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Theorem ax4567to7 27481
Description: Re-derivation of ax-7 1745 from ax4567 27477. Note that ax-7 1745 is not required for the re-derivation. (Contributed by Andrew Salmon, 14-Jul-2011.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ax4567to7  |-  ( A. x A. y ph  ->  A. y A. x ph )

Proof of Theorem ax4567to7
StepHypRef Expression
1 ax-1 5 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. y (
ph  ->  ph )  ->  ph )
)
212alimi 1566 . 2  |-  ( A. x A. y ph  ->  A. x A. y ( A. y ( ph  ->  ph )  ->  ph )
)
3 ax4567to6 27480 . . . 4  |-  ( -. 
A. y  -.  A. y  -.  A. x A. y ( A. y
( ph  ->  ph )  ->  ph )  ->  -.  A. x A. y ( A. y ( ph  ->  ph )  ->  ph )
)
43con4i 124 . . 3  |-  ( A. x A. y ( A. y ( ph  ->  ph )  ->  ph )  ->  A. y  -.  A. y  -.  A. x A. y
( A. y (
ph  ->  ph )  ->  ph )
)
5 pm2.21 102 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x A. y  -.  A. x A. y
( A. y (
ph  ->  ph )  ->  ph )  ->  ( A. x A. y  -.  A. x A. y ( A. y
( ph  ->  ph )  ->  ph )  ->  (
( ph  ->  ph )  ->  A. y ( A. y ( ph  ->  ph )  ->  ph ) ) ) )
6 ax4567 27477 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x A. y  -.  A. x A. y
( A. y (
ph  ->  ph )  ->  ph )  ->  ( ( ph  ->  ph )  ->  A. y
( A. y (
ph  ->  ph )  ->  ph )
) )  ->  ( A. y ( ph  ->  ph )  ->  A. y ph ) )
7 sp 1759 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ph  ->  ph )
86, 7syl6 31 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x A. y  -.  A. x A. y
( A. y (
ph  ->  ph )  ->  ph )  ->  ( ( ph  ->  ph )  ->  A. y
( A. y (
ph  ->  ph )  ->  ph )
) )  ->  ( A. y ( ph  ->  ph )  ->  ph ) )
95, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. x A. y  -.  A. x A. y
( A. y (
ph  ->  ph )  ->  ph )  ->  ( A. y (
ph  ->  ph )  ->  ph )
)
109alimi 1565 . . . . 5  |-  ( A. x  -.  A. x A. y  -.  A. x A. y ( A. y
( ph  ->  ph )  ->  ph )  ->  A. x
( A. y (
ph  ->  ph )  ->  ph )
)
11 ax4567to6 27480 . . . . 5  |-  ( -. 
A. x  -.  A. x A. y  -.  A. x A. y ( A. y ( ph  ->  ph )  ->  ph )  ->  A. y  -.  A. x A. y ( A. y
( ph  ->  ph )  ->  ph ) )
1210, 11nsyl4 136 . . . 4  |-  ( -. 
A. y  -.  A. x A. y ( A. y ( ph  ->  ph )  ->  ph )  ->  A. x ( A. y
( ph  ->  ph )  ->  ph ) )
1312alimi 1565 . . 3  |-  ( A. y  -.  A. y  -. 
A. x A. y
( A. y (
ph  ->  ph )  ->  ph )  ->  A. y A. x
( A. y (
ph  ->  ph )  ->  ph )
)
144, 13syl 16 . 2  |-  ( A. x A. y ( A. y ( ph  ->  ph )  ->  ph )  ->  A. y A. x ( A. y ( ph  ->  ph )  ->  ph )
)
15 pm2.27 37 . . . 4  |-  ( A. y ( ph  ->  ph )  ->  ( ( A. y ( ph  ->  ph )  ->  ph )  ->  ph ) )
16 id 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  ph )
1715, 16mpg 1554 . . 3  |-  ( ( A. y ( ph  ->  ph )  ->  ph )  ->  ph )
18172alimi 1566 . 2  |-  ( A. y A. x ( A. y ( ph  ->  ph )  ->  ph )  ->  A. y A. x ph )
192, 14, 183syl 19 1  |-  ( A. x A. y ph  ->  A. y A. x ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   A.wal 1546
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-ex 1548  df-nf 1551
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