MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcc Unicode version

Theorem axcc 8084
Description: Although CC can be proven trivially using ac5 8104, we prove it here using DC. (New usage is discouraged.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
axcc  |-  ( x 
~~  om  ->  E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )
Distinct variable group:    x, f, z

Proof of Theorem axcc
Dummy variables  t  u  v  w  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . 2  |-  ( x 
\  { (/) } )  =  ( x  \  { (/) } )
2 eqid 2283 . 2  |-  ( t  e.  om ,  y  e.  U. ( x 
\  { (/) } ) 
|->  ( v `  t
) )  =  ( t  e.  om , 
y  e.  U. (
x  \  { (/) } ) 
|->  ( v `  t
) )
3 eqid 2283 . 2  |-  ( w  e.  ( x  \  { (/) } )  |->  ( u `  suc  ( `' v `  w
) ) )  =  ( w  e.  ( x  \  { (/) } )  |->  ( u `  suc  ( `' v `  w ) ) )
41, 2, 3axcclem 8083 1  |-  ( x 
~~  om  ->  E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4   E.wex 1528    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543    \ cdif 3149   (/)c0 3455   {csn 3640   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   suc csuc 4394   omcom 4656   `'ccnv 4688   ` cfv 5255    e. cmpt2 5860    ~~ cen 6860
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-dc 8072
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867
  Copyright terms: Public domain W3C validator