Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atpsubclN Unicode version

Theorem atpsubclN 29952
Description: A point (singleton of an atom) is a closed projective subspace. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
1psubcl.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
1psubcl.c  |-  C  =  ( PSubCl `  K )
Assertion
Ref Expression
atpsubclN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A )  ->  { Q }  e.  C )

Proof of Theorem atpsubclN
StepHypRef Expression
1 snssi 3796 . . 3  |-  ( Q  e.  A  ->  { Q }  C_  A )
21adantl 452 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A )  ->  { Q }  C_  A )
3 1psubcl.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
4 eqid 2316 . . 3  |-  ( _|_
P `  K )  =  ( _|_ P `  K )
53, 42polatN 29939 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A )  ->  ( ( _|_ P `  K ) `  (
( _|_ P `  K ) `  { Q } ) )  =  { Q } )
6 1psubcl.c . . . 4  |-  C  =  ( PSubCl `  K )
73, 4, 6ispsubclN 29944 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  ( { Q }  e.  C  <->  ( { Q }  C_  A  /\  ( ( _|_
P `  K ) `  ( ( _|_ P `  K ) `  { Q } ) )  =  { Q } ) ) )
87adantr 451 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A )  ->  ( { Q }  e.  C  <->  ( { Q }  C_  A  /\  (
( _|_ P `  K ) `  (
( _|_ P `  K ) `  { Q } ) )  =  { Q } ) ) )
92, 5, 8mpbir2and 888 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A )  ->  { Q }  e.  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701    C_ wss 3186   {csn 3674   ` cfv 5292   Atomscatm 29271   HLchlt 29358   _|_ PcpolN 29909   PSubClcpscN 29941
This theorem is referenced by:  pclfinclN  29957
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-iin 3945  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-undef 6340  df-riota 6346  df-poset 14129  df-plt 14141  df-lub 14157  df-glb 14158  df-join 14159  df-meet 14160  df-p0 14194  df-p1 14195  df-lat 14201  df-clat 14263  df-oposet 29184  df-ol 29186  df-oml 29187  df-covers 29274  df-ats 29275  df-atl 29306  df-cvlat 29330  df-hlat 29359  df-pmap 29511  df-polarityN 29910  df-psubclN 29942
  Copyright terms: Public domain W3C validator