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Theorem ax12-4 29106
Description: Study of candidate for ax-12 1866. (Contributed by NM, 7-Nov-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ax12-4  |-  ( A. z  -.  x  =  y  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)

Proof of Theorem ax12-4
StepHypRef Expression
1 ax9 1889 . . . 4  |-  -.  A. x  -.  x  =  y
2 biidd 228 . . . . . 6  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( -.  x  =  y  <->  -.  x  =  y ) )
32dral1 1905 . . . . 5  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( A. z  -.  x  =  y  <->  A. x  -.  x  =  y
) )
43notbid 285 . . . 4  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( -.  A. z  -.  x  =  y  <->  -. 
A. x  -.  x  =  y ) )
51, 4mpbiri 224 . . 3  |-  ( A. z  z  =  x  ->  -.  A. z  -.  x  =  y )
65con2i 112 . 2  |-  ( A. z  -.  x  =  y  ->  -.  A. z 
z  =  x )
7 ax9 1889 . . . 4  |-  -.  A. y  -.  y  =  x
8 biidd 228 . . . . . . 7  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( -.  x  =  y  <->  -.  x  =  y ) )
98dral1 1905 . . . . . 6  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( A. z  -.  x  =  y  <->  A. y  -.  x  =  y
) )
109notbid 285 . . . . 5  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( -.  A. z  -.  x  =  y  <->  -. 
A. y  -.  x  =  y ) )
11 equcom 1647 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  <->  y  =  x )
1211notbii 287 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  =  y  <->  -.  y  =  x )
1312albii 1553 . . . . . 6  |-  ( A. y  -.  x  =  y  <->  A. y  -.  y  =  x )
1413notbii 287 . . . . 5  |-  ( -. 
A. y  -.  x  =  y  <->  -.  A. y  -.  y  =  x
)
1510, 14syl6bb 252 . . . 4  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( -.  A. z  -.  x  =  y  <->  -. 
A. y  -.  y  =  x ) )
167, 15mpbiri 224 . . 3  |-  ( A. z  z  =  y  ->  -.  A. z  -.  x  =  y )
1716con2i 112 . 2  |-  ( A. z  -.  x  =  y  ->  -.  A. z 
z  =  y )
18 ax12o 1875 . 2  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  ->  ( -.  A. z  z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
) )
196, 17, 18sylc 56 1  |-  ( A. z  -.  x  =  y  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   A.wal 1527
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-an 360  df-ex 1529  df-nf 1532
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