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Theorem atomli 22962
Description: An assertion holding in atomic orthomodular lattices that is equivalent to the exchange axiom. Proposition 3.2.17 of [PtakPulmannova] p. 66. (Contributed by NM, 24-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
atoml.1  |-  A  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
atomli  |-  ( B  e. HAtoms  ->  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  e.  (HAtoms 
u.  { 0H }
) )

Proof of Theorem atomli
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 atoml.1 . . . . . . . . 9  |-  A  e. 
CH
2 atelch 22924 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e. HAtoms  ->  B  e.  CH )
3 chjcl 21936 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  vH  B
)  e.  CH )
41, 2, 3sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( B  e. HAtoms  ->  ( A  vH  B )  e.  CH )
51choccli 21886 . . . . . . . 8  |-  ( _|_ `  A )  e.  CH
6 chincl 22078 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  vH  B
)  e.  CH  /\  ( _|_ `  A )  e.  CH )  -> 
( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) )  e.  CH )
74, 5, 6sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( B  e. HAtoms  ->  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  e.  CH )
8 hatomic 22940 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) )  e.  CH  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H )  ->  E. x  e. HAtoms  x  C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) ) )
97, 8sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H )  ->  E. x  e. HAtoms  x  C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) ) )
10 atelch 22924 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e. HAtoms  ->  x  e.  CH )
11 inss2 3390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  C_  ( _|_ `  A )
12 sstr 3187 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  C_  ( _|_ `  A ) )  ->  x  C_  ( _|_ `  A ) )
1311, 12mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x 
C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  ->  x  C_  ( _|_ `  A
) )
141pjococi 22016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  =  A
1514oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( _|_ `  ( _|_ `  A ) )  vH  x )  =  ( A  vH  x )
1615ineq1i 3366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( _|_ `  ( _|_ `  A ) )  vH  x )  i^i  ( _|_ `  A
) )  =  ( ( A  vH  x
)  i^i  ( _|_ `  A ) )
17 incom 3361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( _|_ `  ( _|_ `  A ) )  vH  x )  i^i  ( _|_ `  A
) )  =  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  vH  x
) )
1816, 17eqtr3i 2305 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  vH  x )  i^i  ( _|_ `  A
) )  =  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  vH  x
) )
19 pjoml3 22191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( _|_ `  A
)  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( x  C_  ( _|_ `  A )  -> 
( ( _|_ `  A
)  i^i  ( ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  vH  x
) )  =  x ) )
205, 19mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CH  ->  (
x  C_  ( _|_ `  A )  ->  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  vH  x
) )  =  x ) )
2120imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  CH  /\  x  C_  ( _|_ `  A
) )  ->  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  vH  x
) )  =  x )
2218, 21syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CH  /\  x  C_  ( _|_ `  A
) )  ->  (
( A  vH  x
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =  x )
2310, 13, 22syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e. HAtoms  /\  x  C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  vH  x )  i^i  ( _|_ `  A
) )  =  x )
2423ad2ant2lr 728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  /\  ( x 
C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H ) )  -> 
( ( A  vH  x )  i^i  ( _|_ `  A ) )  =  x )
25 inss1 3389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  C_  ( A  vH  B )
26 sstr 3187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  C_  ( A  vH  B ) )  ->  x  C_  ( A  vH  B ) )
2725, 26mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x 
C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  ->  x  C_  ( A  vH  B
) )
28 chub1 22086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  A  C_  ( A  vH  B ) )
291, 28mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( B  e.  CH  ->  A  C_  ( A  vH  B
) )
3029adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  A  C_  ( A  vH  B ) )
311, 3mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( B  e.  CH  ->  ( A  vH  B )  e. 
CH )
32 chlub 22088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  e.  CH  /\  x  e.  CH  /\  ( A  vH  B )  e. 
CH )  ->  (
( A  C_  ( A  vH  B )  /\  x  C_  ( A  vH  B ) )  <->  ( A  vH  x )  C_  ( A  vH  B ) ) )
331, 32mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( A  vH  B )  e.  CH )  -> 
( ( A  C_  ( A  vH  B )  /\  x  C_  ( A  vH  B ) )  <-> 
( A  vH  x
)  C_  ( A  vH  B ) ) )
3431, 33sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( ( A  C_  ( A  vH  B )  /\  x  C_  ( A  vH  B ) )  <-> 
( A  vH  x
)  C_  ( A  vH  B ) ) )
3534biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( ( A  C_  ( A  vH  B )  /\  x  C_  ( A  vH  B ) )  ->  ( A  vH  x )  C_  ( A  vH  B ) ) )
3635ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( A  C_  ( A  vH  B )  /\  x  C_  ( A  vH  B ) )  ->  ( A  vH  x )  C_  ( A  vH  B ) ) )
3730, 36mpand 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( x  C_  ( A  vH  B )  -> 
( A  vH  x
)  C_  ( A  vH  B ) ) )
382, 10, 37syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  ->  ( x  C_  ( A  vH  B
)  ->  ( A  vH  x )  C_  ( A  vH  B ) ) )
3938imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  /\  x  C_  ( A  vH  B ) )  ->  ( A  vH  x )  C_  ( A  vH  B ) )
4027, 39sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  /\  x  C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) ) )  ->  ( A  vH  x )  C_  ( A  vH  B ) )
4140adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  /\  ( x 
C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H ) )  -> 
( A  vH  x
)  C_  ( A  vH  B ) )
42 chjcl 21936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( A  vH  x
)  e.  CH )
431, 10, 42sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e. HAtoms  ->  ( A  vH  x )  e.  CH )
442, 43anim12i 549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  ->  ( B  e.  CH  /\  ( A  vH  x )  e. 
CH ) )
4544adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  /\  ( x 
C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H ) )  -> 
( B  e.  CH  /\  ( A  vH  x
)  e.  CH )
)
46 chub1 22086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  A  C_  ( A  vH  x ) )
471, 10, 46sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e. HAtoms  ->  A  C_  ( A  vH  x ) )
4847ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  /\  ( x 
C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H ) )  ->  A  C_  ( A  vH  x ) )
49 pm3.22 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  ->  ( x  e. HAtoms  /\  B  e. HAtoms )
)
5049adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  /\  ( x 
C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H ) )  -> 
( x  e. HAtoms  /\  B  e. HAtoms ) )
5127adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e. HAtoms  /\  x  C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) ) )  ->  x  C_  ( A  vH  B ) )
52 incom 3361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A  i^i  x )  =  ( x  i^i  A
)
53 chsh 21804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  e.  CH  ->  x  e.  SH )
541chshii 21807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  A  e.  SH
55 orthin 22025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  e.  SH  /\  A  e.  SH )  ->  ( x  C_  ( _|_ `  A )  -> 
( x  i^i  A
)  =  0H ) )
5653, 54, 55sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  CH  ->  (
x  C_  ( _|_ `  A )  ->  (
x  i^i  A )  =  0H ) )
5756imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  CH  /\  x  C_  ( _|_ `  A
) )  ->  (
x  i^i  A )  =  0H )
5852, 57syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  CH  /\  x  C_  ( _|_ `  A
) )  ->  ( A  i^i  x )  =  0H )
5910, 13, 58syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e. HAtoms  /\  x  C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) ) )  ->  ( A  i^i  x )  =  0H )
6051, 59jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e. HAtoms  /\  x  C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) ) )  ->  ( x  C_  ( A  vH  B
)  /\  ( A  i^i  x )  =  0H ) )
6160ad2ant2lr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  /\  ( x 
C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H ) )  -> 
( x  C_  ( A  vH  B )  /\  ( A  i^i  x
)  =  0H ) )
62 atexch 22961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CH  /\  x  e. HAtoms  /\  B  e. HAtoms
)  ->  ( (
x  C_  ( A  vH  B )  /\  ( A  i^i  x )  =  0H )  ->  B  C_  ( A  vH  x
) ) )
631, 62mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e. HAtoms  /\  B  e. HAtoms
)  ->  ( (
x  C_  ( A  vH  B )  /\  ( A  i^i  x )  =  0H )  ->  B  C_  ( A  vH  x
) ) )
6450, 61, 63sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  /\  ( x 
C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H ) )  ->  B  C_  ( A  vH  x ) )
65 chlub 22088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH  /\  ( A  vH  x )  e. 
CH )  ->  (
( A  C_  ( A  vH  x )  /\  B  C_  ( A  vH  x ) )  <->  ( A  vH  B )  C_  ( A  vH  x ) ) )
661, 65mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  CH  /\  ( A  vH  x
)  e.  CH )  ->  ( ( A  C_  ( A  vH  x
)  /\  B  C_  ( A  vH  x ) )  <-> 
( A  vH  B
)  C_  ( A  vH  x ) ) )
6766biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  CH  /\  ( A  vH  x
)  e.  CH )  ->  ( ( A  C_  ( A  vH  x
)  /\  B  C_  ( A  vH  x ) )  ->  ( A  vH  B )  C_  ( A  vH  x ) ) )
6867exp3a 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  CH  /\  ( A  vH  x
)  e.  CH )  ->  ( A  C_  ( A  vH  x )  -> 
( B  C_  ( A  vH  x )  -> 
( A  vH  B
)  C_  ( A  vH  x ) ) ) )
6945, 48, 64, 68syl3c 57 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  /\  ( x 
C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H ) )  -> 
( A  vH  B
)  C_  ( A  vH  x ) )
7041, 69eqssd 3196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  /\  ( x 
C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H ) )  -> 
( A  vH  x
)  =  ( A  vH  B ) )
7170ineq1d 3369 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  /\  ( x 
C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H ) )  -> 
( ( A  vH  x )  i^i  ( _|_ `  A ) )  =  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) ) )
7224, 71eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  /\  ( x 
C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H ) )  ->  x  =  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) ) )
7372eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  /\  ( x 
C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H ) )  -> 
( x  e. HAtoms  <->  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  e. HAtoms )
)
7473exp43 595 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e. HAtoms  ->  ( x  e. HAtoms  ->  ( x  C_  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  -> 
( ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  =/=  0H  ->  ( x  e. HAtoms  <->  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  e. HAtoms )
) ) ) )
7574com24 81 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e. HAtoms  ->  ( ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  =/=  0H  ->  ( x  C_  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  -> 
( x  e. HAtoms  ->  ( x  e. HAtoms  <->  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  e. HAtoms )
) ) ) )
7675imp31 421 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H )  /\  x  C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) ) )  ->  ( x  e. HAtoms  ->  ( x  e. HAtoms  <->  ( ( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  e. HAtoms
) ) )
7776ibd 234 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H )  /\  x  C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) ) )  ->  ( x  e. HAtoms  ->  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  e. HAtoms )
)
7877ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H )  ->  (
x  C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  ->  (
x  e. HAtoms  ->  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  e. HAtoms )
) )
7978com23 72 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H )  ->  (
x  e. HAtoms  ->  ( x 
C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  ->  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  e. HAtoms
) ) )
8079rexlimdv 2666 . . . . . 6  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H )  ->  ( E. x  e. HAtoms  x  C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) )  ->  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  e. HAtoms )
)
819, 80mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H )  ->  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  e. HAtoms
)
8281ex 423 . . . 4  |-  ( B  e. HAtoms  ->  ( ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  =/=  0H  ->  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) )  e. HAtoms ) )
8382necon1bd 2514 . . 3  |-  ( B  e. HAtoms  ->  ( -.  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  e. HAtoms  ->  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) )  =  0H ) )
8483orrd 367 . 2  |-  ( B  e. HAtoms  ->  ( ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  e. HAtoms  \/  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) )  =  0H ) )
85 elun 3316 . . 3  |-  ( ( ( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  e.  (HAtoms  u.  { 0H } )  <->  ( (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  e. HAtoms  \/  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) )  e.  { 0H }
) )
86 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( _|_ `  A )  e.  _V
8786inex2 4156 . . . . 5  |-  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  e.  _V
8887elsnc 3663 . . . 4  |-  ( ( ( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  e. 
{ 0H }  <->  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  =  0H )
8988orbi2i 505 . . 3  |-  ( ( ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) )  e. HAtoms  \/  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  e.  { 0H } )  <->  ( (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  e. HAtoms  \/  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) )  =  0H ) )
9085, 89bitri 240 . 2  |-  ( ( ( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  e.  (HAtoms  u.  { 0H } )  <->  ( (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  e. HAtoms  \/  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) )  =  0H ) )
9184, 90sylibr 203 1  |-  ( B  e. HAtoms  ->  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  e.  (HAtoms 
u.  { 0H }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   {csn 3640   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   SHcsh 21508   CHcch 21509   _|_cort 21510    vH chj 21513   0Hc0h 21515  HAtomscat 21545
This theorem is referenced by:  atoml2i  22963
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817  ax-hilex 21579  ax-hfvadd 21580  ax-hvcom 21581  ax-hvass 21582  ax-hv0cl 21583  ax-hvaddid 21584  ax-hfvmul 21585  ax-hvmulid 21586  ax-hvmulass 21587  ax-hvdistr1 21588  ax-hvdistr2 21589  ax-hvmul0 21590  ax-hfi 21658  ax-his1 21661  ax-his2 21662  ax-his3 21663  ax-his4 21664  ax-hcompl 21781
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-lm 16959  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cfil 18681  df-cau 18682  df-cmet 18683  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-gdiv 20861  df-ablo 20949  df-subgo 20969  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-vs 21155  df-nmcv 21156  df-ims 21157  df-dip 21274  df-ssp 21298  df-ph 21391  df-cbn 21442  df-hnorm 21548  df-hba 21549  df-hvsub 21551  df-hlim 21552  df-hcau 21553  df-sh 21786  df-ch 21801  df-oc 21831  df-ch0 21832  df-shs 21887  df-span 21888  df-chj 21889  df-chsup 21890  df-pjh 21974  df-cv 22859  df-at 22918
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