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Theorem ax9lem18 29157
Description: Lemma for ax9 1889. Similar to dveeq2 1880, without using sp 1716, ax9 1889, or ax10 1884. (Contributed by NM, 7-Aug-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ax9lem18.a  |-  -.  A. t  -.  t  =  u
ax9lem18.b  |-  -.  A. t  -.  t  =  v
ax9lem18.e  |-  -.  A. u  -.  u  =  x
ax9lem18.f  |-  -.  A. u  -.  u  =  w
ax9lem18.i  |-  -.  A. v  -.  v  =  x
ax9lem18.j  |-  -.  A. v  -.  v  =  w
ax9lem18.k  |-  -.  A. x  -.  x  =  t
ax9lem18.m  |-  -.  A. x  -.  x  =  v
ax9lem18.p  |-  -.  A. w  -.  w  =  t
ax9lem18.r  |-  -.  A. w  -.  w  =  v
ax9lem18.t  |-  -.  A. w  -.  w  =  y
ax9lem18.x  |-  -.  A. v  -.  v  =  z
Assertion
Ref Expression
ax9lem18  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( z  =  y  ->  A. x  z  =  y )
)
Distinct variable groups:    u, t,
v, w, z, x   
y, u, v, w

Proof of Theorem ax9lem18
StepHypRef Expression
1 ax9lem18.a . 2  |-  -.  A. t  -.  t  =  u
2 ax9lem18.b . 2  |-  -.  A. t  -.  t  =  v
3 ax9lem18.e . 2  |-  -.  A. u  -.  u  =  x
4 ax9lem18.f . 2  |-  -.  A. u  -.  u  =  w
5 ax9lem18.i . 2  |-  -.  A. v  -.  v  =  x
6 ax9lem18.j . 2  |-  -.  A. v  -.  v  =  w
7 ax9lem18.k . 2  |-  -.  A. x  -.  x  =  t
8 ax9lem18.m . 2  |-  -.  A. x  -.  x  =  v
9 ax9lem18.p . 2  |-  -.  A. w  -.  w  =  t
10 ax9lem18.r . 2  |-  -.  A. w  -.  w  =  v
11 ax9lem18.t . 2  |-  -.  A. w  -.  w  =  y
12 ax9lem18.x . . 3  |-  -.  A. v  -.  v  =  z
1312, 6ax9lem2 29141 . 2  |-  ( w  =  y  ->  (
z  =  w  <->  z  =  y ) )
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13ax9lem17 29156 1  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( z  =  y  ->  A. x  z  =  y )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   A.wal 1527
This theorem is referenced by:  ax9vax9  29158
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-an 360  df-ex 1529
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