MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ax1cn Unicode version

Theorem ax1cn 8988
Description: 1 is a complex number. Axiom 2 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1cn 9012. (Contributed by NM, 12-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ax1cn  |-  1  e.  CC

Proof of Theorem ax1cn
StepHypRef Expression
1 axresscn 8987 . 2  |-  RR  C_  CC
2 df-1 8962 . . 3  |-  1  =  <. 1R ,  0R >.
3 1sr 8920 . . . 4  |-  1R  e.  R.
4 opelreal 8969 . . . 4  |-  ( <. 1R ,  0R >.  e.  RR  <->  1R  e.  R. )
53, 4mpbir 201 . . 3  |-  <. 1R ,  0R >.  e.  RR
62, 5eqeltri 2482 . 2  |-  1  e.  RR
71, 6sselii 3313 1  |-  1  e.  CC
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1721   <.cop 3785   R.cnr 8706   0Rc0r 8707   1Rc1r 8708   CCcc 8952   RRcr 8953   1c1 8955
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-er 6872  df-ec 6874  df-qs 6878  df-ni 8713  df-pli 8714  df-mi 8715  df-lti 8716  df-plpq 8749  df-mpq 8750  df-ltpq 8751  df-enq 8752  df-nq 8753  df-erq 8754  df-plq 8755  df-mq 8756  df-1nq 8757  df-rq 8758  df-ltnq 8759  df-np 8822  df-1p 8823  df-plp 8824  df-enr 8898  df-nr 8899  df-0r 8903  df-1r 8904  df-c 8960  df-1 8962  df-r 8964
  Copyright terms: Public domain W3C validator