Theorem ax1ne0 5252

Description: 1 and 0 are distinct. Axiom 14 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
ax1ne0	|- 1 =/= 0

Proof of Theorem ax1ne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ne0sr 5177	. . . 4 |- -. 1R = 0R
2		1r 5162	. . . . . 6 |- 1R e. R.
3	2	elisseti 1809	. . . . 5 |- 1R e. V
4	3	eqresr 5227	. . . 4 |- (<.1R, 0R>. = <.0R, 0R>. <-> 1R = 0R)
5	1, 4	mtbir 192	. . 3 |- -. <.1R, 0R>. = <.0R, 0R>.
6		df-1 5214	. . . 4 |- 1 = <.1R, 0R>.
7		df-0 5213	. . . 4 |- 0 = <.0R, 0R>.
8	6, 7	eqeq12i 1480	. . 3 |- (1 = 0 <-> <.1R, 0R>. = <.0R, 0R>.)
9	5, 8	mtbir 192	. 2 |- -. 1 = 0
10		df-ne 1579	. 2 |- (1 =/= 0 <-> -. 1 = 0)
11	9, 10	mpbir 190	1 |- 1 =/= 0

Syntax hints:  -. wn 2   = wceq 953   =/= wne 1577  <.cop 2401  R.cnr 4965  0Rc0r 4966  1Rc1r 4967  0cc0 5206  1c1 5207

This theorem is referenced by:  elimne0 5288  ine0 5406  lt01 5653  mulcant2 5660  recne0z 5694  div11t 5721  recrec 5725  div1 5728  recrect 5732  recdivt 5746  divdivmult 5751  recgt0i 5770  expne0it 6519  efseq1ex 7248  erelem2 7262  efne0t 7311  dscmet 7856  ablmul 8068  mulid 8069  vcoprne 8136  efif1lem5 8649  pilog 8690  hvsubcant 8862  hvsubcan2t 8863  norm1ex 9043  kbpjt 9796  large 10104  superpos 10189

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-ltp 5062  df-enr 5138  df-nr 5139  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-0 5213  df-1 5214

Copyright terms: Public domain