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Theorem ax10lem4 1894
Description: Lemma for ax10 1897. Change bound variable. (Contributed by NM, 8-Jul-2016.)
Assertion
Ref Expression
ax10lem4  |-  ( A. x  x  =  w  ->  A. y  y  =  x )
Distinct variable groups:    x, w    y, w

Proof of Theorem ax10lem4
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax10lem1 1889 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  w  ->  A. y  y  =  w )
2 equequ1 1667 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
z  =  w  <->  x  =  w ) )
32dvelimv 1892 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( x  =  w  ->  A. y  x  =  w )
)
4 hba1 1731 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  x  =  w  ->  A. y A. y  x  =  w )
5 equequ2 1669 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  w  ->  (
y  =  x  <->  y  =  w ) )
65sps 1751 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  x  =  w  ->  ( y  =  x  <-> 
y  =  w ) )
74, 6albidh 1580 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  x  =  w  ->  ( A. y  y  =  x  <->  A. y 
y  =  w ) )
87biimprd 214 . . . . . . 7  |-  ( A. y  x  =  w  ->  ( A. y  y  =  w  ->  A. y 
y  =  x ) )
93, 8syl6 29 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( x  =  w  ->  ( A. y  y  =  w  ->  A. y  y  =  x ) ) )
101, 9syl7 63 . . . . 5  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( x  =  w  ->  ( A. x  x  =  w  ->  A. y  y  =  x ) ) )
1110spsd 1752 . . . 4  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( A. x  x  =  w  ->  ( A. x  x  =  w  ->  A. y 
y  =  x ) ) )
1211pm2.43d 44 . . 3  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( A. x  x  =  w  ->  A. y  y  =  x ) )
1312com12 27 . 2  |-  ( A. x  x  =  w  ->  ( -.  A. y 
y  =  x  ->  A. y  y  =  x ) )
1413pm2.18d 103 1  |-  ( A. x  x  =  w  ->  A. y  y  =  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176   A.wal 1530
This theorem is referenced by:  ax10lem5  1895
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-an 360  df-ex 1532
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