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Theorem axacprim 24053
Description: ax-ac 8085 without distinct variable conditions or defined symbols. (New usage is discouraged.) (Contributed by Scott Fenton, 26-Oct-2010.)
Assertion
Ref Expression
axacprim  |-  -.  A. x  -.  A. y A. z ( A. x  -.  ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  w )  ->  -.  A. w  -.  A. y  -.  ( ( -.  A. w ( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x )
) )  ->  y  =  w )  ->  -.  ( y  =  w  ->  -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem axacprim
StepHypRef Expression
1 axacnd 8234 . 2  |-  E. x A. y A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )
2 df-an 360 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  <->  -.  ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  w ) )
32albii 1553 . . . . . 6  |-  ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  <->  A. x  -.  ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  w ) )
4 anass 630 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  ( y  e.  z  /\  (
z  e.  w  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x
) ) ) )
5 annim 414 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  w  /\  -.  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) )  <->  -.  (
z  e.  w  -> 
( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) )
6 pm4.63 410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
)  <->  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) )
76anbi2i 675 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  w  /\  -.  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) )  <->  ( z  e.  w  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
) )
85, 7bitr3i 242 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) )  <->  ( z  e.  w  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
) )
98anbi2i 675 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  z  /\  -.  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) )  <->  ( y  e.  z  /\  (
z  e.  w  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x
) ) ) )
10 annim 414 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  z  /\  -.  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) )  <->  -.  (
y  e.  z  -> 
( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) ) )
114, 9, 103bitr2i 264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  -.  (
y  e.  z  -> 
( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) ) )
1211exbii 1569 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  E. w  -.  (
y  e.  z  -> 
( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) ) )
13 exnal 1561 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. w  -.  ( y  e.  z  ->  (
z  e.  w  -> 
( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) )  <->  -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) ) )
1412, 13bitri 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) ) )
1514bibi1i 305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x
) )  <->  y  =  w )  <->  ( -.  A. w ( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x )
) )  <->  y  =  w ) )
16 dfbi1 184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. w ( y  e.  z  -> 
( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) )  <->  y  =  w )  <->  -.  (
( -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) )  ->  y  =  w )  ->  -.  (
y  =  w  ->  -.  A. w ( y  e.  z  ->  (
z  e.  w  -> 
( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) ) ) ) )
1715, 16bitri 240 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x
) )  <->  y  =  w )  <->  -.  (
( -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) )  ->  y  =  w )  ->  -.  (
y  =  w  ->  -.  A. w ( y  e.  z  ->  (
z  e.  w  -> 
( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) ) ) ) )
1817albii 1553 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w )  <->  A. y  -.  (
( -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) )  ->  y  =  w )  ->  -.  (
y  =  w  ->  -.  A. w ( y  e.  z  ->  (
z  e.  w  -> 
( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) ) ) ) )
1918exbii 1569 . . . . . . 7  |-  ( E. w A. y ( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x
) )  <->  y  =  w )  <->  E. w A. y  -.  (
( -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) )  ->  y  =  w )  ->  -.  (
y  =  w  ->  -.  A. w ( y  e.  z  ->  (
z  e.  w  -> 
( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) ) ) ) )
20 df-ex 1529 . . . . . . 7  |-  ( E. w A. y  -.  ( ( -.  A. w ( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x )
) )  ->  y  =  w )  ->  -.  ( y  =  w  ->  -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) ) ) )  <->  -.  A. w  -.  A. y  -.  (
( -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) )  ->  y  =  w )  ->  -.  (
y  =  w  ->  -.  A. w ( y  e.  z  ->  (
z  e.  w  -> 
( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) ) ) ) )
2119, 20bitri 240 . . . . . 6  |-  ( E. w A. y ( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x
) )  <->  y  =  w )  <->  -.  A. w  -.  A. y  -.  (
( -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) )  ->  y  =  w )  ->  -.  (
y  =  w  ->  -.  A. w ( y  e.  z  ->  (
z  e.  w  -> 
( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) ) ) ) )
223, 21imbi12i 316 . . . . 5  |-  ( ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )  <->  ( A. x  -.  ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  w )  ->  -.  A. w  -.  A. y  -.  ( ( -.  A. w ( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x )
) )  ->  y  =  w )  ->  -.  ( y  =  w  ->  -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) ) ) ) ) )
23222albii 1554 . . . 4  |-  ( A. y A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )  <->  A. y A. z ( A. x  -.  ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  w )  ->  -.  A. w  -.  A. y  -.  ( ( -.  A. w ( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x )
) )  ->  y  =  w )  ->  -.  ( y  =  w  ->  -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) ) ) ) ) )
2423exbii 1569 . . 3  |-  ( E. x A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )  <->  E. x A. y A. z ( A. x  -.  (
y  e.  z  ->  -.  z  e.  w
)  ->  -.  A. w  -.  A. y  -.  (
( -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) )  ->  y  =  w )  ->  -.  (
y  =  w  ->  -.  A. w ( y  e.  z  ->  (
z  e.  w  -> 
( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) ) ) ) ) )
25 df-ex 1529 . . 3  |-  ( E. x A. y A. z ( A. x  -.  ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  w )  ->  -.  A. w  -.  A. y  -.  ( ( -.  A. w ( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x )
) )  ->  y  =  w )  ->  -.  ( y  =  w  ->  -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) ) ) ) )  <->  -.  A. x  -.  A. y A. z
( A. x  -.  ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  w )  ->  -.  A. w  -.  A. y  -.  ( ( -.  A. w ( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x )
) )  ->  y  =  w )  ->  -.  ( y  =  w  ->  -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) ) ) ) ) )
2624, 25bitri 240 . 2  |-  ( E. x A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )  <->  -.  A. x  -.  A. y A. z
( A. x  -.  ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  w )  ->  -.  A. w  -.  A. y  -.  ( ( -.  A. w ( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x )
) )  ->  y  =  w )  ->  -.  ( y  =  w  ->  -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) ) ) ) ) )
271, 26mpbi 199 1  |-  -.  A. x  -.  A. y A. z ( A. x  -.  ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  w )  ->  -.  A. w  -.  A. y  -.  ( ( -.  A. w ( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x )
) )  ->  y  =  w )  ->  -.  ( y  =  w  ->  -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-reg 7306  ax-ac 8085
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-eprel 4305  df-fr 4352
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