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Theorem ax11wdemo 1739
Description: Example of an application of ax11w 1737 that results in an instance of ax-11 1762 for a contrived formula with mixed free and bound variables,  ( x  e.  y  /\  A. x
z  e.  x  /\  A. y A. z y  e.  x ), in place of  ph. The proof illustrates bound variable renaming with cbvalvw 1716 to obtain fresh variables to avoid distinct variable clashes. Uses only Tarski's FOL axiom schemes. (Contributed by NM, 14-Apr-2017.)
Assertion
Ref Expression
ax11wdemo  |-  ( x  =  y  ->  ( A. y ( x  e.  y  /\  A. x  z  e.  x  /\  A. y A. z  y  e.  x )  ->  A. x ( x  =  y  ->  ( x  e.  y  /\  A. x  z  e.  x  /\  A. y A. z  y  e.  x ) ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z

Proof of Theorem ax11wdemo
Dummy variables  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elequ1 1729 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  y  <->  y  e.  y ) )
2 elequ2 1731 . . . . 5  |-  ( x  =  w  ->  (
z  e.  x  <->  z  e.  w ) )
32cbvalvw 1716 . . . 4  |-  ( A. x  z  e.  x  <->  A. w  z  e.  w
)
43a1i 11 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( A. x  z  e.  x 
<-> 
A. w  z  e.  w ) )
5 elequ1 1729 . . . . . 6  |-  ( y  =  v  ->  (
y  e.  x  <->  v  e.  x ) )
65albidv 1636 . . . . 5  |-  ( y  =  v  ->  ( A. z  y  e.  x 
<-> 
A. z  v  e.  x ) )
76cbvalvw 1716 . . . 4  |-  ( A. y A. z  y  e.  x  <->  A. v A. z 
v  e.  x )
8 elequ2 1731 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
v  e.  x  <->  v  e.  y ) )
98albidv 1636 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A. z  v  e.  x 
<-> 
A. z  v  e.  y ) )
109albidv 1636 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( A. v A. z  v  e.  x  <->  A. v A. z  v  e.  y ) )
117, 10syl5bb 250 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( A. y A. z  y  e.  x  <->  A. v A. z  v  e.  y ) )
121, 4, 113anbi123d 1255 . 2  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  y  /\  A. x  z  e.  x  /\  A. y A. z  y  e.  x )  <->  ( y  e.  y  /\  A. w  z  e.  w  /\  A. v A. z  v  e.  y ) ) )
13 elequ2 1731 . . 3  |-  ( y  =  v  ->  (
x  e.  y  <->  x  e.  v ) )
147a1i 11 . . 3  |-  ( y  =  v  ->  ( A. y A. z  y  e.  x  <->  A. v A. z  v  e.  x ) )
1513, 143anbi13d 1257 . 2  |-  ( y  =  v  ->  (
( x  e.  y  /\  A. x  z  e.  x  /\  A. y A. z  y  e.  x )  <->  ( x  e.  v  /\  A. x  z  e.  x  /\  A. v A. z  v  e.  x ) ) )
1612, 15ax11w 1737 1  |-  ( x  =  y  ->  ( A. y ( x  e.  y  /\  A. x  z  e.  x  /\  A. y A. z  y  e.  x )  ->  A. x ( x  =  y  ->  ( x  e.  y  /\  A. x  z  e.  x  /\  A. y A. z  y  e.  x ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ w3a 937   A.wal 1550
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-an 362  df-3an 939  df-ex 1552
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