Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ax12conj2 Unicode version

Theorem ax12conj2 29108
Description: Conjectured alternative to ax-12 1866. (Contributed by NM, 7-Nov-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ax12conj2.1  |-  ( -.  z  =  y  -> 
( x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) )
Assertion
Ref Expression
ax12conj2  |-  ( ( -.  A. z  z  =  y  ->  (
x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) )  \/  ( -.  z  =  y  ->  ( -.  A. z  -.  x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
) )
Distinct variable groups:    x, y    x, z

Proof of Theorem ax12conj2
StepHypRef Expression
1 sp 1716 . . . . . 6  |-  ( A. z  z  =  y  ->  z  =  y )
21con3i 127 . . . . 5  |-  ( -.  z  =  y  ->  -.  A. z  z  =  y )
3 sp 1716 . . . . . 6  |-  ( A. z  -.  x  =  y  ->  -.  x  =  y )
43con2i 112 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  -.  A. z  -.  x  =  y )
52, 4anandii 29107 . . . 4  |-  ( ( ( -.  A. z 
z  =  y  /\  x  =  y )  /\  ( -.  z  =  y  /\  -.  A. z  -.  x  =  y ) )  <->  ( -.  z  =  y  /\  x  =  y )
)
6 ax12conj2.1 . . . . 5  |-  ( -.  z  =  y  -> 
( x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) )
76imp 418 . . . 4  |-  ( ( -.  z  =  y  /\  x  =  y )  ->  A. z  x  =  y )
85, 7sylbi 187 . . 3  |-  ( ( ( -.  A. z 
z  =  y  /\  x  =  y )  /\  ( -.  z  =  y  /\  -.  A. z  -.  x  =  y ) )  ->  A. z  x  =  y )
9 pm4.79 566 . . 3  |-  ( ( ( ( -.  A. z  z  =  y  /\  x  =  y
)  ->  A. z  x  =  y )  \/  ( ( -.  z  =  y  /\  -.  A. z  -.  x  =  y )  ->  A. z  x  =  y )
)  <->  ( ( ( -.  A. z  z  =  y  /\  x  =  y )  /\  ( -.  z  =  y  /\  -.  A. z  -.  x  =  y
) )  ->  A. z  x  =  y )
)
108, 9mpbir 200 . 2  |-  ( ( ( -.  A. z 
z  =  y  /\  x  =  y )  ->  A. z  x  =  y )  \/  (
( -.  z  =  y  /\  -.  A. z  -.  x  =  y )  ->  A. z  x  =  y )
)
11 impexp 433 . . 3  |-  ( ( ( -.  A. z 
z  =  y  /\  x  =  y )  ->  A. z  x  =  y )  <->  ( -.  A. z  z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
) )
12 impexp 433 . . 3  |-  ( ( ( -.  z  =  y  /\  -.  A. z  -.  x  =  y )  ->  A. z  x  =  y )  <->  ( -.  z  =  y  ->  ( -.  A. z  -.  x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) ) )
1311, 12orbi12i 507 . 2  |-  ( ( ( ( -.  A. z  z  =  y  /\  x  =  y
)  ->  A. z  x  =  y )  \/  ( ( -.  z  =  y  /\  -.  A. z  -.  x  =  y )  ->  A. z  x  =  y )
)  <->  ( ( -. 
A. z  z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)  \/  ( -.  z  =  y  -> 
( -.  A. z  -.  x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) ) ) )
1410, 13mpbi 199 1  |-  ( ( -.  A. z  z  =  y  ->  (
x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) )  \/  ( -.  z  =  y  ->  ( -.  A. z  -.  x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358   A.wal 1527
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-11 1715
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360
  Copyright terms: Public domain W3C validator