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Theorem ax4567to7 27595
Description: Re-derivation of ax-7 1750 from ax4567 27591. Note that ax-7 1750 is not required for the re-derivation. (Contributed by Andrew Salmon, 14-Jul-2011.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ax4567to7  |-  ( A. x A. y ph  ->  A. y A. x ph )

Proof of Theorem ax4567to7
StepHypRef Expression
1 ax-1 6 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. y (
ph  ->  ph )  ->  ph )
)
212alimi 1570 . 2  |-  ( A. x A. y ph  ->  A. x A. y ( A. y ( ph  ->  ph )  ->  ph )
)
3 ax4567to6 27594 . . . 4  |-  ( -. 
A. y  -.  A. y  -.  A. x A. y ( A. y
( ph  ->  ph )  ->  ph )  ->  -.  A. x A. y ( A. y ( ph  ->  ph )  ->  ph )
)
43con4i 125 . . 3  |-  ( A. x A. y ( A. y ( ph  ->  ph )  ->  ph )  ->  A. y  -.  A. y  -.  A. x A. y
( A. y (
ph  ->  ph )  ->  ph )
)
5 pm2.21 103 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x A. y  -.  A. x A. y
( A. y (
ph  ->  ph )  ->  ph )  ->  ( A. x A. y  -.  A. x A. y ( A. y
( ph  ->  ph )  ->  ph )  ->  (
( ph  ->  ph )  ->  A. y ( A. y ( ph  ->  ph )  ->  ph ) ) ) )
6 ax4567 27591 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x A. y  -.  A. x A. y
( A. y (
ph  ->  ph )  ->  ph )  ->  ( ( ph  ->  ph )  ->  A. y
( A. y (
ph  ->  ph )  ->  ph )
) )  ->  ( A. y ( ph  ->  ph )  ->  A. y ph ) )
7 sp 1764 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ph  ->  ph )
86, 7syl6 32 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x A. y  -.  A. x A. y
( A. y (
ph  ->  ph )  ->  ph )  ->  ( ( ph  ->  ph )  ->  A. y
( A. y (
ph  ->  ph )  ->  ph )
) )  ->  ( A. y ( ph  ->  ph )  ->  ph ) )
95, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. x A. y  -.  A. x A. y
( A. y (
ph  ->  ph )  ->  ph )  ->  ( A. y (
ph  ->  ph )  ->  ph )
)
109alimi 1569 . . . . 5  |-  ( A. x  -.  A. x A. y  -.  A. x A. y ( A. y
( ph  ->  ph )  ->  ph )  ->  A. x
( A. y (
ph  ->  ph )  ->  ph )
)
11 ax4567to6 27594 . . . . 5  |-  ( -. 
A. x  -.  A. x A. y  -.  A. x A. y ( A. y ( ph  ->  ph )  ->  ph )  ->  A. y  -.  A. x A. y ( A. y
( ph  ->  ph )  ->  ph ) )
1210, 11nsyl4 137 . . . 4  |-  ( -. 
A. y  -.  A. x A. y ( A. y ( ph  ->  ph )  ->  ph )  ->  A. x ( A. y
( ph  ->  ph )  ->  ph ) )
1312alimi 1569 . . 3  |-  ( A. y  -.  A. y  -. 
A. x A. y
( A. y (
ph  ->  ph )  ->  ph )  ->  A. y A. x
( A. y (
ph  ->  ph )  ->  ph )
)
144, 13syl 16 . 2  |-  ( A. x A. y ( A. y ( ph  ->  ph )  ->  ph )  ->  A. y A. x ( A. y ( ph  ->  ph )  ->  ph )
)
15 pm2.27 38 . . . 4  |-  ( A. y ( ph  ->  ph )  ->  ( ( A. y ( ph  ->  ph )  ->  ph )  ->  ph ) )
16 id 21 . . . 4  |-  ( ph  ->  ph )
1715, 16mpg 1558 . . 3  |-  ( ( A. y ( ph  ->  ph )  ->  ph )  ->  ph )
18172alimi 1570 . 2  |-  ( A. y A. x ( A. y ( ph  ->  ph )  ->  ph )  ->  A. y A. x ph )
192, 14, 183syl 19 1  |-  ( A. x A. y ph  ->  A. y A. x ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   A.wal 1550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-ex 1552  df-nf 1555
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