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Theorem ax12OLD 29105
Description: Derive ax-12 1866 from ax12o 1875. (Contributed by NM, 29-Nov-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ax12OLD  |-  ( -. 
A. z  -.  A. x  -.  z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)

Proof of Theorem ax12OLD
StepHypRef Expression
1 19.8a 1718 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  E. z  x  =  y )
2 df-ex 1529 . . . 4  |-  ( E. z  x  =  y  <->  -.  A. z  -.  x  =  y )
32biimpi 186 . . 3  |-  ( E. z  x  =  y  ->  -.  A. z  -.  x  =  y
)
41, 3syl 15 . 2  |-  ( x  =  y  ->  -.  A. z  -.  x  =  y )
5 df-ex 1529 . . . 4  |-  ( E. z A. x  -.  z  =  y  <->  -.  A. z  -.  A. x  -.  z  =  y )
65biimpri 197 . . 3  |-  ( -. 
A. z  -.  A. x  -.  z  =  y  ->  E. z A. x  -.  z  =  y
)
7 hbn1 1704 . . . . 5  |-  ( -. 
A. z  -.  x  =  y  ->  A. z  -.  A. z  -.  x  =  y )
8 hba1 1719 . . . . 5  |-  ( A. z  x  =  y  ->  A. z A. z  x  =  y )
97, 8hbim 1725 . . . 4  |-  ( ( -.  A. z  -.  x  =  y  ->  A. z  x  =  y )  ->  A. z
( -.  A. z  -.  x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) )
10 ax12-2 29103 . . . 4  |-  ( A. x  -.  z  =  y  ->  ( -.  A. z  -.  x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) )
119, 10exlimih 1729 . . 3  |-  ( E. z A. x  -.  z  =  y  ->  ( -.  A. z  -.  x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) )
126, 11syl 15 . 2  |-  ( -. 
A. z  -.  A. x  -.  z  =  y  ->  ( -.  A. z  -.  x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) )
134, 12syl5 28 1  |-  ( -. 
A. z  -.  A. x  -.  z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   A.wal 1527   E.wex 1528
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-an 360  df-ex 1529  df-nf 1532
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