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Theorem ax9lem15 29776
Description: Change free variable without using sp 1728, ax9 1902, or ax10 1897. (Contributed by NM, 7-Aug-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ax9lem15.a  |-  -.  A. w  -.  w  =  x
ax9lem15.b  |-  -.  A. x  -.  x  =  z
ax9lem15.c  |-  -.  A. x  -.  x  =  w
Assertion
Ref Expression
ax9lem15  |-  ( A. x  x  =  y  ->  A. x  x  =  z )
Distinct variable groups:    x, w, y    z, w, x

Proof of Theorem ax9lem15
StepHypRef Expression
1 ax9lem15.a . . . 4  |-  -.  A. w  -.  w  =  x
2 ax9lem15.c . . . 4  |-  -.  A. x  -.  x  =  w
3 hbe1 1717 . . . 4  |-  ( E. x  -.  x  =  y  ->  A. x E. x  -.  x  =  y )
41ax9lem1 29762 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  y  =  x )
5 ax9lem15.b . . . . . . . . . 10  |-  -.  A. x  -.  x  =  z
65ax9lem1 29762 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  y  =  z )
7 ax-8 1661 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
y  =  z  ->  x  =  z )
)
84, 6, 7syl2im 34 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
z  =  y  ->  x  =  z )
)
98com12 27 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
x  =  y  ->  x  =  z )
)
109con3rr3 128 . . . . . 6  |-  ( -.  x  =  z  -> 
( z  =  y  ->  -.  x  =  y ) )
111, 2ax9lem3 29764 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  -.  -.  x  =  y  ->  -.  -.  x  =  y )
1211con2i 112 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  =  y  ->  -.  A. x  -.  -.  x  =  y )
13 df-ex 1532 . . . . . . 7  |-  ( E. x  -.  x  =  y  <->  -.  A. x  -.  -.  x  =  y )
1412, 13sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( -.  x  =  y  ->  E. x  -.  x  =  y )
1510, 14syl6 29 . . . . 5  |-  ( -.  x  =  z  -> 
( z  =  y  ->  E. x  -.  x  =  y ) )
16 ax-8 1661 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  y  -> 
z  =  y ) )
1716con3d 125 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  ( -.  z  =  y  ->  -.  x  =  y ) )
18 ax-17 1606 . . . . . 6  |-  ( -.  z  =  y  ->  A. x  -.  z  =  y )
191, 2, 5, 17, 18ax9lem12 29773 . . . . 5  |-  ( -.  z  =  y  ->  E. x  -.  x  =  y )
2015, 19pm2.61d1 151 . . . 4  |-  ( -.  x  =  z  ->  E. x  -.  x  =  y )
211, 2, 3, 20ax9lem11 29772 . . 3  |-  ( E. x  -.  x  =  z  ->  E. x  -.  x  =  y
)
22 exnal 1564 . . 3  |-  ( E. x  -.  x  =  z  <->  -.  A. x  x  =  z )
23 exnal 1564 . . 3  |-  ( E. x  -.  x  =  y  <->  -.  A. x  x  =  y )
2421, 22, 233imtr3i 256 . 2  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  -.  A. x  x  =  y )
2524con4i 122 1  |-  ( A. x  x  =  y  ->  A. x  x  =  z )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   A.wal 1530   E.wex 1531
This theorem is referenced by:  ax9lem16  29777
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-11 1727
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-ex 1532
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