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Theorem ax11inda2ALT 2150
Description: A proof of ax11inda2 2151 that is slightly more direct. (Contributed by NM, 4-May-2007.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ax11inda2.1  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ( ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  ph )
) ) )
Assertion
Ref Expression
ax11inda2ALT  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ( A. z ph  ->  A. x
( x  =  y  ->  A. z ph )
) ) )
Distinct variable group:    y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)

Proof of Theorem ax11inda2ALT
StepHypRef Expression
1 ax-1 5 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ph  ->  ( x  =  y  ->  A. x ph ) )
21a5i-o 2102 . . . . . . 7  |-  ( A. x ph  ->  A. x
( x  =  y  ->  A. x ph )
)
32a1i 10 . . . . . 6  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( A. x ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. x ph ) ) )
4 biidd 228 . . . . . . 7  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( ph  <->  ph ) )
54dral1-o 2106 . . . . . 6  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( A. z ph  <->  A. x ph ) )
65imbi2d 307 . . . . . . 7  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( ( x  =  y  ->  A. z ph )  <->  ( x  =  y  ->  A. x ph ) ) )
76dral2-o 2133 . . . . . 6  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( A. x ( x  =  y  ->  A. z ph )  <->  A. x
( x  =  y  ->  A. x ph )
) )
83, 5, 73imtr4d 259 . . . . 5  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( A. z ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
98aecoms-o 2104 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( A. z ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
109a1d 22 . . 3  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( x  =  y  ->  ( A. z ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) ) )
1110a1d 22 . 2  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  ( x  =  y  -> 
( A. z ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) ) ) )
12 simplr 731 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  /\  x  =  y )  ->  -.  A. x  x  =  y )
13 dveeq1-o 2139 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
1413naecoms-o 2130 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
1514imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  x  =  y )  ->  A. z  x  =  y )
1615adantlr 695 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  /\  x  =  y )  ->  A. z  x  =  y )
17 hbnae-o 2131 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  A. z  -.  A. x  x  =  y )
18 hba1-o 2101 . . . . . . 7  |-  ( A. z  x  =  y  ->  A. z A. z  x  =  y )
1917, 18hban 1748 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. z  x  =  y
)  ->  A. z
( -.  A. x  x  =  y  /\  A. z  x  =  y ) )
20 ax-4 2087 . . . . . . 7  |-  ( A. z  x  =  y  ->  x  =  y )
21 ax11inda2.1 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ( ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  ph )
) ) )
2221imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  x  =  y )  -> 
( ph  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) )
2320, 22sylan2 460 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. z  x  =  y
)  ->  ( ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  ph )
) )
2419, 23alimdh 1553 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. z  x  =  y
)  ->  ( A. z ph  ->  A. z A. x ( x  =  y  ->  ph ) ) )
2512, 16, 24syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  /\  x  =  y )  -> 
( A. z ph  ->  A. z A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) )
26 ax-7 1720 . . . . . 6  |-  ( A. z A. x ( x  =  y  ->  ph )  ->  A. x A. z
( x  =  y  ->  ph ) )
27 hbnae-o 2131 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  A. x  -.  A. x  x  =  z )
28 hbnae-o 2131 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  A. z  -.  A. x  x  =  z )
2928, 14nfdh 1759 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  F/ z  x  =  y )
30 19.21t 1802 . . . . . . . 8  |-  ( F/ z  x  =  y  ->  ( A. z
( x  =  y  ->  ph )  <->  ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
3129, 30syl 15 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  ( A. z ( x  =  y  ->  ph )  <->  ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
3227, 31albidh 1580 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  ( A. x A. z ( x  =  y  ->  ph )  <->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
3326, 32syl5ib 210 . . . . 5  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  ( A. z A. x ( x  =  y  ->  ph )  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
3433ad2antrr 706 . . . 4  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  /\  x  =  y )  -> 
( A. z A. x ( x  =  y  ->  ph )  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
3525, 34syld 40 . . 3  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  /\  x  =  y )  -> 
( A. z ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
3635exp31 587 . 2  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ( A. z ph  ->  A. x
( x  =  y  ->  A. z ph )
) ) ) )
3711, 36pm2.61i 156 1  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ( A. z ph  ->  A. x
( x  =  y  ->  A. z ph )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1530   F/wnf 1534
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-4 2087  ax-5o 2088  ax-6o 2089  ax-10o 2091  ax-12o 2094
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-an 360  df-ex 1532  df-nf 1535
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