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Theorem ax5seglem3 24559
Description: Lemma for ax5seg 24566. Combine congruences for points on a line. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ax5seglem3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) ^
2 )  =  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( D `  j )  -  ( F `  j )
) ^ 2 ) )
Distinct variable groups:    A, i,
j    B, i, j    C, i, j    D, i, j   
i, E, j    i, F, j    i, N, j    S, i, j    T, i, j

Proof of Theorem ax5seglem3
StepHypRef Expression
1 1re 8837 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
2 0re 8838 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
32, 1elicc2i 10716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( T  e.  RR  /\  0  <_  T  /\  T  <_  1
) )
43simp1bi 970 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  T  e.  RR )
5 resubcl 9111 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  ( 1  -  T
)  e.  RR )
61, 4, 5sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
1  -  T )  e.  RR )
76ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  ->  ( 1  -  T )  e.  RR )
873ad2ant2 977 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  ( 1  -  T )  e.  RR )
9 fzfid 11035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
1 ... N )  e. 
Fin )
10 ax5seglem3a 24558 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( A `  j )  -  ( C `  j )
)  e.  RR  /\  ( ( D `  j )  -  ( F `  j )
)  e.  RR ) )
1110simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( A `  j
)  -  ( C `
 j ) )  e.  RR )
1211resqcld 11271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( A `  j )  -  ( C `  j )
) ^ 2 )  e.  RR )
139, 12fsumrecl 12207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) ^
2 )  e.  RR )
1411sqge0d 11272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) )  ->  0  <_  ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) )
159, 12, 14fsumge0 12253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  0  <_ 
sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) )
1613, 15resqrcld 11900 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( sqr `  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
17163ad2ant1 976 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  ( sqr ` 
sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
188, 17remulcld 8863 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  ( (
1  -  T )  x.  ( sqr `  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j )
) ^ 2 ) ) )  e.  RR )
192, 1elicc2i 10716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( S  e.  RR  /\  0  <_  S  /\  S  <_  1
) )
2019simp1bi 970 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  S  e.  RR )
21 resubcl 9111 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  S  e.  RR )  ->  ( 1  -  S
)  e.  RR )
221, 20, 21sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
1  -  S )  e.  RR )
2322ad2antlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  ->  ( 1  -  S )  e.  RR )
24233ad2ant2 977 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  ( 1  -  S )  e.  RR )
2510simprd 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( D `  j
)  -  ( F `
 j ) )  e.  RR )
2625resqcld 11271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( D `  j )  -  ( F `  j )
) ^ 2 )  e.  RR )
279, 26fsumrecl 12207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( D `  j )  -  ( F `  j ) ) ^
2 )  e.  RR )
2825sqge0d 11272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) )  ->  0  <_  ( ( ( D `
 j )  -  ( F `  j ) ) ^ 2 ) )
299, 26, 28fsumge0 12253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  0  <_ 
sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( D `
 j )  -  ( F `  j ) ) ^ 2 ) )
3027, 29resqrcld 11900 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( sqr `  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( D `
 j )  -  ( F `  j ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
31303ad2ant1 976 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  ( sqr ` 
sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( D `
 j )  -  ( F `  j ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
3224, 31remulcld 8863 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  ( (
1  -  S )  x.  ( sqr `  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( D `  j )  -  ( F `  j )
) ^ 2 ) ) )  e.  RR )
333simp3bi 972 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  T  <_  1 )
34 subge0 9287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  ( 0  <_  (
1  -  T )  <-> 
T  <_  1 ) )
351, 4, 34sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
0  <_  ( 1  -  T )  <->  T  <_  1 ) )
3633, 35mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  0  <_  ( 1  -  T
) )
3736ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  ->  0  <_  (
1  -  T ) )
38373ad2ant2 977 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  0  <_  ( 1  -  T ) )
3913, 15sqrge0d 11903 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  0  <_  ( sqr `  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j )
) ^ 2 ) ) )
40393ad2ant1 976 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  0  <_  ( sqr `  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) ^
2 ) ) )
418, 17, 38, 40mulge0d 9349 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  0  <_  ( ( 1  -  T
)  x.  ( sqr `  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) ) ) )
4219simp3bi 972 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  S  <_  1 )
43 subge0 9287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  S  e.  RR )  ->  ( 0  <_  (
1  -  S )  <-> 
S  <_  1 ) )
441, 20, 43sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
0  <_  ( 1  -  S )  <->  S  <_  1 ) )
4542, 44mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  0  <_  ( 1  -  S
) )
4645ad2antlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  ->  0  <_  (
1  -  S ) )
47463ad2ant2 977 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  0  <_  ( 1  -  S ) )
4827, 29sqrge0d 11903 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  0  <_  ( sqr `  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( D `  j )  -  ( F `  j )
) ^ 2 ) ) )
49483ad2ant1 976 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  0  <_  ( sqr `  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( D `  j )  -  ( F `  j ) ) ^
2 ) ) )
5024, 31, 47, 49mulge0d 9349 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  0  <_  ( ( 1  -  S
)  x.  ( sqr `  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( D `
 j )  -  ( F `  j ) ) ^ 2 ) ) ) )
51 resqrth 11741 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_ 
sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) )  ->  ( ( sqr `  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) )
5213, 15, 51syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( sqr `  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j )
) ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) )
53523ad2ant1 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  ( ( sqr `  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) )
5453oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  ( (
( 1  -  T
) ^ 2 )  x.  ( ( sqr `  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 1  -  T
) ^ 2 )  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) ) )
55 ax-1cn 8795 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
564recnd 8861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  T  e.  CC )
5756ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  ->  T  e.  CC )
58573ad2ant2 977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  T  e.  CC )
59 subcl 9051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( 1  -  T
)  e.  CC )
6055, 58, 59sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  ( 1  -  T )  e.  CC )
6116recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( sqr `  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
62613ad2ant1 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  ( sqr ` 
sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
6360, 62sqmuld 11257 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  ( (
( 1  -  T
)  x.  ( sqr `  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 1  -  T
) ^ 2 )  x.  ( ( sqr `  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
64 resqrth 11741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( D `
 j )  -  ( F `  j ) ) ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_ 
sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( D `
 j )  -  ( F `  j ) ) ^ 2 ) )  ->  ( ( sqr `  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( D `
 j )  -  ( F `  j ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( D `
 j )  -  ( F `  j ) ) ^ 2 ) )
6527, 29, 64syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( sqr `  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( D `  j )  -  ( F `  j )
) ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( D `
 j )  -  ( F `  j ) ) ^ 2 ) )
66653ad2ant1 976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  ( ( sqr `  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( D `
 j )  -  ( F `  j ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( D `
 j )  -  ( F `  j ) ) ^ 2 ) )
6766oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  ( (
( 1  -  S
) ^ 2 )  x.  ( ( sqr `  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( D `
 j )  -  ( F `  j ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 1  -  S
) ^ 2 )  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( D `
 j )  -  ( F `  j ) ) ^ 2 ) ) )
6820recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  S  e.  CC )
6968ad2antlr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  ->  S  e.  CC )
70693ad2ant2 977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  S  e.  CC )
71 subcl 9051 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  S  e.  CC )  ->  ( 1  -  S
)  e.  CC )
7255, 70, 71sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  ( 1  -  S )  e.  CC )
7330recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( sqr `  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( D `
 j )  -  ( F `  j ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
74733ad2ant1 976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  ( sqr ` 
sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( D `
 j )  -  ( F `  j ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
7572, 74sqmuld 11257 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  ( (
( 1  -  S
)  x.  ( sqr `  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( D `
 j )  -  ( F `  j ) ) ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 1  -  S
) ^ 2 )  x.  ( ( sqr `  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( D `
 j )  -  ( F `  j ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
76 simp3r 984 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  <. B ,  C >.Cgr <. E ,  F >. )
77 simp122 1088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  B  e.  ( EE `  N ) )
78 simp123 1089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  C  e.  ( EE `  N ) )
79 simp132 1091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  E  e.  ( EE `  N ) )
80 simp133 1092 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  F  e.  ( EE `  N ) )
81 brcgr 24528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( E  e.  ( EE `  N )  /\  F  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >.  <->  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  j )  -  ( C `  j )
) ^ 2 )  =  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( E `
 j )  -  ( F `  j ) ) ^ 2 ) ) )
8277, 78, 79, 80, 81syl22anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  ( <. B ,  C >.Cgr <. E ,  F >. 
<-> 
sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 )  =  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( E `
 j )  -  ( F `  j ) ) ^ 2 ) ) )
8376, 82mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( B `  j )  -  ( C `  j ) ) ^
2 )  =  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( E `  j )  -  ( F `  j )
) ^ 2 ) )
84 simp11 985 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  N  e.  NN )
85 simp121 1087 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
86 simp2ll 1022 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  T  e.  ( 0 [,] 1
) )
87 simp2rl 1024 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) )
88 ax5seglem2 24557 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  (
0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( B `  j )  -  ( C `  j ) ) ^
2 )  =  ( ( ( 1  -  T ) ^ 2 )  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) ^
2 ) ) )
8984, 85, 78, 86, 87, 88syl122anc 1191 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( B `  j )  -  ( C `  j ) ) ^
2 )  =  ( ( ( 1  -  T ) ^ 2 )  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) ^
2 ) ) )
90 simp131 1090 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  D  e.  ( EE `  N ) )
91 simp2lr 1023 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  S  e.  ( 0 [,] 1
) )
92 simp2rr 1025 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i )
)  +  ( S  x.  ( F `  i ) ) ) )
93 ax5seglem2 24557 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  F  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( S  e.  (
0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i )
)  +  ( S  x.  ( F `  i ) ) ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( E `  j )  -  ( F `  j ) ) ^
2 )  =  ( ( ( 1  -  S ) ^ 2 )  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( D `  j )  -  ( F `  j ) ) ^
2 ) ) )
9484, 90, 80, 91, 92, 93syl122anc 1191 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( E `  j )  -  ( F `  j ) ) ^
2 )  =  ( ( ( 1  -  S ) ^ 2 )  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( D `  j )  -  ( F `  j ) ) ^
2 ) ) )
9583, 89, 943eqtr3d 2323 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  ( (
( 1  -  T
) ^ 2 )  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 1  -  S
) ^ 2 )  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( D `
 j )  -  ( F `  j ) ) ^ 2 ) ) )
9667, 75, 953eqtr4d 2325 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  ( (
( 1  -  S
)  x.  ( sqr `  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( D `
 j )  -  ( F `  j ) ) ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 1  -  T
) ^ 2 )  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) ) )
9754, 63, 963eqtr4d 2325 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  ( (
( 1  -  T
)  x.  ( sqr `  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 1  -  S
)  x.  ( sqr `  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( D `
 j )  -  ( F `  j ) ) ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
9818, 32, 41, 50, 97sq11d 11281 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  ( (
1  -  T )  x.  ( sqr `  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j )
) ^ 2 ) ) )  =  ( ( 1  -  S
)  x.  ( sqr `  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( D `
 j )  -  ( F `  j ) ) ^ 2 ) ) ) )
994ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  ->  T  e.  RR )
100993ad2ant2 977 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  T  e.  RR )
101100, 17remulcld 8863 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  ( T  x.  ( sqr `  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j )
) ^ 2 ) ) )  e.  RR )
10220ad2antlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  ->  S  e.  RR )
1031023ad2ant2 977 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  S  e.  RR )
104103, 31remulcld 8863 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  ( S  x.  ( sqr `  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( D `  j )  -  ( F `  j )
) ^ 2 ) ) )  e.  RR )
1053simp2bi 971 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  0  <_  T )
106105ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  ->  0  <_  T
)
1071063ad2ant2 977 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  0  <_  T )
108100, 17, 107, 40mulge0d 9349 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  0  <_  ( T  x.  ( sqr `  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) ) ) )
10919simp2bi 971 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  0  <_  S )
110109ad2antlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  ->  0  <_  S
)
1111103ad2ant2 977 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
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( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  0  <_  S )
112103, 31, 111, 49mulge0d 9349 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
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( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  0  <_  ( S  x.  ( sqr `  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( D `
 j )  -  ( F `  j ) ) ^ 2 ) ) ) )
11352oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( T ^ 2 )  x.  ( ( sqr `  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) ^
2 ) ) ^
2 ) )  =  ( ( T ^
2 )  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j )
) ^ 2 ) ) )
1141133ad2ant1 976 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
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( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( sqr `  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j )
) ^ 2 ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( T ^ 2 )  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) ) )
11558, 62sqmuld 11257 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
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( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  ( ( T  x.  ( sqr ` 
sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( sqr `  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
11666oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
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( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  ( ( S ^ 2 )  x.  ( ( sqr `  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( D `  j )  -  ( F `  j )
) ^ 2 ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( S ^ 2 )  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( D `
 j )  -  ( F `  j ) ) ^ 2 ) ) )
11770, 74sqmuld 11257 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  ( ( S  x.  ( sqr ` 
sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( D `
 j )  -  ( F `  j ) ) ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( S ^ 2 )  x.  ( ( sqr `  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( D `
 j )  -  ( F `  j ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
118 simp3l 983 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( E `  i )  =  ( ( ( 1  -  S )  x.  ( D `  i ) )  +  ( S  x.  ( F `  i )
) ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. E ,  F >. ) )  ->  <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >. )
119 brcgr 24528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( <. A ,  B >.Cgr
<. D ,  E >.  <->  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  j )  -  ( B `  j )
) ^ 2 )  =  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( D `
 j )  -  ( E `  j ) ) ^ 2 ) ) )
12085, 77, 90, 79, 119syl22anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  S  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( (