Theorem ax1id 5294

Description: 1 is an identity element for multiplication. Axiom 16 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
ax1id	|- (A e. CC -> (A x. 1) = A)

Proof of Theorem ax1id

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-c 5252	. 2 |- CC = (R. X. R.)
2		opreq1 3974	. . 3 |- (<.x, y>. = A -> (<.x, y>. x. 1) = (A x. 1))
3		id 59	. . 3 |- (<.x, y>. = A -> <.x, y>. = A)
4	2, 3	eqeq12d 1492	. 2 |- (<.x, y>. = A -> ((<.x, y>. x. 1) = <.x, y>. <-> (A x. 1) = A))
5		1r 5202	. . . . . 6 |- 1R e. R.
6		0r 5201	. . . . . 6 |- 0R e. R.
7	5, 6	pm3.2i 285	. . . . 5 |- (1R e. R. /\ 0R e. R.)
8		mulcnsr 5266	. . . . 5 |- (((x e. R. /\ y e. R.) /\ (1R e. R. /\ 0R e. R.)) -> (<.x, y>. x. <.1R, 0R>.) = <.((x .R 1R) +R (-1R .R (y .R 0R))), ((y .R 1R) +R (x .R 0R))>.)
9	7, 8	mpan2 698	. . . 4 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (<.x, y>. x. <.1R, 0R>.) = <.((x .R 1R) +R (-1R .R (y .R 0R))), ((y .R 1R) +R (x .R 0R))>.)
10		00sr 5220	. . . . . . . . 9 |- (y e. R. -> (y .R 0R) = 0R)
11	10	opreq2d 3982	. . . . . . . 8 |- (y e. R. -> (-1R .R (y .R 0R)) = (-1R .R 0R))
12		m1r 5203	. . . . . . . . 9 |- -1R e. R.
13		00sr 5220	. . . . . . . . 9 |- (-1R e. R. -> (-1R .R 0R) = 0R)
14	12, 13	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (-1R .R 0R) = 0R
15	11, 14	syl6eq 1526	. . . . . . 7 |- (y e. R. -> (-1R .R (y .R 0R)) = 0R)
16	15	opreq2d 3982	. . . . . 6 |- (y e. R. -> ((x .R 1R) +R (-1R .R (y .R 0R))) = ((x .R 1R) +R 0R))
17		1idsr 5219	. . . . . . . 8 |- (x e. R. -> (x .R 1R) = x)
18	17	opreq1d 3981	. . . . . . 7 |- (x e. R. -> ((x .R 1R) +R 0R) = (x +R 0R))
19		0idsr 5218	. . . . . . 7 |- (x e. R. -> (x +R 0R) = x)
20	18, 19	eqtrd 1510	. . . . . 6 |- (x e. R. -> ((x .R 1R) +R 0R) = x)
21	16, 20	sylan9eqr 1532	. . . . 5 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> ((x .R 1R) +R (-1R .R (y .R 0R))) = x)
22		00sr 5220	. . . . . . 7 |- (x e. R. -> (x .R 0R) = 0R)
23	22	opreq2d 3982	. . . . . 6 |- (x e. R. -> ((y .R 1R) +R (x .R 0R)) = ((y .R 1R) +R 0R))
24		1idsr 5219	. . . . . . . 8 |- (y e. R. -> (y .R 1R) = y)
25	24	opreq1d 3981	. . . . . . 7 |- (y e. R. -> ((y .R 1R) +R 0R) = (y +R 0R))
26		0idsr 5218	. . . . . . 7 |- (y e. R. -> (y +R 0R) = y)
27	25, 26	eqtrd 1510	. . . . . 6 |- (y e. R. -> ((y .R 1R) +R 0R) = y)
28	23, 27	sylan9eq 1530	. . . . 5 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> ((y .R 1R) +R (x .R 0R)) = y)
29	21, 28	opeq12d 2499	. . . 4 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> <.((x .R 1R) +R (-1R .R (y .R 0R))), ((y .R 1R) +R (x .R 0R))>. = <.x, y>.)
30	9, 29	eqtrd 1510	. . 3 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (<.x, y>. x. <.1R, 0R>.) = <.x, y>.)
31		df-1 5254	. . . 4 |- 1 = <.1R, 0R>.
32	31	opreq2i 3978	. . 3 |- (<.x, y>. x. 1) = (<.x, y>. x. <.1R, 0R>.)
33	30, 32	syl5eq 1522	. 2 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (<.x, y>. x. 1) = <.x, y>.)
34	1, 4, 33	optocl 3241	1 |- (A e. CC -> (A x. 1) = A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  <.cop 2415  (class class class)co 3969  R.cnr 5005  0Rc0r 5006  1Rc1r 5007  -1Rcm1r 5008   +R cplr 5009   .R cmr 5010  CCcc 5244  1c1 5247   x. cmul 5251

This theorem is referenced by:  mulid1t 5323  mulid1 5344  mulid2t 5429  muladd11t 5434  muleqaddt 5712  divadddivt 5786  divdivmult 5797  conjmult 5799  mulgt1t 5847  ltmulgt11t 5848  lemulge11t 5850  nnmulclt 5943  expaddt 6597  expmult 6598  sq01t 6652  bernneq 6653  crrecz 6742  facwordit 6944  faclbnd 6945  faclbnd2 6946  faclbnd4lem3 6950  faclbnd6 6954  facavgt 6955  bcn0t 6963  bcnp11t 6965  binomlem1 7066  binomlem4 7069  fnsmnt 7226  geoser 7234  efexpt 7372  efnn0valt 7373  cos01gt0 7478  abseft 7484  cnring 8158  nmoub3i 8432  ipasslem2 8487  ubthlem10 8534  htthlem6 8621  sinper 8685  cosper 8686  nmopub2tALT 9828  nmfnleub2t 9845  nmcopexlem5 9950  nmcfnexlem5 9979  nmopcoadj 10029  branmfnt 10033

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-1 5254  df-mul 5258

Copyright terms: Public domain