Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ax5seglem4 Structured version   Unicode version

Theorem ax5seglem4 25871
 Description: Lemma for ax5seg 25877. Given two distinct points, the scaling constant in a betweenness statement is non-zero. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ax5seglem4
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem ax5seglem4
StepHypRef Expression
1 oveq2 6089 . . . . . . . . . . 11
2 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . . . 12
32subid1i 9372 . . . . . . . . . . 11
41, 3syl6eq 2484 . . . . . . . . . 10
54oveq1d 6096 . . . . . . . . 9
6 oveq1 6088 . . . . . . . . 9
75, 6oveq12d 6099 . . . . . . . 8
87eqeq2d 2447 . . . . . . 7
98ralbidv 2725 . . . . . 6
109biimpac 473 . . . . 5
11 eqeefv 25842 . . . . . . . 8
12113adant1 975 . . . . . . 7
13123adant3r3 1164 . . . . . 6
14 eqcom 2438 . . . . . . . 8
15 simplr1 999 . . . . . . . . . . 11
16 fveecn 25841 . . . . . . . . . . 11
1715, 16sylancom 649 . . . . . . . . . 10
18 simplr3 1001 . . . . . . . . . . 11
19 fveecn 25841 . . . . . . . . . . 11
2018, 19sylancom 649 . . . . . . . . . 10
21 mulid2 9089 . . . . . . . . . . . 12
22 mul02 9244 . . . . . . . . . . . 12
2321, 22oveqan12d 6100 . . . . . . . . . . 11
24 addid1 9246 . . . . . . . . . . . 12
2524adantr 452 . . . . . . . . . . 11
2623, 25eqtrd 2468 . . . . . . . . . 10
2717, 20, 26syl2anc 643 . . . . . . . . 9
2827eqeq1d 2444 . . . . . . . 8
2914, 28syl5rbbr 252 . . . . . . 7
3029ralbidva 2721 . . . . . 6
3113, 30bitrd 245 . . . . 5
3210, 31syl5ibr 213 . . . 4
3332expdimp 427 . . 3
3433necon3d 2639 . 2
35343impia 1150 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wral 2705  cfv 5454  (class class class)co 6081  cc 8988  cc0 8990  c1 8991   caddc 8993   cmul 8995   cmin 9291  cn 10000  cfz 11043  cee 25827 This theorem is referenced by:  ax5seg  25877 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-ltxr 9125  df-sub 9293  df-ee 25830
 Copyright terms: Public domain W3C validator