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Theorem ax9lem6 29145
Description: Lemma for ax9 1889. Helps reduce the number of hypotheses. (Contributed by NM, 7-Aug-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ax9lem6.a  |-  -.  A. w  -.  w  =  x
ax9lem6.c  |-  -.  A. x  -.  x  =  w
ax9lem6.d  |-  -.  A. x  -.  x  =  y
ax9lem6.e  |-  -.  A. y  -.  y  =  z
Assertion
Ref Expression
ax9lem6  |-  -.  A. x  -.  x  =  z
Distinct variable group:    x, w, y, z

Proof of Theorem ax9lem6
StepHypRef Expression
1 ax9lem6.e . 2  |-  -.  A. y  -.  y  =  z
2 ax-17 1603 . . . 4  |-  ( A. x  -.  x  =  z  ->  A. y A. x  -.  x  =  z
)
3 ax9lem6.a . . . . 5  |-  -.  A. w  -.  w  =  x
4 ax9lem6.c . . . . 5  |-  -.  A. x  -.  x  =  w
5 ax9lem6.d . . . . 5  |-  -.  A. x  -.  x  =  y
6 ax-17 1603 . . . . 5  |-  ( -.  y  =  z  ->  A. x  -.  y  =  z )
73ax9lem1 29140 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  y  =  x )
8 ax-8 1643 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
y  =  z  ->  x  =  z )
)
97, 8syl 15 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
y  =  z  ->  x  =  z )
)
109con3d 125 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  x  =  z  ->  -.  y  =  z ) )
113, 4, 5, 6, 10ax9lem5 29144 . . . 4  |-  ( A. x  -.  x  =  z  ->  -.  y  =  z )
122, 11alrimih 1552 . . 3  |-  ( A. x  -.  x  =  z  ->  A. y  -.  y  =  z )
1312con3i 127 . 2  |-  ( -. 
A. y  -.  y  =  z  ->  -.  A. x  -.  x  =  z )
141, 13ax-mp 8 1  |-  -.  A. x  -.  x  =  z
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   A.wal 1527
This theorem is referenced by:  ax9lem16  29155  ax9lem17  29156  ax9vax9  29158
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-11 1715
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