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Theorem ax5seglem8 24564
Description: Lemma for ax5seg 24566. Use the weak deduction theorem to eliminate the hypotheses from ax5seglem7 24563. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ax5seglem8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  T  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( T  x.  (
( C  -  D
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A )  +  ( T  x.  C
) )  -  D
) ^ 2 )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( ( A  -  C ) ^ 2 ) )  -  (
( A  -  D
) ^ 2 ) ) ) ) )

Proof of Theorem ax5seglem8
StepHypRef Expression
1 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( ( 1  -  T )  x.  A
)  =  ( ( 1  -  T )  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ) )
21oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( ( ( 1  -  T )  x.  A )  +  ( T  x.  C ) )  =  ( ( ( 1  -  T
)  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  +  ( T  x.  C ) ) )
32oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( ( ( ( 1  -  T )  x.  A )  +  ( T  x.  C
) )  -  D
)  =  ( ( ( ( 1  -  T )  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  +  ( T  x.  C ) )  -  D ) )
43oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( ( ( ( ( 1  -  T
)  x.  A )  +  ( T  x.  C ) )  -  D ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) )  +  ( T  x.  C
) )  -  D
) ^ 2 ) )
5 oveq1 5865 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( A  -  C
)  =  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  C ) )
65oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( ( A  -  C ) ^ 2 )  =  ( ( if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  -  C
) ^ 2 ) )
76oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( T  x.  (
( A  -  C
) ^ 2 ) )  =  ( T  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  C ) ^
2 ) ) )
8 oveq1 5865 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( A  -  D
)  =  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  D ) )
98oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( ( A  -  D ) ^ 2 )  =  ( ( if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  -  D
) ^ 2 ) )
107, 9oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( ( T  x.  ( ( A  -  C ) ^ 2 ) )  -  (
( A  -  D
) ^ 2 ) )  =  ( ( T  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  -  C
) ^ 2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  -  D
) ^ 2 ) ) )
1110oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( ( 1  -  T )  x.  (
( T  x.  (
( A  -  C
) ^ 2 ) )  -  ( ( A  -  D ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  C ) ^
2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  D ) ^
2 ) ) ) )
124, 11oveq12d 5876 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A
)  +  ( T  x.  C ) )  -  D ) ^
2 )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  ( ( T  x.  ( ( A  -  C ) ^ 2 ) )  -  ( ( A  -  D ) ^
2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  +  ( T  x.  C ) )  -  D ) ^ 2 )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  C ) ^
2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  D ) ^
2 ) ) ) ) )
1312eqeq2d 2294 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( ( T  x.  ( ( C  -  D ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( ( 1  -  T
)  x.  A )  +  ( T  x.  C ) )  -  D ) ^ 2 )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( ( A  -  C ) ^
2 ) )  -  ( ( A  -  D ) ^ 2 ) ) ) )  <-> 
( T  x.  (
( C  -  D
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  +  ( T  x.  C ) )  -  D ) ^ 2 )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  C ) ^
2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  D ) ^
2 ) ) ) ) ) )
14 oveq1 5865 . . 3  |-  ( T  =  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  -> 
( T  x.  (
( C  -  D
) ^ 2 ) )  =  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( C  -  D ) ^
2 ) ) )
15 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( T  =  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  -> 
( 1  -  T
)  =  ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) ) )
1615oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( T  =  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  -> 
( ( 1  -  T )  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  =  ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ) )
17 oveq1 5865 . . . . . . 7  |-  ( T  =  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  -> 
( T  x.  C
)  =  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  C ) )
1816, 17oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( T  =  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  -> 
( ( ( 1  -  T )  x.  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) )  +  ( T  x.  C
) )  =  ( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T , 
0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  C ) ) )
1918oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( T  =  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  -> 
( ( ( ( 1  -  T )  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  +  ( T  x.  C ) )  -  D )  =  ( ( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  C ) )  -  D ) )
2019oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( T  =  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  -> 
( ( ( ( ( 1  -  T
)  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  +  ( T  x.  C ) )  -  D ) ^
2 )  =  ( ( ( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  C ) )  -  D ) ^
2 ) )
21 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( T  =  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  -> 
( T  x.  (
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  C ) ^ 2 ) )  =  ( if ( T  e.  CC ,  T , 
0 )  x.  (
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  C ) ^ 2 ) ) )
2221oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( T  =  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  -> 
( ( T  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  C ) ^
2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  D ) ^
2 ) )  =  ( ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  C ) ^
2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  D ) ^
2 ) ) )
2315, 22oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( T  =  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  -> 
( ( 1  -  T )  x.  (
( T  x.  (
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  C ) ^ 2 ) )  -  (
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  D ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T , 
0 ) )  x.  ( ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  C ) ^
2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  D ) ^
2 ) ) ) )
2420, 23oveq12d 5876 . . 3  |-  ( T  =  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  -> 
( ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  +  ( T  x.  C ) )  -  D ) ^
2 )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  ( ( T  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  -  C
) ^ 2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  -  D
) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T , 
0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  C ) )  -  D ) ^ 2 )  +  ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  ( ( if ( T  e.  CC ,  T , 
0 )  x.  (
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  C ) ^ 2 ) )  -  (
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  D ) ^ 2 ) ) ) ) )
2514, 24eqeq12d 2297 . 2  |-  ( T  =  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  -> 
( ( T  x.  ( ( C  -  D ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( ( 1  -  T
)  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  +  ( T  x.  C ) )  -  D ) ^
2 )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  ( ( T  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  -  C
) ^ 2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  -  D
) ^ 2 ) ) ) )  <->  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( C  -  D ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T , 
0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  C ) )  -  D ) ^ 2 )  +  ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  ( ( if ( T  e.  CC ,  T , 
0 )  x.  (
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  C ) ^ 2 ) )  -  (
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  D ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
26 oveq1 5865 . . . . 5  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( C  -  D
)  =  ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -  D ) )
2726oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( ( C  -  D ) ^ 2 )  =  ( ( if ( C  e.  CC ,  C , 
0 )  -  D
) ^ 2 ) )
2827oveq2d 5874 . . 3  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( C  -  D ) ^ 2 ) )  =  ( if ( T  e.  CC ,  T , 
0 )  x.  (
( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -  D ) ^ 2 ) ) )
29 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  C )  =  ( if ( T  e.  CC ,  T , 
0 )  x.  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) )
3029oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  C ) )  =  ( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) ) )
3130oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( ( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  C ) )  -  D )  =  ( ( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) )  -  D ) )
3231oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( ( ( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  C ) )  -  D ) ^
2 )  =  ( ( ( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) )  -  D ) ^ 2 ) )
33 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  C )  =  ( if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  -  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) )
3433oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  C ) ^
2 )  =  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) ^ 2 ) )
3534oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  C ) ^
2 ) )  =  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) ^ 2 ) ) )
3635oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  C ) ^
2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  D ) ^
2 ) )  =  ( ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  D ) ^
2 ) ) )
3736oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T , 
0 ) )  x.  ( ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  C ) ^
2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  D ) ^
2 ) ) )  =  ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  ( ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  D ) ^
2 ) ) ) )
3832, 37oveq12d 5876 . . 3  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( ( ( ( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T , 
0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  C ) )  -  D ) ^ 2 )  +  ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  ( ( if ( T  e.  CC ,  T , 
0 )  x.  (
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  C ) ^ 2 ) )  -  (
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  D ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) )  -  D ) ^ 2 )  +  ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T , 
0 ) )  x.  ( ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  D ) ^
2 ) ) ) ) )
3928, 38eqeq12d 2297 . 2  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( C  -  D ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T , 
0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  C ) )  -  D ) ^ 2 )  +  ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  ( ( if ( T  e.  CC ,  T , 
0 )  x.  (
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  C ) ^ 2 ) )  -  (
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  D ) ^ 2 ) ) ) )  <-> 
( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -  D ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T , 
0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  if ( C  e.  CC ,  C , 
0 ) ) )  -  D ) ^
2 )  +  ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  ( ( if ( T  e.  CC ,  T , 
0 )  x.  (
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  -  D
) ^ 2 ) ) ) ) ) )
40 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -  D )  =  ( if ( C  e.  CC ,  C , 
0 )  -  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) )
4140oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -  D ) ^
2 )  =  ( ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) ^ 2 ) )
4241oveq2d 5874 . . 3  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -  D ) ^
2 ) )  =  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) ^ 2 ) ) )
43 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( ( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) )  -  D )  =  ( ( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) )  -  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) )
4443oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( ( ( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) )  -  D ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) )  -  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) ^ 2 ) )
45 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  D )  =  ( if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  -  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) )
4645oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  D ) ^
2 )  =  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) ^ 2 ) )
4746oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  D ) ^
2 ) )  =  ( ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) ^ 2 ) ) )
4847oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T , 
0 ) )  x.  ( ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  D ) ^
2 ) ) )  =  ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  ( ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) ^ 2 ) ) ) )
4944, 48oveq12d 5876 . . 3  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( ( ( ( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T , 
0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  if ( C  e.  CC ,  C , 
0 ) ) )  -  D ) ^
2 )  +  ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  ( ( if ( T  e.  CC ,  T , 
0 )  x.  (
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  -  D
) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T , 
0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  if ( C  e.  CC ,  C , 
0 ) ) )  -  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) ^ 2 )  +  ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T , 
0 ) )  x.  ( ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
5042, 49eqeq12d 2297 . 2  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -  D ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T , 
0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  if ( C  e.  CC ,  C , 
0 ) ) )  -  D ) ^
2 )  +  ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  ( ( if ( T  e.  CC ,  T , 
0 )  x.  (
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  -  D
) ^ 2 ) ) ) )  <->  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) )  -  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) ^ 2 )  +  ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  ( ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
51 0cn 8831 . . . 4  |-  0  e.  CC
5251elimel 3617 . . 3  |-  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  e.  CC
5351elimel 3617 . . 3  |-  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  e.  CC
5451elimel 3617 . . 3  |-  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  e.  CC
5551elimel 3617 . . 3  |-  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  e.  CC
5652, 53, 54, 55ax5seglem7 24563 . 2  |-  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) )  -  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) ^ 2 )  +  ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  ( ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) ^ 2 ) ) ) )
5713, 25, 39, 50, 56dedth4h 3609 1  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  T  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( T  x.  (
( C  -  D
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A )  +  ( T  x.  C
) )  -  D
) ^ 2 )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( ( A  -  C ) ^ 2 ) )  -  (
( A  -  D
) ^ 2 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   ifcif 3565  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    - cmin 9037   2c2 9795   ^cexp 11104
This theorem is referenced by:  ax5seglem9  24565
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-seq 11047  df-exp 11105
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