MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ax1ne0 Unicode version

Theorem ax1ne0 8736
Description: 1 and 0 are distinct. Axiom 13 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1ne0 8760. (Contributed by NM, 19-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ax1ne0  |-  1  =/=  0

Proof of Theorem ax1ne0
StepHypRef Expression
1 1ne0sr 8672 . . . 4  |-  -.  1R  =  0R
2 1sr 8657 . . . . . 6  |-  1R  e.  R.
32elexi 2766 . . . . 5  |-  1R  e.  _V
43eqresr 8713 . . . 4  |-  ( <. 1R ,  0R >.  =  <. 0R ,  0R >.  <->  1R  =  0R )
51, 4mtbir 292 . . 3  |-  -.  <. 1R ,  0R >.  =  <. 0R ,  0R >.
6 df-1 8699 . . . 4  |-  1  =  <. 1R ,  0R >.
7 df-0 8698 . . . 4  |-  0  =  <. 0R ,  0R >.
86, 7eqeq12i 2269 . . 3  |-  ( 1  =  0  <->  <. 1R ,  0R >.  =  <. 0R ,  0R >. )
95, 8mtbir 292 . 2  |-  -.  1  =  0
10 df-ne 2421 . 2  |-  ( 1  =/=  0  <->  -.  1  =  0 )
119, 10mpbir 202 1  |-  1  =/=  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    = wceq 1619    =/= wne 2419   <.cop 3603   R.cnr 8443   0Rc0r 8444   1Rc1r 8445   0cc0 8691   1c1 8692
This theorem is referenced by:  stoweidlem7  27077  stoweidlem13  27083
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-inf2 7296
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-1o 6433  df-oadd 6437  df-omul 6438  df-er 6614  df-ec 6616  df-qs 6620  df-ni 8450  df-pli 8451  df-mi 8452  df-lti 8453  df-plpq 8486  df-mpq 8487  df-ltpq 8488  df-enq 8489  df-nq 8490  df-erq 8491  df-plq 8492  df-mq 8493  df-1nq 8494  df-rq 8495  df-ltnq 8496  df-np 8559  df-1p 8560  df-plp 8561  df-ltp 8563  df-enr 8635  df-nr 8636  df-ltr 8639  df-0r 8640  df-1r 8641  df-0 8698  df-1 8699
  Copyright terms: Public domain W3C validator