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Theorem axacndlem5 8249
Description: Lemma for the Axiom of Choice with no distinct variable conditions. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 3-Jan-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
axacndlem5  |-  E. x A. y A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )
Distinct variable group:    z, w

Proof of Theorem axacndlem5
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axacndlem4 8248 . . . 4  |-  E. x A. v A. z ( A. x ( v  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. v ( E. w
( ( v  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
v  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  v  =  w ) )
2 nfnae 1909 . . . . . 6  |-  F/ x  -.  A. y  y  =  z
3 nfnae 1909 . . . . . 6  |-  F/ x  -.  A. y  y  =  x
4 nfnae 1909 . . . . . 6  |-  F/ x  -.  A. y  y  =  w
52, 3, 4nf3an 1786 . . . . 5  |-  F/ x
( -.  A. y 
y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  w
)
6 nfnae 1909 . . . . . . 7  |-  F/ y  -.  A. y  y  =  z
7 nfnae 1909 . . . . . . 7  |-  F/ y  -.  A. y  y  =  x
8 nfnae 1909 . . . . . . 7  |-  F/ y  -.  A. y  y  =  w
96, 7, 8nf3an 1786 . . . . . 6  |-  F/ y ( -.  A. y 
y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  w
)
10 nfnae 1909 . . . . . . . 8  |-  F/ z  -.  A. y  y  =  z
11 nfnae 1909 . . . . . . . 8  |-  F/ z  -.  A. y  y  =  x
12 nfnae 1909 . . . . . . . 8  |-  F/ z  -.  A. y  y  =  w
1310, 11, 12nf3an 1786 . . . . . . 7  |-  F/ z ( -.  A. y 
y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  w
)
14 nfcvd 2433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/_ y v )
15 nfcvf 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/_ y z )
16153ad2ant1 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/_ y z )
1714, 16nfeld 2447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/ y  v  e.  z )
18 nfcvf 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
A. y  y  =  w  ->  F/_ y w )
19183ad2ant3 978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/_ y w )
2016, 19nfeld 2447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/ y  z  e.  w )
2117, 20nfand 1775 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/ y ( v  e.  z  /\  z  e.  w )
)
225, 21nfald 1787 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/ y A. x ( v  e.  z  /\  z  e.  w ) )
23 nfnae 1909 . . . . . . . . . 10  |-  F/ w  -.  A. y  y  =  z
24 nfnae 1909 . . . . . . . . . 10  |-  F/ w  -.  A. y  y  =  x
25 nfnae 1909 . . . . . . . . . 10  |-  F/ w  -.  A. y  y  =  w
2623, 24, 25nf3an 1786 . . . . . . . . 9  |-  F/ w
( -.  A. y 
y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  w
)
27 nfv 1609 . . . . . . . . . 10  |-  F/ v ( -.  A. y 
y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  w
)
2814, 19nfeld 2447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/ y  v  e.  w )
29 nfcvf 2454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  F/_ y x )
30293ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/_ y x )
3119, 30nfeld 2447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/ y  w  e.  x )
3228, 31nfand 1775 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/ y ( v  e.  w  /\  w  e.  x )
)
3321, 32nfand 1775 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/ y ( ( v  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( v  e.  w  /\  w  e.  x ) ) )
3426, 33nfexd 1788 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/ y E. w ( ( v  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
v  e.  w  /\  w  e.  x )
) )
3514, 19nfeqd 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/ y  v  =  w )
3634, 35nfbid 1774 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/ y ( E. w ( ( v  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  ( v  e.  w  /\  w  e.  x
) )  <->  v  =  w ) )
3727, 36nfald 1787 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/ y A. v ( E. w
( ( v  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
v  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  v  =  w ) )
3826, 37nfexd 1788 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/ y E. w A. v ( E. w ( ( v  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  ( v  e.  w  /\  w  e.  x
) )  <->  v  =  w ) )
3922, 38nfimd 1773 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/ y ( A. x ( v  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. v ( E. w
( ( v  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
v  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  v  =  w ) ) )
4013, 39nfald 1787 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/ y A. z ( A. x
( v  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. v ( E. w
( ( v  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
v  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  v  =  w ) ) )
41 nfcvd 2433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/_ z v )
42 nfcvf2 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/_ z y )
43423ad2ant1 976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/_ z y )
4441, 43nfeqd 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/ z  v  =  y )
4513, 44nfan1 1834 . . . . . . . 8  |-  F/ z ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  w )  /\  v  =  y )
46 nfcvd 2433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/_ x v )
47 nfcvf2 2455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  F/_ x y )
48473ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/_ x y )
4946, 48nfeqd 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/ x  v  =  y )
505, 49nfan1 1834 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  w )  /\  v  =  y )
51 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  w
)  /\  v  =  y )  ->  v  =  y )
5251eleq1d 2362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  w
)  /\  v  =  y )  ->  (
v  e.  z  <->  y  e.  z ) )
5352anbi1d 685 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  w
)  /\  v  =  y )  ->  (
( v  e.  z  /\  z  e.  w
)  <->  ( y  e.  z  /\  z  e.  w ) ) )
5450, 53albid 1764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  w
)  /\  v  =  y )  ->  ( A. x ( v  e.  z  /\  z  e.  w )  <->  A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
) ) )
55 nfcvd 2433 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/_ w v )
56 nfcvf2 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -. 
A. y  y  =  w  ->  F/_ w y )
57563ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/_ w y )
5855, 57nfeqd 2446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/ w  v  =  y )
5926, 58nfan1 1834 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ w
( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  w )  /\  v  =  y )
6051eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  w
)  /\  v  =  y )  ->  (
v  e.  w  <->  y  e.  w ) )
6160anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  w
)  /\  v  =  y )  ->  (
( v  e.  w  /\  w  e.  x
)  <->  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) ) )
6253, 61anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  w
)  /\  v  =  y )  ->  (
( ( v  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
v  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
) ) )
6359, 62exbid 1765 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  w
)  /\  v  =  y )  ->  ( E. w ( ( v  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
v  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x
) ) ) )
6451eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  w
)  /\  v  =  y )  ->  (
v  =  w  <->  y  =  w ) )
6563, 64bibi12d 312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  w
)  /\  v  =  y )  ->  (
( E. w ( ( v  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( v  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  v  =  w )  <->  ( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
6665ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  ( v  =  y  ->  ( ( E. w ( ( v  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
v  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  v  =  w )  <->  ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) ) )
679, 36, 66cbvald 1961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  ( A. v
( E. w ( ( v  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( v  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  v  =  w )  <->  A. y
( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  y  =  w ) ) )
6826, 67exbid 1765 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  ( E. w A. v ( E. w
( ( v  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
v  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  v  =  w )  <->  E. w A. y
( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  y  =  w ) ) )
6968adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  w
)  /\  v  =  y )  ->  ( E. w A. v ( E. w ( ( v  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  ( v  e.  w  /\  w  e.  x
) )  <->  v  =  w )  <->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
7054, 69imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  w
)  /\  v  =  y )  ->  (
( A. x ( v  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. v
( E. w ( ( v  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( v  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  v  =  w ) )  <->  ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) ) )
7145, 70albid 1764 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  w
)  /\  v  =  y )  ->  ( A. z ( A. x
( v  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. v ( E. w
( ( v  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
v  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  v  =  w ) )  <->  A. z
( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y
( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  y  =  w ) ) ) )
7271ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  ( v  =  y  ->  ( A. z ( A. x
( v  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. v ( E. w
( ( v  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
v  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  v  =  w ) )  <->  A. z
( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y
( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  y  =  w ) ) ) ) )
739, 40, 72cbvald 1961 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  ( A. v A. z ( A. x
( v  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. v ( E. w
( ( v  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
v  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  v  =  w ) )  <->  A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) ) )
745, 73exbid 1765 . . . 4  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  ( E. x A. v A. z ( A. x ( v  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. v ( E. w
( ( v  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
v  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  v  =  w ) )  <->  E. x A. y A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) ) )
751, 74mpbii 202 . . 3  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  E. x A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
76753exp 1150 . 2  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( -.  A. y  y  =  x  ->  ( -.  A. y  y  =  w  ->  E. x A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) ) ) )
77 axacndlem3 8247 . 2  |-  ( A. y  y  =  z  ->  E. x A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
78 axacndlem1 8245 . . 3  |-  ( A. x  x  =  y  ->  E. x A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
7978aecoms 1900 . 2  |-  ( A. y  y  =  x  ->  E. x A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
80 nfae 1907 . . . . 5  |-  F/ z A. y  y  =  w
81 en2lp 7333 . . . . . . . . 9  |-  -.  (
y  e.  z  /\  z  e.  y )
82 elequ2 1701 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  w  ->  (
z  e.  y  <->  z  e.  w ) )
8382anbi2d 684 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  w  ->  (
( y  e.  z  /\  z  e.  y )  <->  ( y  e.  z  /\  z  e.  w ) ) )
8481, 83mtbii 293 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  w  ->  -.  ( y  e.  z  /\  z  e.  w
) )
8584sps 1751 . . . . . . 7  |-  ( A. y  y  =  w  ->  -.  ( y  e.  z  /\  z  e.  w ) )
8685pm2.21d 98 . . . . . 6  |-  ( A. y  y  =  w  ->  ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
8786spsd 1752 . . . . 5  |-  ( A. y  y  =  w  ->  ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y
( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  y  =  w ) ) )
8880, 87alrimi 1757 . . . 4  |-  ( A. y  y  =  w  ->  A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
8988a5i 1770 . . 3  |-  ( A. y  y  =  w  ->  A. y A. z
( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y
( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  y  =  w ) ) )
90 19.8a 1730 . . 3  |-  ( A. y A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )  ->  E. x A. y A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
9189, 90syl 15 . 2  |-  ( A. y  y  =  w  ->  E. x A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
9276, 77, 79, 91pm2.61iii 159 1  |-  E. x A. y A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1530   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   F/_wnfc 2419
This theorem is referenced by:  axacnd  8250
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-reg 7322  ax-ac 8101
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-br 4040  df-opab 4094  df-eprel 4321  df-fr 4368
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