Theorem axaddopr 5265

Description: Addition is an operation on the complex numbers. This theorem can be used as an alternate axiom for complex numbers in place of the less specific axaddcl 5271.

Assertion

Ref	Expression
axaddopr	|- + :(CC X. CC)-->CC

Proof of Theorem axaddopr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffnoprval 4014	. 2 |- ( + :(CC X. CC)-->CC <-> ( + Fn (CC X. CC) /\ A.x e. CC A.y e. CC (x + y) e. CC))
2		df-fn 3193	. . 3 |- ( + Fn (CC X. CC) <-> (Fun + /\ dom + = (CC X. CC)))
3		moeq 1920	. . . . . . . . 9 |- E*z z = <.(w +R u), (v +R f)>.
4	3	mosubop 2805	. . . . . . . 8 |- E*zE.uE.f(y = <.u, f>. /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.)
5	4	mosubop 2805	. . . . . . 7 |- E*zE.wE.v(x = <.w, v>. /\ E.uE.f(y = <.u, f>. /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.))
6		anass 439	. . . . . . . . . . 11 |- (((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.) <-> (x = <.w, v>. /\ (y = <.u, f>. /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.)))
7	6	2exbii 1052	. . . . . . . . . 10 |- (E.uE.f((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.) <-> E.uE.f(x = <.w, v>. /\ (y = <.u, f>. /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.)))
8		19.42vv 1310	. . . . . . . . . 10 |- (E.uE.f(x = <.w, v>. /\ (y = <.u, f>. /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.)) <-> (x = <.w, v>. /\ E.uE.f(y = <.u, f>. /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.)))
9	7, 8	bitr 173	. . . . . . . . 9 |- (E.uE.f((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.) <-> (x = <.w, v>. /\ E.uE.f(y = <.u, f>. /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.)))
10	9	2exbii 1052	. . . . . . . 8 |- (E.wE.vE.uE.f((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.) <-> E.wE.v(x = <.w, v>. /\ E.uE.f(y = <.u, f>. /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.)))
11	10	mobii 1405	. . . . . . 7 |- (E*zE.wE.vE.uE.f((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.) <-> E*zE.wE.v(x = <.w, v>. /\ E.uE.f(y = <.u, f>. /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.)))
12	5, 11	mpbir 190	. . . . . 6 |- E*zE.wE.vE.uE.f((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.)
13	12	moani 1423	. . . . 5 |- E*z((x e. CC /\ y e. CC) /\ E.wE.vE.uE.f((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.))
14	13	funoprab 4011	. . . 4 |- Fun {<.<.x, y>., z>. | ((x e. CC /\ y e. CC) /\ E.wE.vE.uE.f((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.))}
15		df-plus 5245	. . . . 5 |- + = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. CC /\ y e. CC) /\ E.wE.vE.uE.f((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.))}
16		funeq 3535	. . . . 5 |- ( + = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. CC /\ y e. CC) /\ E.wE.vE.uE.f((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.))} -> (Fun + <-> Fun {<.<.x, y>., z>. | ((x e. CC /\ y e. CC) /\ E.wE.vE.uE.f((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.))}))
17	15, 16	ax-mp 7	. . . 4 |- (Fun + <-> Fun {<.<.x, y>., z>. | ((x e. CC /\ y e. CC) /\ E.wE.vE.uE.f((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.))})
18	14, 17	mpbir 190	. . 3 |- Fun +
19	15	dmeqi 3312	. . . . 5 |- dom + = dom {<.<.x, y>., z>. | ((x e. CC /\ y e. CC) /\ E.wE.vE.uE.f((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.))}
20		dmoprabss 4003	. . . . 5 |- dom {<.<.x, y>., z>. | ((x e. CC /\ y e. CC) /\ E.wE.vE.uE.f((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.))} (_ (CC X. CC)
21	19, 20	eqsstr 2091	. . . 4 |- dom + (_ (CC X. CC)
22		0ncn 5251	. . . . 5 |- -. (/) e. CC
23		df-c 5240	. . . . . . 7 |- CC = (R. X. R.)
24		opreq1 3968	. . . . . . . 8 |- (<.z, w>. = x -> (<.z, w>. + <.v, u>.) = (x + <.v, u>.))
25	24	eleq1d 1540	. . . . . . 7 |- (<.z, w>. = x -> ((<.z, w>. + <.v, u>.) e. (R. X. R.) <-> (x + <.v, u>.) e. (R. X. R.)))
26		opreq2 3969	. . . . . . . 8 |- (<.v, u>. = y -> (x + <.v, u>.) = (x + y))
27	26	eleq1d 1540	. . . . . . 7 |- (<.v, u>. = y -> ((x + <.v, u>.) e. (R. X. R.) <-> (x + y) e. (R. X. R.)))
28		addcnsr 5253	. . . . . . . 8 |- (((z e. R. /\ w e. R.) /\ (v e. R. /\ u e. R.)) -> (<.z, w>. + <.v, u>.) = <.(z +R v), (w +R u)>.)
29		addclsr 5192	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. R. /\ v e. R.) -> (z +R v) e. R.)
30		addclsr 5192	. . . . . . . . . . 11 |- ((w e. R. /\ u e. R.) -> (w +R u) e. R.)
31	29, 30	anim12i 333	. . . . . . . . . 10 |- (((z e. R. /\ v e. R.) /\ (w e. R. /\ u e. R.)) -> ((z +R v) e. R. /\ (w +R u) e. R.))
32	31	an4s 508	. . . . . . . . 9 |- (((z e. R. /\ w e. R.) /\ (v e. R. /\ u e. R.)) -> ((z +R v) e. R. /\ (w +R u) e. R.))
33		opelxpi 3217	. . . . . . . . 9 |- (((z +R v) e. R. /\ (w +R u) e. R.) -> <.(z +R v), (w +R u)>. e. (R. X. R.))
34	32, 33	syl 10	. . . . . . . 8 |- (((z e. R. /\ w e. R.) /\ (v e. R. /\ u e. R.)) -> <.(z +R v), (w +R u)>. e. (R. X. R.))
35	28, 34	eqeltrd 1548	. . . . . . 7 |- (((z e. R. /\ w e. R.) /\ (v e. R. /\ u e. R.)) -> (<.z, w>. + <.v, u>.) e. (R. X. R.))
36	23, 25, 27, 35	2optocl 3236	. . . . . 6 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> (x + y) e. (R. X. R.))
37	36, 23	syl6eleqr 1559	. . . . 5 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> (x + y) e. CC)
38	22, 37	oprssdm 4042	. . . 4 |- (CC X. CC) (_ dom +
39	21, 38	eqssi 2078	. . 3 |- dom + = (CC X. CC)
40	2, 18, 39	mpbir2an 730	. 2 |- + Fn (CC X. CC)
41	37	rgen2a 1699	. 2 |- A.x e. CC A.y e. CC (x + y) e. CC
42	1, 40, 41	mpbir2an 730	1 |- + :(CC X. CC)-->CC

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  E*wmo 1381  A.wral 1645  <.cop 2411   X. cxp 3168  dom cdm 3170  Fun wfun 3176   Fn wfn 3177  -->wf 3178  (class class class)co 3963  {copab2 3964  R.cnr 4993   +R cplr 4997  CCcc 5232   + caddc 5237

This theorem is referenced by:  axaddcl 5271  addex 5317  ser1ft 6328  ser1cl1 6330  serzcl1 6562  addcn 7986  cnaddabl 8126  cnid 8127  addinv 8128  readdsubg 8129  zaddsubg 8130  cnring 8162  cnvc 8202  cnnv 8307  cnnvba 8309  cnph 8478  efghgrpilem 8719

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184