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Theorem ax12olem3 1870
Description: Lemma for ax12o 1875. Show the equivalence of an intermediate equivalent to ax12o 1875 with the conjunction of ax-12 1866 and a variant with negated equalities. (Contributed by NM, 24-Dec-2015.)
Assertion
Ref Expression
ax12olem3  |-  ( ( -.  x  =  y  ->  ( -.  A. x  -.  y  =  z  ->  A. x  y  =  z ) )  <->  ( ( -.  x  =  y  ->  ( y  =  z  ->  A. x  y  =  z ) )  /\  ( -.  x  =  y  ->  ( -.  y  =  z  ->  A. x  -.  y  =  z
) ) ) )

Proof of Theorem ax12olem3
StepHypRef Expression
1 sp 1716 . . . . . 6  |-  ( A. x  -.  y  =  z  ->  -.  y  =  z )
21con2i 112 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  -.  A. x  -.  y  =  z )
32imim1i 54 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  -.  y  =  z  ->  A. x  y  =  z )  ->  ( y  =  z  ->  A. x  y  =  z )
)
43imim2i 13 . . 3  |-  ( ( -.  x  =  y  ->  ( -.  A. x  -.  y  =  z  ->  A. x  y  =  z ) )  -> 
( -.  x  =  y  ->  ( y  =  z  ->  A. x  y  =  z )
) )
5 sp 1716 . . . . . 6  |-  ( A. x  y  =  z  ->  y  =  z )
65imim2i 13 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  -.  y  =  z  ->  A. x  y  =  z )  ->  ( -.  A. x  -.  y  =  z  ->  y  =  z ) )
76con1d 116 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  -.  y  =  z  ->  A. x  y  =  z )  ->  ( -.  y  =  z  ->  A. x  -.  y  =  z ) )
87imim2i 13 . . 3  |-  ( ( -.  x  =  y  ->  ( -.  A. x  -.  y  =  z  ->  A. x  y  =  z ) )  -> 
( -.  x  =  y  ->  ( -.  y  =  z  ->  A. x  -.  y  =  z ) ) )
94, 8jca 518 . 2  |-  ( ( -.  x  =  y  ->  ( -.  A. x  -.  y  =  z  ->  A. x  y  =  z ) )  -> 
( ( -.  x  =  y  ->  ( y  =  z  ->  A. x  y  =  z )
)  /\  ( -.  x  =  y  ->  ( -.  y  =  z  ->  A. x  -.  y  =  z ) ) ) )
10 con1 120 . . . . . 6  |-  ( ( -.  y  =  z  ->  A. x  -.  y  =  z )  -> 
( -.  A. x  -.  y  =  z  ->  y  =  z ) )
1110imim1d 69 . . . . 5  |-  ( ( -.  y  =  z  ->  A. x  -.  y  =  z )  -> 
( ( y  =  z  ->  A. x  y  =  z )  ->  ( -.  A. x  -.  y  =  z  ->  A. x  y  =  z ) ) )
1211com12 27 . . . 4  |-  ( ( y  =  z  ->  A. x  y  =  z )  ->  (
( -.  y  =  z  ->  A. x  -.  y  =  z
)  ->  ( -.  A. x  -.  y  =  z  ->  A. x  y  =  z )
) )
1312imim3i 55 . . 3  |-  ( ( -.  x  =  y  ->  ( y  =  z  ->  A. x  y  =  z )
)  ->  ( ( -.  x  =  y  ->  ( -.  y  =  z  ->  A. x  -.  y  =  z
) )  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( -.  A. x  -.  y  =  z  ->  A. x  y  =  z ) ) ) )
1413imp 418 . 2  |-  ( ( ( -.  x  =  y  ->  ( y  =  z  ->  A. x  y  =  z )
)  /\  ( -.  x  =  y  ->  ( -.  y  =  z  ->  A. x  -.  y  =  z ) ) )  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( -.  A. x  -.  y  =  z  ->  A. x  y  =  z ) ) )
159, 14impbii 180 1  |-  ( ( -.  x  =  y  ->  ( -.  A. x  -.  y  =  z  ->  A. x  y  =  z ) )  <->  ( ( -.  x  =  y  ->  ( y  =  z  ->  A. x  y  =  z ) )  /\  ( -.  x  =  y  ->  ( -.  y  =  z  ->  A. x  -.  y  =  z
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527
This theorem is referenced by:  ax12olem4  1871
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-11 1715
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-an 360
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