MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcc Structured version   Unicode version

Theorem axcc 8328
Description: Although CC can be proven trivially using ac5 8347, we prove it here using DC. (New usage is discouraged.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
axcc  |-  ( x 
~~  om  ->  E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )
Distinct variable group:    x, f, z

Proof of Theorem axcc
Dummy variables  t  u  v  w  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . 2  |-  ( x 
\  { (/) } )  =  ( x  \  { (/) } )
2 eqid 2435 . 2  |-  ( t  e.  om ,  y  e.  U. ( x 
\  { (/) } ) 
|->  ( v `  t
) )  =  ( t  e.  om , 
y  e.  U. (
x  \  { (/) } ) 
|->  ( v `  t
) )
3 eqid 2435 . 2  |-  ( w  e.  ( x  \  { (/) } )  |->  ( u `  suc  ( `' v `  w
) ) )  =  ( w  e.  ( x  \  { (/) } )  |->  ( u `  suc  ( `' v `  w ) ) )
41, 2, 3axcclem 8327 1  |-  ( x 
~~  om  ->  E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4   E.wex 1550    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697    \ cdif 3309   (/)c0 3620   {csn 3806   U.cuni 4007   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   suc csuc 4575   omcom 4837   `'ccnv 4869   ` cfv 5446    e. cmpt2 6075    ~~ cen 7098
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-dc 8316
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105
  Copyright terms: Public domain W3C validator