MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axaddrcl Unicode version

Theorem axaddrcl 8771
Description: Closure law for addition in the real subfield of complex numbers. Axiom 5 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-addrcl 8795 be used later. Instead, in most cases use readdcl 8817. (Contributed by NM, 31-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axaddrcl  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem axaddrcl
StepHypRef Expression
1 elreal 8750 . 2  |-  ( A  e.  RR  <->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
2 elreal 8750 . 2  |-  ( B  e.  RR  <->  E. y  e.  R.  <. y ,  0R >.  =  B )
3 oveq1 5828 . . 3  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( <. x ,  0R >.  +  <. y ,  0R >. )  =  ( A  +  <. y ,  0R >. ) )
43eleq1d 2352 . 2  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( ( <. x ,  0R >.  + 
<. y ,  0R >. )  e.  RR  <->  ( A  +  <. y ,  0R >. )  e.  RR ) )
5 oveq2 5829 . . 3  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( A  +  <. y ,  0R >. )  =  ( A  +  B ) )
65eleq1d 2352 . 2  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( ( A  +  <. y ,  0R >. )  e.  RR  <->  ( A  +  B )  e.  RR ) )
7 addresr 8757 . . 3  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( <. x ,  0R >.  +  <. y ,  0R >. )  =  <. (
x  +R  y ) ,  0R >. )
8 addclsr 8702 . . . 4  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( x  +R  y
)  e.  R. )
9 opelreal 8749 . . . 4  |-  ( <.
( x  +R  y
) ,  0R >.  e.  RR  <->  ( x  +R  y )  e.  R. )
108, 9sylibr 205 . . 3  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  -> 
<. ( x  +R  y
) ,  0R >.  e.  RR )
117, 10eqeltrd 2360 . 2  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( <. x ,  0R >.  +  <. y ,  0R >. )  e.  RR )
121, 2, 4, 6, 112gencl 2820 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1625    e. wcel 1687   <.cop 3646  (class class class)co 5821   R.cnr 8486   0Rc0r 8487    +R cplr 8490   RRcr 8733    + caddc 8737
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1638  ax-8 1646  ax-13 1689  ax-14 1691  ax-6 1706  ax-7 1711  ax-11 1718  ax-12 1870  ax-ext 2267  ax-sep 4144  ax-nul 4152  ax-pow 4189  ax-pr 4215  ax-un 4513  ax-inf2 7339
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1633  df-eu 2150  df-mo 2151  df-clab 2273  df-cleq 2279  df-clel 2282  df-nfc 2411  df-ne 2451  df-ral 2551  df-rex 2552  df-reu 2553  df-rmo 2554  df-rab 2555  df-v 2793  df-sbc 2995  df-csb 3085  df-dif 3158  df-un 3160  df-in 3162  df-ss 3169  df-pss 3171  df-nul 3459  df-if 3569  df-pw 3630  df-sn 3649  df-pr 3650  df-tp 3651  df-op 3652  df-uni 3831  df-int 3866  df-iun 3910  df-br 4027  df-opab 4081  df-mpt 4082  df-tr 4117  df-eprel 4306  df-id 4310  df-po 4315  df-so 4316  df-fr 4353  df-we 4355  df-ord 4396  df-on 4397  df-lim 4398  df-suc 4399  df-om 4658  df-xp 4696  df-rel 4697  df-cnv 4698  df-co 4699  df-dm 4700  df-rn 4701  df-res 4702  df-ima 4703  df-fun 5225  df-fn 5226  df-f 5227  df-f1 5228  df-fo 5229  df-f1o 5230  df-fv 5231  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpt2 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6385  df-rdg 6420  df-1o 6476  df-oadd 6480  df-omul 6481  df-er 6657  df-ec 6659  df-qs 6663  df-ni 8493  df-pli 8494  df-mi 8495  df-lti 8496  df-plpq 8529  df-mpq 8530  df-ltpq 8531  df-enq 8532  df-nq 8533  df-erq 8534  df-plq 8535  df-mq 8536  df-1nq 8537  df-rq 8538  df-ltnq 8539  df-np 8602  df-1p 8603  df-plp 8604  df-ltp 8606  df-plpr 8676  df-enr 8678  df-nr 8679  df-plr 8680  df-0r 8683  df-c 8740  df-r 8744  df-add 8745
  Copyright terms: Public domain W3C validator