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Theorem axacndlem1 8229
Description: Lemma for the Axiom of Choice with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 3-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
axacndlem1  |-  ( A. x  x  =  y  ->  E. x A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )

Proof of Theorem axacndlem1
StepHypRef Expression
1 nfae 1894 . . 3  |-  F/ y A. x  x  =  y
2 nfae 1894 . . . 4  |-  F/ z A. x  x  =  y
3 simpl 443 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  y  e.  z )
43alimi 1546 . . . . 5  |-  ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  A. x  y  e.  z )
5 nd1 8209 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  y  ->  -.  A. x  y  e.  z )
65pm2.21d 98 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( A. x  y  e.  z  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
74, 6syl5 28 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y
( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  y  =  w ) ) )
82, 7alrimi 1745 . . 3  |-  ( A. x  x  =  y  ->  A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
91, 8alrimi 1745 . 2  |-  ( A. x  x  =  y  ->  A. y A. z
( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y
( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  y  =  w ) ) )
10 19.8a 1718 . 2  |-  ( A. y A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )  ->  E. x A. y A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
119, 10syl 15 1  |-  ( A. x  x  =  y  ->  E. x A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684
This theorem is referenced by:  axacndlem4  8232  axacndlem5  8233
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-reg 7306
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-nul 3456  df-sn 3646  df-pr 3647
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