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Theorem axacprim 25161
Description: ax-ac 8344 without distinct variable conditions or defined symbols. (New usage is discouraged.) (Contributed by Scott Fenton, 26-Oct-2010.)
Assertion
Ref Expression
axacprim  |-  -.  A. x  -.  A. y A. z ( A. x  -.  ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  w )  ->  -.  A. w  -.  A. y  -.  ( ( -.  A. w ( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x )
) )  ->  y  =  w )  ->  -.  ( y  =  w  ->  -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem axacprim
StepHypRef Expression
1 axacnd 8492 . 2  |-  E. x A. y A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )
2 df-an 362 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  <->  -.  ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  w ) )
32albii 1576 . . . . . 6  |-  ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  <->  A. x  -.  ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  w ) )
4 anass 632 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  ( y  e.  z  /\  (
z  e.  w  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x
) ) ) )
5 annim 416 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  w  /\  -.  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) )  <->  -.  (
z  e.  w  -> 
( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) )
6 pm4.63 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
)  <->  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) )
76anbi2i 677 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  w  /\  -.  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) )  <->  ( z  e.  w  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
) )
85, 7bitr3i 244 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) )  <->  ( z  e.  w  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
) )
98anbi2i 677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  z  /\  -.  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) )  <->  ( y  e.  z  /\  (
z  e.  w  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x
) ) ) )
10 annim 416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  z  /\  -.  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) )  <->  -.  (
y  e.  z  -> 
( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) ) )
114, 9, 103bitr2i 266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  -.  (
y  e.  z  -> 
( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) ) )
1211exbii 1593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  E. w  -.  (
y  e.  z  -> 
( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) ) )
13 exnal 1584 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. w  -.  ( y  e.  z  ->  (
z  e.  w  -> 
( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) )  <->  -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) ) )
1412, 13bitri 242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) ) )
1514bibi1i 307 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x
) )  <->  y  =  w )  <->  ( -.  A. w ( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x )
) )  <->  y  =  w ) )
16 dfbi1 186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. w ( y  e.  z  -> 
( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) )  <->  y  =  w )  <->  -.  (
( -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) )  ->  y  =  w )  ->  -.  (
y  =  w  ->  -.  A. w ( y  e.  z  ->  (
z  e.  w  -> 
( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) ) ) ) )
1715, 16bitri 242 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x
) )  <->  y  =  w )  <->  -.  (
( -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) )  ->  y  =  w )  ->  -.  (
y  =  w  ->  -.  A. w ( y  e.  z  ->  (
z  e.  w  -> 
( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) ) ) ) )
1817albii 1576 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w )  <->  A. y  -.  (
( -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) )  ->  y  =  w )  ->  -.  (
y  =  w  ->  -.  A. w ( y  e.  z  ->  (
z  e.  w  -> 
( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) ) ) ) )
1918exbii 1593 . . . . . . 7  |-  ( E. w A. y ( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x
) )  <->  y  =  w )  <->  E. w A. y  -.  (
( -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) )  ->  y  =  w )  ->  -.  (
y  =  w  ->  -.  A. w ( y  e.  z  ->  (
z  e.  w  -> 
( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) ) ) ) )
20 df-ex 1552 . . . . . . 7  |-  ( E. w A. y  -.  ( ( -.  A. w ( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x )
) )  ->  y  =  w )  ->  -.  ( y  =  w  ->  -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) ) ) )  <->  -.  A. w  -.  A. y  -.  (
( -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) )  ->  y  =  w )  ->  -.  (
y  =  w  ->  -.  A. w ( y  e.  z  ->  (
z  e.  w  -> 
( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) ) ) ) )
2119, 20bitri 242 . . . . . 6  |-  ( E. w A. y ( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x
) )  <->  y  =  w )  <->  -.  A. w  -.  A. y  -.  (
( -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) )  ->  y  =  w )  ->  -.  (
y  =  w  ->  -.  A. w ( y  e.  z  ->  (
z  e.  w  -> 
( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) ) ) ) )
223, 21imbi12i 318 . . . . 5  |-  ( ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )  <->  ( A. x  -.  ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  w )  ->  -.  A. w  -.  A. y  -.  ( ( -.  A. w ( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x )
) )  ->  y  =  w )  ->  -.  ( y  =  w  ->  -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) ) ) ) ) )
23222albii 1577 . . . 4  |-  ( A. y A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )  <->  A. y A. z ( A. x  -.  ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  w )  ->  -.  A. w  -.  A. y  -.  ( ( -.  A. w ( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x )
) )  ->  y  =  w )  ->  -.  ( y  =  w  ->  -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) ) ) ) ) )
2423exbii 1593 . . 3  |-  ( E. x A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )  <->  E. x A. y A. z ( A. x  -.  (
y  e.  z  ->  -.  z  e.  w
)  ->  -.  A. w  -.  A. y  -.  (
( -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) )  ->  y  =  w )  ->  -.  (
y  =  w  ->  -.  A. w ( y  e.  z  ->  (
z  e.  w  -> 
( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) ) ) ) ) )
25 df-ex 1552 . . 3  |-  ( E. x A. y A. z ( A. x  -.  ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  w )  ->  -.  A. w  -.  A. y  -.  ( ( -.  A. w ( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x )
) )  ->  y  =  w )  ->  -.  ( y  =  w  ->  -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) ) ) ) )  <->  -.  A. x  -.  A. y A. z
( A. x  -.  ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  w )  ->  -.  A. w  -.  A. y  -.  ( ( -.  A. w ( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x )
) )  ->  y  =  w )  ->  -.  ( y  =  w  ->  -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) ) ) ) ) )
2624, 25bitri 242 . 2  |-  ( E. x A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )  <->  -.  A. x  -.  A. y A. z
( A. x  -.  ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  w )  ->  -.  A. w  -.  A. y  -.  ( ( -.  A. w ( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x )
) )  ->  y  =  w )  ->  -.  ( y  =  w  ->  -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) ) ) ) ) )
271, 26mpbi 201 1  |-  -.  A. x  -.  A. y A. z ( A. x  -.  ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  w )  ->  -.  A. w  -.  A. y  -.  ( ( -.  A. w ( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x )
) )  ->  y  =  w )  ->  -.  ( y  =  w  ->  -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1550   E.wex 1551
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pr 4406  ax-reg 7563  ax-ac 8344
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-br 4216  df-opab 4270  df-eprel 4497  df-fr 4544
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