MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcc Unicode version

Theorem axcc 8272
Description: Although CC can be proven trivially using ac5 8291, we prove it here using DC. (New usage is discouraged.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
axcc  |-  ( x 
~~  om  ->  E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )
Distinct variable group:    x, f, z

Proof of Theorem axcc
Dummy variables  t  u  v  w  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2388 . 2  |-  ( x 
\  { (/) } )  =  ( x  \  { (/) } )
2 eqid 2388 . 2  |-  ( t  e.  om ,  y  e.  U. ( x 
\  { (/) } ) 
|->  ( v `  t
) )  =  ( t  e.  om , 
y  e.  U. (
x  \  { (/) } ) 
|->  ( v `  t
) )
3 eqid 2388 . 2  |-  ( w  e.  ( x  \  { (/) } )  |->  ( u `  suc  ( `' v `  w
) ) )  =  ( w  e.  ( x  \  { (/) } )  |->  ( u `  suc  ( `' v `  w ) ) )
41, 2, 3axcclem 8271 1  |-  ( x 
~~  om  ->  E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4   E.wex 1547    e. wcel 1717    =/= wne 2551   A.wral 2650    \ cdif 3261   (/)c0 3572   {csn 3758   U.cuni 3958   class class class wbr 4154    e. cmpt 4208   suc csuc 4525   omcom 4786   `'ccnv 4818   ` cfv 5395    e. cmpt2 6023    ~~ cen 7043
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-dc 8260
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050
  Copyright terms: Public domain W3C validator