . . 7  |-  { p  e.  A  |  p  .<_  Y }  C_  B
20 eqid 2387 . . . . . . . 8  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
214, 10, 20lubss 14475 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  {
p  e.  A  |  p  .<_  Y }  C_  B  /\  { p  e.  A  |  p  .<_  X }  C_  { p  e.  A  |  p  .<_  Y } )  -> 
( ( lub `  K
) `  { p  e.  A  |  p  .<_  X } )  .<_  ( ( lub `  K
) `  { p  e.  A  |  p  .<_  Y } ) )
2219, 21mp3an2 1267 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  {
p  e.  A  |  p  .<_  X }  C_  { p  e.  A  |  p  .<_  Y } )  ->  ( ( lub `  K ) `  {
p  e.  A  |  p  .<_  X } ) 
.<_  ( ( lub `  K
) `  { p  e.  A  |  p  .<_  Y } ) )
2316, 22sylancom 649 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  { p  e.  A  |  p  .<_  X }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  .<_  Y }
)  ->  ( ( lub `  K ) `  { p  e.  A  |  p  .<_  X }
)  .<_  ( ( lub `  K ) `  {
p  e.  A  |  p  .<_  Y } ) )
2423ex 424 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( { p  e.  A  |  p  .<_  X }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  .<_  Y }  ->  ( ( lub `  K
) `  { p  e.  A  |  p  .<_  X } )  .<_  ( ( lub `  K
) `  { p  e.  A  |  p  .<_  Y } ) ) )
254, 10, 20, 5atlatmstc 29434 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (
( lub `  K
) `  { p  e.  A  |  p  .<_  X } )  =  X )
26253adant3 977 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( lub `  K
) `  { p  e.  A  |  p  .<_  X } )  =  X )
274, 10, 20, 5atlatmstc 29434 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  Y  e.  B )  ->  (
( lub `  K
) `  { p  e.  A  |  p  .<_  Y } )  =  Y )
28273adant2 976 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( lub `  K
) `  { p  e.  A  |  p  .<_  Y } )  =  Y )
2926, 28breq12d 4166 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( lub `  K
) `  { p  e.  A  |  p  .<_  X } )  .<_  ( ( lub `  K
) `  { p  e.  A  |  p  .<_  Y } )  <->  X  .<_  Y ) )
3024, 29sylibd 206 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( { p  e.  A  |  p  .<_  X }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  .<_  Y }  ->  X  .<_  Y )
)
3115, 30syl5bir 210 . 2  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( A. p  e.  A  ( p  .<_  X  ->  p  .<_  Y )  ->  X  .<_  Y ) )
3214, 31impbid 184 1  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  A. p  e.  A  ( p  .<_  X  ->  p  .<_  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   {crab 2653    C_ wss 3263   class class class wbr 4153   ` cfv 5394   Basecbs 13396   lecple 13463   Posetcpo 14324   lubclub 14326   CLatccla 14463   OMLcoml 29290   Atomscatm 29378   AtLatcal 29379
This theorem is referenced by:  atlrelat1  29436  hlatle  29512
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-undef 6479  df-riota 6485  df-poset 14330  df-plt 14342  df-lub 14358  df-glb 14359  df-join 14360  df-meet 14361  df-p0 14395  df-lat 14402  df-clat 14464  df-oposet 29291  df-ol 29293  df-oml 29294  df-covers 29381  df-ats 29382  df-atl 29413
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