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Theorem ax5seglem2 24629
Description: Lemma for ax5seg 24638. Rexpress another congruence sum given betweenness. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ax5seglem2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  (
0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( B `  j )  -  ( C `  j ) ) ^
2 )  =  ( ( ( 1  -  T ) ^ 2 )  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) ^
2 ) ) )
Distinct variable groups:    A, i,
j    B, i, j    C, i, j    i, N, j    T, i, j

Proof of Theorem ax5seglem2
StepHypRef Expression
1 simpl2l 1008 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
2 fveecn 24602 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  j )  e.  CC )
31, 2sylancom 648 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  j )  e.  CC )
4 simpl2r 1009 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  C  e.  ( EE `  N ) )
5 fveecn 24602 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( EE
`  N )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( C `  j )  e.  CC )
64, 5sylancom 648 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( C `  j )  e.  CC )
7 0re 8854 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
8 1re 8853 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
97, 8elicc2i 10732 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( T  e.  RR  /\  0  <_  T  /\  T  <_  1
) )
109simp1bi 970 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  T  e.  RR )
1110recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  T  e.  CC )
1211adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) )  ->  T  e.  CC )
13123ad2ant3 978 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  (
0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  T  e.  CC )
1413adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  T  e.  CC )
15 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  ( B `  i )  =  ( B `  j ) )
16 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  ( A `  i )  =  ( A `  j ) )
1716oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  (
( 1  -  T
)  x.  ( A `
 i ) )  =  ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j
) ) )
18 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  ( C `  i )  =  ( C `  j ) )
1918oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  ( T  x.  ( C `  i ) )  =  ( T  x.  ( C `  j )
) )
2017, 19oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j )
) ) )
2115, 20eqeq12d 2310 . . . . . . 7  |-  ( i  =  j  ->  (
( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  T
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) )  <->  ( B `  j )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j )
)  +  ( T  x.  ( C `  j ) ) ) ) )
2221rspccva 2896 . . . . . 6  |-  ( ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  T
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( B `  j )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j )
) ) )
2322adantll 694 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( B `  j )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j )
) ) )
24233ad2antl3 1119 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  j )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j )
)  +  ( T  x.  ( C `  j ) ) ) )
25 oveq1 5881 . . . . . 6  |-  ( ( B `  j )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j )
) )  ->  (
( B `  j
)  -  ( C `
 j ) )  =  ( ( ( ( 1  -  T
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j ) ) )  -  ( C `  j )
) )
2625oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( ( B `  j )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j )
) )  ->  (
( ( B `  j )  -  ( C `  j )
) ^ 2 )  =  ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j )
)  +  ( T  x.  ( C `  j ) ) )  -  ( C `  j ) ) ^
2 ) )
27 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
28 subcl 9067 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( 1  -  T
)  e.  CC )
2927, 28mpan 651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  CC  ->  (
1  -  T )  e.  CC )
30293ad2ant3 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
1  -  T )  e.  CC )
31 simp1 955 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( A `  j )  e.  CC )
3230, 31mulcld 8871 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( 1  -  T
)  x.  ( A `
 j ) )  e.  CC )
33 simp3 957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  T  e.  CC )
34 simp2 956 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( C `  j )  e.  CC )
3533, 34mulcld 8871 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( T  x.  ( C `  j ) )  e.  CC )
3632, 35, 34addsubassd 9193 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j
) )  +  ( T  x.  ( C `
 j ) ) )  -  ( C `
 j ) )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  +  ( ( T  x.  ( C `  j ) )  -  ( C `
 j ) ) ) )
37 subdi 9229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  -  T
)  e.  CC  /\  ( A `  j )  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC )  ->  (
( 1  -  T
)  x.  ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( 1  -  T )  x.  ( C `  j )
) ) )
3829, 37syl3an1 1215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  CC  /\  ( A `  j )  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC )  ->  (
( 1  -  T
)  x.  ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( 1  -  T )  x.  ( C `  j )
) ) )
39383coml 1158 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( 1  -  T
)  x.  ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( 1  -  T )  x.  ( C `  j )
) ) )
40 subdir 9230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  T  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC )  ->  (
( 1  -  T
)  x.  ( C `
 j ) )  =  ( ( 1  x.  ( C `  j ) )  -  ( T  x.  ( C `  j )
) ) )
4127, 40mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC )  -> 
( ( 1  -  T )  x.  ( C `  j )
)  =  ( ( 1  x.  ( C `
 j ) )  -  ( T  x.  ( C `  j ) ) ) )
4241ancoms 439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C `  j
)  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  T )  x.  ( C `  j )
)  =  ( ( 1  x.  ( C `
 j ) )  -  ( T  x.  ( C `  j ) ) ) )
43423adant1 973 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( 1  -  T
)  x.  ( C `
 j ) )  =  ( ( 1  x.  ( C `  j ) )  -  ( T  x.  ( C `  j )
) ) )
44 mulid2 8852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C `  j )  e.  CC  ->  (
1  x.  ( C `
 j ) )  =  ( C `  j ) )
4544oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C `  j )  e.  CC  ->  (
( 1  x.  ( C `  j )
)  -  ( T  x.  ( C `  j ) ) )  =  ( ( C `
 j )  -  ( T  x.  ( C `  j )
) ) )
46453ad2ant2 977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( 1  x.  ( C `  j )
)  -  ( T  x.  ( C `  j ) ) )  =  ( ( C `
 j )  -  ( T  x.  ( C `  j )
) ) )
4743, 46eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( 1  -  T
)  x.  ( C `
 j ) )  =  ( ( C `
 j )  -  ( T  x.  ( C `  j )
) ) )
4847oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j )
)  -  ( ( 1  -  T )  x.  ( C `  j ) ) )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( C `  j )  -  ( T  x.  ( C `  j ) ) ) ) )
4932, 34, 35subsub2d 9202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j )
)  -  ( ( C `  j )  -  ( T  x.  ( C `  j ) ) ) )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j
) )  +  ( ( T  x.  ( C `  j )
)  -  ( C `
 j ) ) ) )
5039, 48, 493eqtrd 2332 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( 1  -  T
)  x.  ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  +  ( ( T  x.  ( C `  j ) )  -  ( C `
 j ) ) ) )
5136, 50eqtr4d 2331 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j
) )  +  ( T  x.  ( C `
 j ) ) )  -  ( C `
 j ) )  =  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( A `  j )  -  ( C `  j )
) ) )
5251oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j )
) )  -  ( C `  j )
) ^ 2 )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ) ^ 2 ) )
53 subcl 9067 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC )  -> 
( ( A `  j )  -  ( C `  j )
)  e.  CC )
54533adant3 975 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( A `  j
)  -  ( C `
 j ) )  e.  CC )
5530, 54sqmuld 11273 . . . . . 6  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( ( 1  -  T )  x.  (
( A `  j
)  -  ( C `
 j ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 1  -  T ) ^ 2 )  x.  ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) ) )
5652, 55eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j )
) )  -  ( C `  j )
) ^ 2 )  =  ( ( ( 1  -  T ) ^ 2 )  x.  ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) ) )
5726, 56sylan9eqr 2350 . . . 4  |-  ( ( ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( C `  j
)  e.  CC  /\  T  e.  CC )  /\  ( B `  j
)  =  ( ( ( 1  -  T
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j ) ) ) )  -> 
( ( ( B `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 1  -  T ) ^ 2 )  x.  ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) ) )
583, 6, 14, 24, 57syl31anc 1185 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( (
( B `  j
)  -  ( C `
 j ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 1  -  T ) ^
2 )  x.  (
( ( A `  j )  -  ( C `  j )
) ^ 2 ) ) )
5958sumeq2dv 12192 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  (
0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( B `  j )  -  ( C `  j ) ) ^
2 )  =  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( 1  -  T ) ^ 2 )  x.  ( ( ( A `  j
)  -  ( C `
 j ) ) ^ 2 ) ) )
60 fzfid 11051 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  (
0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  (
1 ... N )  e. 
Fin )
61 resubcl 9127 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  ( 1  -  T
)  e.  RR )
628, 10, 61sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
1  -  T )  e.  RR )
6362resqcld 11287 . . . . . 6  |-  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( 1  -  T
) ^ 2 )  e.  RR )
6463recnd 8877 . . . . 5  |-  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( 1  -  T
) ^ 2 )  e.  CC )
6564adantr 451 . . . 4  |-  ( ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) )  -> 
( ( 1  -  T ) ^ 2 )  e.  CC )
66653ad2ant3 978 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  (
0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  (
( 1  -  T
) ^ 2 )  e.  CC )
6723adant1 973 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( A `  j )  e.  CC )
68673adant2r 1177 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  j )  e.  CC )
6953adant1 973 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( C `  j )  e.  CC )
70693adant2l 1176 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( C `  j )  e.  CC )
7168, 70subcld 9173 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) )  e.  CC )
7271sqcld 11259 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) ^
2 )  e.  CC )
73723expa 1151 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( A `  j )  -  ( C `  j )
) ^ 2 )  e.  CC )
74733adantl3 1113 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( (
( A `  j
)  -  ( C `
 j ) ) ^ 2 )  e.  CC )
7560, 66, 74fsummulc2 12262 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  (
0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  (
( ( 1  -  T ) ^ 2 )  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) ^
2 ) )  = 
sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( 1  -  T ) ^
2 )  x.  (
( ( A `  j )  -  ( C `  j )
) ^ 2 ) ) )
7659, 75eqtr4d 2331 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  (
0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( B `  j )  -  ( C `  j ) ) ^
2 )  =  ( ( ( 1  -  T ) ^ 2 )  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) ^
2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    <_ cle 8884    - cmin 9053   NNcn 9762   2c2 9811   [,]cicc 10675   ...cfz 10798   ^cexp 11120   sum_csu 12174   EEcee 24588
This theorem is referenced by:  ax5seglem3  24631
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-ee 24591
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