MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axaddf Unicode version

Theorem axaddf 8767
Description: Addition is an operation on the complex numbers. This theorem can be used as an alternate axiom for complex numbers in place of the less specific axaddcl 8773. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-addf 8816. (Contributed by NM, 8-Feb-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axaddf  |-  +  :
( CC  X.  CC )
--> CC

Proof of Theorem axaddf
Dummy variables  x  y  z  w  v  u  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 moeq 2941 . . . . . . . . 9  |-  E* z 
z  =  <. (
w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >.
21mosubop 4265 . . . . . . . 8  |-  E* z E. u E. f ( y  =  <. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. )
32mosubop 4265 . . . . . . 7  |-  E* z E. w E. v ( x  =  <. w ,  v >.  /\  E. u E. f ( y  =  <. u ,  f
>.  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )
)
4 anass 630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. )  <->  ( x  = 
<. w ,  v >.  /\  ( y  =  <. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. ) ) )
542exbii 1570 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. )  <->  E. u E. f
( x  =  <. w ,  v >.  /\  (
y  =  <. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. ) ) )
6 19.42vv 1848 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. u E. f ( x  =  <. w ,  v >.  /\  (
y  =  <. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. ) )  <->  ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  E. u E. f ( y  = 
<. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )
) )
75, 6bitri 240 . . . . . . . . 9  |-  ( E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. )  <->  ( x  = 
<. w ,  v >.  /\  E. u E. f
( y  =  <. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. ) ) )
872exbii 1570 . . . . . . . 8  |-  ( E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. )  <->  E. w E. v
( x  =  <. w ,  v >.  /\  E. u E. f ( y  =  <. u ,  f
>.  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )
) )
98mobii 2179 . . . . . . 7  |-  ( E* z E. w E. v E. u E. f
( ( x  = 
<. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )  <->  E* z E. w E. v ( x  = 
<. w ,  v >.  /\  E. u E. f
( y  =  <. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. ) ) )
103, 9mpbir 200 . . . . . 6  |-  E* z E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. )
1110moani 2195 . . . . 5  |-  E* z
( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )
)
1211funoprab 5944 . . . 4  |-  Fun  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )
) }
13 df-add 8748 . . . . 5  |-  +  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )
) }
1413funeqi 5275 . . . 4  |-  ( Fun 
+  <->  Fun  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. ) ) } )
1512, 14mpbir 200 . . 3  |-  Fun  +
1613dmeqi 4880 . . . . 5  |-  dom  +  =  dom  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. ) ) }
17 dmoprabss 5929 . . . . 5  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )
) }  C_  ( CC  X.  CC )
1816, 17eqsstri 3208 . . . 4  |-  dom  +  C_  ( CC  X.  CC )
19 0ncn 8755 . . . . 5  |-  -.  (/)  e.  CC
20 df-c 8743 . . . . . . 7  |-  CC  =  ( R.  X.  R. )
21 oveq1 5865 . . . . . . . 8  |-  ( <.
z ,  w >.  =  x  ->  ( <. z ,  w >.  +  <. v ,  u >. )  =  ( x  +  <. v ,  u >. ) )
2221eleq1d 2349 . . . . . . 7  |-  ( <.
z ,  w >.  =  x  ->  ( ( <. z ,  w >.  + 
<. v ,  u >. )  e.  ( R.  X.  R. )  <->  ( x  +  <. v ,  u >. )  e.  ( R.  X.  R. ) ) )
23 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( <.
v ,  u >.  =  y  ->  ( x  +  <. v ,  u >. )  =  ( x  +  y ) )
2423eleq1d 2349 . . . . . . 7  |-  ( <.
v ,  u >.  =  y  ->  ( (
x  +  <. v ,  u >. )  e.  ( R.  X.  R. )  <->  ( x  +  y )  e.  ( R.  X.  R. ) ) )
25 addcnsr 8757 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( <. z ,  w >.  +  <. v ,  u >. )  =  <. ( z  +R  v ) ,  ( w  +R  u )
>. )
26 addclsr 8705 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  R.  /\  v  e.  R. )  ->  ( z  +R  v
)  e.  R. )
27 addclsr 8705 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  R.  /\  u  e.  R. )  ->  ( w  +R  u
)  e.  R. )
2826, 27anim12i 549 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  v  e.  R. )  /\  ( w  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
z  +R  v )  e.  R.  /\  (
w  +R  u )  e.  R. ) )
2928an4s 799 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
z  +R  v )  e.  R.  /\  (
w  +R  u )  e.  R. ) )
30 opelxpi 4721 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  +R  v
)  e.  R.  /\  ( w  +R  u
)  e.  R. )  -> 
<. ( z  +R  v
) ,  ( w  +R  u ) >.  e.  ( R.  X.  R. ) )
3129, 30syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  <. ( z  +R  v ) ,  ( w  +R  u
) >.  e.  ( R. 
X.  R. ) )
3225, 31eqeltrd 2357 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( <. z ,  w >.  +  <. v ,  u >. )  e.  ( R.  X.  R. ) )
3320, 22, 24, 322optocl 4765 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  y )  e.  ( R. 
X.  R. ) )
3433, 20syl6eleqr 2374 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  y )  e.  CC )
3519, 34oprssdm 6002 . . . 4  |-  ( CC 
X.  CC )  C_  dom  +
3618, 35eqssi 3195 . . 3  |-  dom  +  =  ( CC  X.  CC )
37 df-fn 5258 . . 3  |-  (  +  Fn  ( CC  X.  CC )  <->  ( Fun  +  /\  dom  +  =  ( CC  X.  CC ) ) )
3815, 36, 37mpbir2an 886 . 2  |-  +  Fn  ( CC  X.  CC )
3934rgen2a 2609 . 2  |-  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  ( x  +  y )  e.  CC
40 ffnov 5948 . 2  |-  (  +  : ( CC  X.  CC ) --> CC  <->  (  +  Fn  ( CC  X.  CC )  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  ( x  +  y )  e.  CC ) )
4138, 39, 40mpbir2an 886 1  |-  +  :
( CC  X.  CC )
--> CC
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   E*wmo 2144   A.wral 2543   <.cop 3643    X. cxp 4687   dom cdm 4689   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -->wf 5251  (class class class)co 5858   {coprab 5859   R.cnr 8489    +R cplr 8493   CCcc 8735    + caddc 8740
This theorem is referenced by:  axaddcl  8773
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-ni 8496  df-pli 8497  df-mi 8498  df-lti 8499  df-plpq 8532  df-mpq 8533  df-ltpq 8534  df-enq 8535  df-nq 8536  df-erq 8537  df-plq 8538  df-mq 8539  df-1nq 8540  df-rq 8541  df-ltnq 8542  df-np 8605  df-plp 8607  df-ltp 8609  df-plpr 8679  df-enr 8681  df-nr 8682  df-plr 8683  df-c 8743  df-add 8748
  Copyright terms: Public domain W3C validator