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Theorem ax4567 27601
Description: Proof of a theorem that can act as a sole axiom for pure predicate calculus with ax-gen 1533 as the inference rule. This proof extends the idea of ax467 2108 and related theorems. (Contributed by Andrew Salmon, 14-Jul-2011.)
Assertion
Ref Expression
ax4567  |-  ( ( A. x A. y  -.  A. x A. y
( A. y ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  A. y ( A. y ph  ->  ps )
) )  ->  ( A. y ph  ->  A. y ps ) )

Proof of Theorem ax4567
StepHypRef Expression
1 ax5o 1717 . . 3  |-  ( A. y ( A. y ph  ->  ps )  -> 
( A. y ph  ->  A. y ps )
)
2 ax-6 1703 . . . . 5  |-  ( -. 
A. y ( A. y ph  ->  ps )  ->  A. y  -.  A. y ( A. y ph  ->  ps ) )
3 ax6o 1723 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. x  -.  A. x A. y ( A. y ph  ->  ps )  ->  A. y ( A. y ph  ->  ps )
)
43con1i 121 . . . . 5  |-  ( -. 
A. y ( A. y ph  ->  ps )  ->  A. x  -.  A. x A. y ( A. y ph  ->  ps )
)
52, 4alrimih 1552 . . . 4  |-  ( -. 
A. y ( A. y ph  ->  ps )  ->  A. y A. x  -.  A. x A. y
( A. y ph  ->  ps ) )
6 ax-7 1708 . . . 4  |-  ( A. y A. x  -.  A. x A. y ( A. y ph  ->  ps )  ->  A. x A. y  -.  A. x A. y
( A. y ph  ->  ps ) )
75, 6syl 15 . . 3  |-  ( -. 
A. y ( A. y ph  ->  ps )  ->  A. x A. y  -.  A. x A. y
( A. y ph  ->  ps ) )
81, 7nsyl4 134 . 2  |-  ( -. 
A. x A. y  -.  A. x A. y
( A. y ph  ->  ps )  ->  ( A. y ph  ->  A. y ps ) )
9 pm2.21 100 . . . 4  |-  ( -. 
ph  ->  ( ph  ->  A. y ps ) )
109spsd 1740 . . 3  |-  ( -. 
ph  ->  ( A. y ph  ->  A. y ps )
)
1110, 1ja 153 . 2  |-  ( (
ph  ->  A. y ( A. y ph  ->  ps )
)  ->  ( A. y ph  ->  A. y ps ) )
128, 11ja 153 1  |-  ( ( A. x A. y  -.  A. x A. y
( A. y ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  A. y ( A. y ph  ->  ps )
) )  ->  ( A. y ph  ->  A. y ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   A.wal 1527
This theorem is referenced by:  ax4567to4  27602  ax4567to5  27603  ax4567to6  27604  ax4567to7  27605
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715
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