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Theorem ax11indalem 2276
Description: Lemma for ax11inda2 2278 and ax11inda 2279. (Contributed by NM, 24-Jan-2007.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ax11indalem.1  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ( ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  ph )
) ) )
Assertion
Ref Expression
ax11indalem  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ( A. z ph  ->  A. x
( x  =  y  ->  A. z ph )
) ) ) )

Proof of Theorem ax11indalem
StepHypRef Expression
1 ax-1 6 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x ph  ->  ( x  =  y  ->  A. x ph ) )
21a5i-o 2229 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ph  ->  A. x
( x  =  y  ->  A. x ph )
)
32a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( A. x ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. x ph ) ) )
4 biidd 230 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( ph  <->  ph ) )
54dral1-o 2233 . . . . . . 7  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( A. z ph  <->  A. x ph ) )
65imbi2d 309 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( ( x  =  y  ->  A. z ph )  <->  ( x  =  y  ->  A. x ph ) ) )
76dral2-o 2260 . . . . . . 7  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( A. x ( x  =  y  ->  A. z ph )  <->  A. x
( x  =  y  ->  A. x ph )
) )
83, 5, 73imtr4d 261 . . . . . 6  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( A. z ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
98aecoms-o 2231 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( A. z ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
109a1d 24 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( x  =  y  ->  ( A. z ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) ) )
1110a1d 24 . . 3  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  ( x  =  y  -> 
( A. z ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) ) ) )
1211adantr 453 . 2  |-  ( ( A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z
)  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ( A. z ph  ->  A. x
( x  =  y  ->  A. z ph )
) ) ) )
13 simplr 733 . . . . 5  |-  ( ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  -.  A. x  x  =  y )  /\  x  =  y )  ->  -.  A. x  x  =  y )
14 aecom-o 2230 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  z  =  x  ->  A. x  x  =  z )
1514con3i 130 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  -.  A. z 
z  =  x )
16 aecom-o 2230 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  z  =  y  ->  A. y  y  =  z )
1716con3i 130 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  -.  A. z 
z  =  y )
18 ax12o 2011 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  ->  ( -.  A. z  z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
) )
1918imp 420 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
2015, 17, 19syl2an 465 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
2120imp 420 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  x  =  y )  ->  A. z  x  =  y )
2221adantlr 697 . . . . 5  |-  ( ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  -.  A. x  x  =  y )  /\  x  =  y )  ->  A. z  x  =  y )
23 hbnae-o 2258 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  A. z  -.  A. x  x  =  y )
24 hba1-o 2228 . . . . . . 7  |-  ( A. z  x  =  y  ->  A. z A. z  x  =  y )
2523, 24hban 1851 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. z  x  =  y
)  ->  A. z
( -.  A. x  x  =  y  /\  A. z  x  =  y ) )
26 ax-4 2214 . . . . . . 7  |-  ( A. z  x  =  y  ->  x  =  y )
27 ax11indalem.1 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ( ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  ph )
) ) )
2827imp 420 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  x  =  y )  -> 
( ph  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) )
2926, 28sylan2 462 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. z  x  =  y
)  ->  ( ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  ph )
) )
3025, 29alimdh 1573 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. z  x  =  y
)  ->  ( A. z ph  ->  A. z A. x ( x  =  y  ->  ph ) ) )
3113, 22, 30syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  -.  A. x  x  =  y )  /\  x  =  y )  -> 
( A. z ph  ->  A. z A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) )
32 ax-7 1750 . . . . . 6  |-  ( A. z A. x ( x  =  y  ->  ph )  ->  A. x A. z
( x  =  y  ->  ph ) )
33 hbnae-o 2258 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  A. x  -.  A. x  x  =  z )
34 hbnae-o 2258 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  A. x  -.  A. y  y  =  z )
3533, 34hban 1851 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  A. x
( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z ) )
36 hbnae-o 2258 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  A. z  -.  A. x  x  =  z )
37 hbnae-o 2258 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  A. z  -.  A. y  y  =  z )
3836, 37hban 1851 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  A. z
( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z ) )
3938, 20nfdh 1784 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ z  x  =  y )
40 19.21t 1814 . . . . . . . 8  |-  ( F/ z  x  =  y  ->  ( A. z
( x  =  y  ->  ph )  <->  ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
4139, 40syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( A. z ( x  =  y  ->  ph )  <->  ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
4235, 41albidh 1601 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( A. x A. z ( x  =  y  ->  ph )  <->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
4332, 42syl5ib 212 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( A. z A. x ( x  =  y  ->  ph )  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
4443ad2antrr 708 . . . 4  |-  ( ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  -.  A. x  x  =  y )  /\  x  =  y )  -> 
( A. z A. x ( x  =  y  ->  ph )  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
4531, 44syld 43 . . 3  |-  ( ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  -.  A. x  x  =  y )  /\  x  =  y )  -> 
( A. z ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
4645exp31 589 . 2  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ( A. z ph  ->  A. x
( x  =  y  ->  A. z ph )
) ) ) )
4712, 46pm2.61ian 767 1  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ( A. z ph  ->  A. x
( x  =  y  ->  A. z ph )
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1550   F/wnf 1554
This theorem is referenced by:  ax11inda2  2278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-4 2214  ax-5o 2215  ax-6o 2216  ax-10o 2218  ax-12o 2221
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-an 362  df-ex 1552  df-nf 1555
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