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Theorem axacnd 8324
Description: A version of the Axiom of Choice with no distinct variable conditions. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 3-Jan-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
axacnd  |-  E. x A. y A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )

Proof of Theorem axacnd
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axacndlem5 8323 . . . 4  |-  E. x A. y A. v ( A. x ( y  e.  v  /\  v  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  v  /\  v  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )
2 nfnae 1961 . . . . . 6  |-  F/ x  -.  A. z  z  =  x
3 nfnae 1961 . . . . . 6  |-  F/ x  -.  A. z  z  =  y
4 nfnae 1961 . . . . . 6  |-  F/ x  -.  A. z  z  =  w
52, 3, 4nf3an 1832 . . . . 5  |-  F/ x
( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z  z  =  w
)
6 nfnae 1961 . . . . . . 7  |-  F/ y  -.  A. z  z  =  x
7 nfnae 1961 . . . . . . 7  |-  F/ y  -.  A. z  z  =  y
8 nfnae 1961 . . . . . . 7  |-  F/ y  -.  A. z  z  =  w
96, 7, 8nf3an 1832 . . . . . 6  |-  F/ y ( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z  z  =  w
)
10 nfnae 1961 . . . . . . . 8  |-  F/ z  -.  A. z  z  =  x
11 nfnae 1961 . . . . . . . 8  |-  F/ z  -.  A. z  z  =  y
12 nfnae 1961 . . . . . . . 8  |-  F/ z  -.  A. z  z  =  w
1310, 11, 12nf3an 1832 . . . . . . 7  |-  F/ z ( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z  z  =  w
)
14 nfcvf 2516 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
A. z  z  =  y  ->  F/_ z y )
15143ad2ant2 977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/_ z y )
16 nfcvd 2495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/_ z v )
1715, 16nfeld 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/ z  y  e.  v )
18 nfcvf 2516 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
A. z  z  =  w  ->  F/_ z w )
19183ad2ant3 978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/_ z w )
2016, 19nfeld 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/ z  v  e.  w )
2117, 20nfand 1826 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/ z ( y  e.  v  /\  v  e.  w )
)
225, 21nfald 1857 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/ z A. x ( y  e.  v  /\  v  e.  w ) )
23 nfnae 1961 . . . . . . . . . 10  |-  F/ w  -.  A. z  z  =  x
24 nfnae 1961 . . . . . . . . . 10  |-  F/ w  -.  A. z  z  =  y
25 nfnae 1961 . . . . . . . . . 10  |-  F/ w  -.  A. z  z  =  w
2623, 24, 25nf3an 1832 . . . . . . . . 9  |-  F/ w
( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z  z  =  w
)
2715, 19nfeld 2509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/ z  y  e.  w )
28 nfcvf 2516 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  ->  F/_ z x )
29283ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/_ z x )
3019, 29nfeld 2509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/ z  w  e.  x )
3127, 30nfand 1826 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/ z ( y  e.  w  /\  w  e.  x )
)
3221, 31nfand 1826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/ z ( ( y  e.  v  /\  v  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) ) )
3326, 32nfexd 1859 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/ z E. w ( ( y  e.  v  /\  v  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
) )
3415, 19nfeqd 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/ z  y  =  w )
3533, 34nfbid 1837 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/ z ( E. w ( ( y  e.  v  /\  v  e.  w )  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x
) )  <->  y  =  w ) )
369, 35nfald 1857 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/ z A. y ( E. w
( ( y  e.  v  /\  v  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )
3726, 36nfexd 1859 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/ z E. w A. y ( E. w ( ( y  e.  v  /\  v  e.  w )  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x
) )  <->  y  =  w ) )
3822, 37nfimd 1810 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/ z ( A. x ( y  e.  v  /\  v  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  v  /\  v  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
39 nfcvd 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/_ x v )
40 nfcvf2 2517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  ->  F/_ x z )
41403ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/_ x z )
4239, 41nfeqd 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/ x  v  =  z )
435, 42nfan1 1828 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z  z  =  w )  /\  v  =  z )
44 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z  z  =  w
)  /\  v  =  z )  ->  v  =  z )
4544eleq2d 2425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z  z  =  w
)  /\  v  =  z )  ->  (
y  e.  v  <->  y  e.  z ) )
4644eleq1d 2424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z  z  =  w
)  /\  v  =  z )  ->  (
v  e.  w  <->  z  e.  w ) )
4745, 46anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z  z  =  w
)  /\  v  =  z )  ->  (
( y  e.  v  /\  v  e.  w
)  <->  ( y  e.  z  /\  z  e.  w ) ) )
4843, 47albid 1773 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z  z  =  w
)  /\  v  =  z )  ->  ( A. x ( y  e.  v  /\  v  e.  w )  <->  A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
) ) )
49 nfcvd 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/_ w v )
50 nfcvf2 2517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -. 
A. z  z  =  w  ->  F/_ w z )
51503ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/_ w z )
5249, 51nfeqd 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/ w  v  =  z )
5326, 52nfan1 1828 . . . . . . . . . 10  |-  F/ w
( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z  z  =  w )  /\  v  =  z )
54 nfcvd 2495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/_ y v )
55 nfcvf2 2517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -. 
A. z  z  =  y  ->  F/_ y z )
56553ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/_ y z )
5754, 56nfeqd 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/ y  v  =  z )
589, 57nfan1 1828 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z  z  =  w )  /\  v  =  z )
5947anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z  z  =  w
)  /\  v  =  z )  ->  (
( ( y  e.  v  /\  v  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
) ) )
6053, 59exbid 1774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z  z  =  w
)  /\  v  =  z )  ->  ( E. w ( ( y  e.  v  /\  v  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x
) ) ) )
6160bibi1d 310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z  z  =  w
)  /\  v  =  z )  ->  (
( E. w ( ( y  e.  v  /\  v  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  y  =  w )  <->  ( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
6258, 61albid 1773 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z  z  =  w
)  /\  v  =  z )  ->  ( A. y ( E. w
( ( y  e.  v  /\  v  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w )  <->  A. y ( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
6353, 62exbid 1774 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z  z  =  w
)  /\  v  =  z )  ->  ( E. w A. y ( E. w ( ( y  e.  v  /\  v  e.  w )  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x
) )  <->  y  =  w )  <->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
6448, 63imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z  z  =  w
)  /\  v  =  z )  ->  (
( A. x ( y  e.  v  /\  v  e.  w )  ->  E. w A. y
( E. w ( ( y  e.  v  /\  v  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  y  =  w ) )  <->  ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) ) )
6564ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  ( v  =  z  ->  ( ( A. x ( y  e.  v  /\  v  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  v  /\  v  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )  <->  ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) ) ) )
6613, 38, 65cbvald 2013 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  ( A. v
( A. x ( y  e.  v  /\  v  e.  w )  ->  E. w A. y
( E. w ( ( y  e.  v  /\  v  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  y  =  w ) )  <->  A. z
( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y
( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  y  =  w ) ) ) )
679, 66albid 1773 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  ( A. y A. v ( A. x
( y  e.  v  /\  v  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  v  /\  v  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )  <->  A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) ) )
685, 67exbid 1774 . . . 4  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  ( E. x A. y A. v ( A. x ( y  e.  v  /\  v  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  v  /\  v  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )  <->  E. x A. y A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) ) )
691, 68mpbii 202 . . 3  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  E. x A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
70693exp 1150 . 2  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  ->  ( -.  A. z  z  =  y  ->  ( -.  A. z  z  =  w  ->  E. x A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) ) ) )
71 axacndlem2 8320 . . 3  |-  ( A. x  x  =  z  ->  E. x A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
7271aecoms 1952 . 2  |-  ( A. z  z  =  x  ->  E. x A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
73 axacndlem3 8321 . . 3  |-  ( A. y  y  =  z  ->  E. x A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
7473aecoms 1952 . 2  |-  ( A. z  z  =  y  ->  E. x A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
75 nfae 1959 . . . 4  |-  F/ y A. z  z  =  w
76 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  z  e.  w )
7776alimi 1559 . . . . . 6  |-  ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  A. x  z  e.  w )
78 nd3 8301 . . . . . . 7  |-  ( A. z  z  =  w  ->  -.  A. x  z  e.  w )
7978pm2.21d 98 . . . . . 6  |-  ( A. z  z  =  w  ->  ( A. x  z  e.  w  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
8077, 79syl5 28 . . . . 5  |-  ( A. z  z  =  w  ->  ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y
( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  y  =  w ) ) )
8180a5i 1790 . . . 4  |-  ( A. z  z  =  w  ->  A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
8275, 81alrimi 1766 . . 3  |-  ( A. z  z  =  w  ->  A. y A. z
( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y
( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  y  =  w ) ) )
83 19.8a 1747 . . 3  |-  ( A. y A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )  ->  E. x A. y A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
8482, 83syl 15 . 2  |-  ( A. z  z  =  w  ->  E. x A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
8570, 72, 74, 84pm2.61iii 159 1  |-  E. x A. y A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1540   E.wex 1541    = wceq 1642    e. wcel 1710   F/_wnfc 2481
This theorem is referenced by:  zfcndac  8331  axacprim  24457
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pr 4295  ax-reg 7396  ax-ac 8175
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-br 4105  df-opab 4159  df-eprel 4387  df-fr 4434
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