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Theorem atlatle 29510
Description: The ordering of two Hilbert lattice elements is determined by the atoms under them. (chrelat3 22951 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atlatle.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
atlatle.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
atlatle.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
atlatle  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  A. p  e.  A  ( p  .<_  X  ->  p  .<_  Y ) ) )
Distinct variable groups:    A, p    B, p    K, p    .<_ , p    X, p    Y, p

Proof of Theorem atlatle
StepHypRef Expression
1 simpl13 1032 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  K  e.  AtLat
)
2 atlpos 29491 . . . . . 6  |-  ( K  e.  AtLat  ->  K  e.  Poset
)
31, 2syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  K  e.  Poset
)
4 atlatle.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
5 atlatle.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
64, 5atbase 29479 . . . . . 6  |-  ( p  e.  A  ->  p  e.  B )
76adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  p  e.  B )
8 simpl2 959 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  X  e.  B )
9 simpl3 960 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  Y  e.  B )
10 atlatle.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
114, 10postr 14087 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
p  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( (
p  .<_  X  /\  X  .<_  Y )  ->  p  .<_  Y ) )
123, 7, 8, 9, 11syl13anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( (
p  .<_  X  /\  X  .<_  Y )  ->  p  .<_  Y ) )
1312exp3acom23 1362 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( X  .<_  Y  ->  ( p  .<_  X  ->  p  .<_  Y ) ) )
1413ralrimdva 2633 . 2  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  ->  A. p  e.  A  ( p  .<_  X  ->  p  .<_  Y ) ) )
15 ss2rab 3249 . . 3  |-  ( { p  e.  A  |  p  .<_  X }  C_  { p  e.  A  |  p  .<_  Y }  <->  A. p  e.  A  ( p  .<_  X  ->  p  .<_  Y ) )
16 simpl12 1031 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  { p  e.  A  |  p  .<_  X }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  .<_  Y }
)  ->  K  e.  CLat )
17 ssrab2 3258 . . . . . . . 8  |-  { p  e.  A  |  p  .<_  Y }  C_  A
184, 5atssbase 29480 . . . . . . . 8  |-  A  C_  B
1917, 18sstri 3188 . . . . . . 7  |-  { p  e.  A  |  p  .<_  Y }  C_  B
20 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
214, 10, 20lubss 14225 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  {
p  e.  A  |  p  .<_  Y }  C_  B  /\  { p  e.  A  |  p  .<_  X }  C_  { p  e.  A  |  p  .<_  Y } )  -> 
( ( lub `  K
) `  { p  e.  A  |  p  .<_  X } )  .<_  ( ( lub `  K
) `  { p  e.  A  |  p  .<_  Y } ) )
2219, 21mp3an2 1265 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  {
p  e.  A  |  p  .<_  X }  C_  { p  e.  A  |  p  .<_  Y } )  ->  ( ( lub `  K ) `  {
p  e.  A  |  p  .<_  X } ) 
.<_  ( ( lub `  K
) `  { p  e.  A  |  p  .<_  Y } ) )
2316, 22sylancom 648 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  { p  e.  A  |  p  .<_  X }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  .<_  Y }
)  ->  ( ( lub `  K ) `  { p  e.  A  |  p  .<_  X }
)  .<_  ( ( lub `  K ) `  {
p  e.  A  |  p  .<_  Y } ) )
2423ex 423 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( { p  e.  A  |  p  .<_  X }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  .<_  Y }  ->  ( ( lub `  K
) `  { p  e.  A  |  p  .<_  X } )  .<_  ( ( lub `  K
) `  { p  e.  A  |  p  .<_  Y } ) ) )
254, 10, 20, 5atlatmstc 29509 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (
( lub `  K
) `  { p  e.  A  |  p  .<_  X } )  =  X )
26253adant3 975 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( lub `  K
) `  { p  e.  A  |  p  .<_  X } )  =  X )
274, 10, 20, 5atlatmstc 29509 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  Y  e.  B )  ->  (
( lub `  K
) `  { p  e.  A  |  p  .<_  Y } )  =  Y )
28273adant2 974 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( lub `  K
) `  { p  e.  A  |  p  .<_  Y } )  =  Y )
2926, 28breq12d 4036 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( lub `  K
) `  { p  e.  A  |  p  .<_  X } )  .<_  ( ( lub `  K
) `  { p  e.  A  |  p  .<_  Y } )  <->  X  .<_  Y ) )
3024, 29sylibd 205 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( { p  e.  A  |  p  .<_  X }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  .<_  Y }  ->  X  .<_  Y )
)
3115, 30syl5bir 209 . 2  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( A. p  e.  A  ( p  .<_  X  ->  p  .<_  Y )  ->  X  .<_  Y ) )
3214, 31impbid 183 1  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  A. p  e.  A  ( p  .<_  X  ->  p  .<_  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   ` cfv 5255   Basecbs 13148   lecple 13215   Posetcpo 14074   lubclub 14076   CLatccla 14213   OMLcoml 29365   Atomscatm 29453   AtLatcal 29454
This theorem is referenced by:  atlrelat1  29511  hlatle  29587
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488
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