MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  avgle2 Structured version   Unicode version

Theorem avgle2 10200
Description: Ordering property for average. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
avgle2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( ( A  +  B
)  /  2 )  <_  B ) )

Proof of Theorem avgle2
StepHypRef Expression
1 avglt1 10197 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <  A  <->  B  <  ( ( B  +  A )  / 
2 ) ) )
21ancoms 440 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <  A  <->  B  <  ( ( B  +  A )  / 
2 ) ) )
3 recn 9072 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
4 recn 9072 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
5 addcom 9244 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  =  ( B  +  A ) )
63, 4, 5syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  B
)  =  ( B  +  A ) )
76oveq1d 6088 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  +  B )  /  2
)  =  ( ( B  +  A )  /  2 ) )
87breq2d 4216 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <  (
( A  +  B
)  /  2 )  <-> 
B  <  ( ( B  +  A )  /  2 ) ) )
92, 8bitr4d 248 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <  A  <->  B  <  ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) )
109notbid 286 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -.  B  < 
A  <->  -.  B  <  ( ( A  +  B
)  /  2 ) ) )
11 lenlt 9146 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
12 readdcl 9065 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
13 rehalfcl 10186 . . . 4  |-  ( ( A  +  B )  e.  RR  ->  (
( A  +  B
)  /  2 )  e.  RR )
1412, 13syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  RR )
15 lenlt 9146 . . 3  |-  ( ( ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( A  +  B )  / 
2 )  <_  B  <->  -.  B  <  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) )
1614, 15sylancom 649 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( A  +  B )  / 
2 )  <_  B  <->  -.  B  <  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) )
1710, 11, 163bitr4d 277 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( ( A  +  B
)  /  2 )  <_  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981    + caddc 8985    < clt 9112    <_ cle 9113    / cdiv 9669   2c2 10041
This theorem is referenced by:  avgle  10201  pilem3  20361
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-2 10050
  Copyright terms: Public domain W3C validator