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Theorem axcc2lem 8078
Description: Lemma for axcc2 8079. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcc2lem.1  |-  K  =  ( n  e.  om  |->  if ( ( F `  n )  =  (/) ,  { (/) } ,  ( F `  n ) ) )
axcc2lem.2  |-  A  =  ( n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )
axcc2lem.3  |-  G  =  ( n  e.  om  |->  ( 2nd `  ( f `
 ( A `  n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
axcc2lem  |-  E. g
( g  Fn  om  /\ 
A. n  e.  om  ( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  (
g `  n )  e.  ( F `  n
) ) )
Distinct variable groups:    A, f, n    f, F, g    g, G, n    n, K
Allowed substitution hints:    A( g)    F( n)    G( f)    K( f, g)

Proof of Theorem axcc2lem
Dummy variables  a 
z  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omex 7360 . . . . 5  |-  om  e.  _V
2 snex 4232 . . . . . . . 8  |-  { n }  e.  _V
3 fvex 5555 . . . . . . . 8  |-  ( K `
 n )  e. 
_V
42, 3xpex 4817 . . . . . . 7  |-  ( { n }  X.  ( K `  n )
)  e.  _V
54a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( om  e.  _V  /\  n  e.  om )  ->  ( { n }  X.  ( K `  n
) )  e.  _V )
6 axcc2lem.2 . . . . . 6  |-  A  =  ( n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )
75, 6fmptd 5700 . . . . 5  |-  ( om  e.  _V  ->  A : om --> _V )
81, 7ax-mp 8 . . . 4  |-  A : om
--> _V
9 sneq 3664 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  { n }  =  { k } )
10 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  ( K `  n )  =  ( K `  k ) )
119, 10xpeq12d 4730 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( { n }  X.  ( K `  n ) )  =  ( { k }  X.  ( K `  k )
) )
1211, 6, 4fvmpt3i 5621 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  om  ->  ( A `  k )  =  ( { k }  X.  ( K `
 k ) ) )
1312adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  om  /\  k  e.  om )  ->  ( A `  k
)  =  ( { k }  X.  ( K `  k )
) )
1413eqeq2d 2307 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  om  /\  k  e.  om )  ->  ( ( A `  n )  =  ( A `  k )  <-> 
( A `  n
)  =  ( { k }  X.  ( K `  k )
) ) )
156fvmpt2 5624 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  om  /\  ( { n }  X.  ( K `  n ) )  e.  _V )  ->  ( A `  n
)  =  ( { n }  X.  ( K `  n )
) )
164, 15mpan2 652 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  om  ->  ( A `  n )  =  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )
1716adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  om  /\  k  e.  om )  ->  ( A `  n
)  =  ( { n }  X.  ( K `  n )
) )
1817eqeq1d 2304 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  om  /\  k  e.  om )  ->  ( ( A `  n )  =  ( { k }  X.  ( K `  k ) )  <->  ( { n }  X.  ( K `  n ) )  =  ( { k }  X.  ( K `  k ) ) ) )
19 vex 2804 . . . . . . . . . . 11  |-  n  e. 
_V
2019snnz 3757 . . . . . . . . . 10  |-  { n }  =/=  (/)
21 0ex 4166 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (/)  e.  _V
2221snnz 3757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { (/) }  =/=  (/)
23 iftrue 3584 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  n )  =  (/)  ->  if ( ( F `  n
)  =  (/) ,  { (/)
} ,  ( F `
 n ) )  =  { (/) } )
2423neeq1d 2472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  n )  =  (/)  ->  ( if ( ( F `  n )  =  (/) ,  { (/) } ,  ( F `  n ) )  =/=  (/)  <->  { (/) }  =/=  (/) ) )
2522, 24mpbiri 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  n )  =  (/)  ->  if ( ( F `  n
)  =  (/) ,  { (/)
} ,  ( F `
 n ) )  =/=  (/) )
26 iffalse 3585 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( F `  n
)  =  (/)  ->  if ( ( F `  n )  =  (/) ,  { (/) } ,  ( F `  n ) )  =  ( F `
 n ) )
27 df-ne 2461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  n )  =/=  (/)  <->  -.  ( F `  n )  =  (/) )
2827biimpri 197 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( F `  n
)  =  (/)  ->  ( F `  n )  =/=  (/) )
2926, 28eqnetrd 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( F `  n
)  =  (/)  ->  if ( ( F `  n )  =  (/) ,  { (/) } ,  ( F `  n ) )  =/=  (/) )
3025, 29pm2.61i 156 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( ( F `  n
)  =  (/) ,  { (/)
} ,  ( F `
 n ) )  =/=  (/)
31 p0ex 4213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { (/) }  e.  _V
32 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F `
 n )  e. 
_V
3331, 32ifex 3636 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( ( F `  n
)  =  (/) ,  { (/)
} ,  ( F `
 n ) )  e.  _V
34 axcc2lem.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  K  =  ( n  e.  om  |->  if ( ( F `  n )  =  (/) ,  { (/) } ,  ( F `  n ) ) )
3534fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  om  /\  if ( ( F `  n )  =  (/) ,  { (/) } ,  ( F `  n ) )  e.  _V )  ->  ( K `  n
)  =  if ( ( F `  n
)  =  (/) ,  { (/)
} ,  ( F `
 n ) ) )
3633, 35mpan2 652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  om  ->  ( K `  n )  =  if ( ( F `
 n )  =  (/) ,  { (/) } , 
( F `  n
) ) )
3736neeq1d 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  om  ->  (
( K `  n
)  =/=  (/)  <->  if (
( F `  n
)  =  (/) ,  { (/)
} ,  ( F `
 n ) )  =/=  (/) ) )
3830, 37mpbiri 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  om  ->  ( K `  n )  =/=  (/) )
39 xp11 5127 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { n }  =/=  (/) 
/\  ( K `  n )  =/=  (/) )  -> 
( ( { n }  X.  ( K `  n ) )  =  ( { k }  X.  ( K `  k ) )  <->  ( {
n }  =  {
k }  /\  ( K `  n )  =  ( K `  k ) ) ) )
4020, 38, 39sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  om  ->  (
( { n }  X.  ( K `  n
) )  =  ( { k }  X.  ( K `  k ) )  <->  ( { n }  =  { k }  /\  ( K `  n )  =  ( K `  k ) ) ) )
4119sneqr 3796 . . . . . . . . . 10  |-  ( { n }  =  {
k }  ->  n  =  k )
4241adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { n }  =  { k }  /\  ( K `  n )  =  ( K `  k ) )  ->  n  =  k )
4340, 42syl6bi 219 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  om  ->  (
( { n }  X.  ( K `  n
) )  =  ( { k }  X.  ( K `  k ) )  ->  n  =  k ) )
4443adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  om  /\  k  e.  om )  ->  ( ( { n }  X.  ( K `  n ) )  =  ( { k }  X.  ( K `  k ) )  ->  n  =  k )
)
4518, 44sylbid 206 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  om  /\  k  e.  om )  ->  ( ( A `  n )  =  ( { k }  X.  ( K `  k ) )  ->  n  =  k ) )
4614, 45sylbid 206 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  om  /\  k  e.  om )  ->  ( ( A `  n )  =  ( A `  k )  ->  n  =  k ) )
4746rgen2a 2622 . . . 4  |-  A. n  e.  om  A. k  e. 
om  ( ( A `
 n )  =  ( A `  k
)  ->  n  =  k )
48 dff13 5799 . . . 4  |-  ( A : om -1-1-> _V  <->  ( A : om --> _V  /\  A. n  e.  om  A. k  e. 
om  ( ( A `
 n )  =  ( A `  k
)  ->  n  =  k ) ) )
498, 47, 48mpbir2an 886 . . 3  |-  A : om
-1-1-> _V
50 f1f1orn 5499 . . . 4  |-  ( A : om -1-1-> _V  ->  A : om -1-1-onto-> ran  A )
511f1oen 6898 . . . 4  |-  ( A : om -1-1-onto-> ran  A  ->  om  ~~  ran  A )
52 ensym 6926 . . . 4  |-  ( om 
~~  ran  A  ->  ran 
A  ~~  om )
5350, 51, 523syl 18 . . 3  |-  ( A : om -1-1-> _V  ->  ran 
A  ~~  om )
546rneqi 4921 . . . . 5  |-  ran  A  =  ran  ( n  e. 
om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )
55 dmmptg 5186 . . . . . . . 8  |-  ( A. n  e.  om  ( { n }  X.  ( K `  n ) )  e.  _V  ->  dom  ( n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )  =  om )
564a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  om  ->  ( { n }  X.  ( K `  n ) )  e.  _V )
5755, 56mprg 2625 . . . . . . 7  |-  dom  (
n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )  =  om
5857, 1eqeltri 2366 . . . . . 6  |-  dom  (
n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )  e.  _V
59 funmpt 5306 . . . . . 6  |-  Fun  (
n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )
60 funrnex 5763 . . . . . 6  |-  ( dom  ( n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )  e.  _V  ->  ( Fun  ( n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n )
) )  ->  ran  ( n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )  e.  _V ) )
6158, 59, 60mp2 17 . . . . 5  |-  ran  (
n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )  e.  _V
6254, 61eqeltri 2366 . . . 4  |-  ran  A  e.  _V
63 breq1 4042 . . . . 5  |-  ( a  =  ran  A  -> 
( a  ~~  om  <->  ran 
A  ~~  om )
)
64 raleq 2749 . . . . . 6  |-  ( a  =  ran  A  -> 
( A. z  e.  a  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  <->  A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
6564exbidv 1616 . . . . 5  |-  ( a  =  ran  A  -> 
( E. f A. z  e.  a  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  <->  E. f A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
6663, 65imbi12d 311 . . . 4  |-  ( a  =  ran  A  -> 
( ( a  ~~  om 
->  E. f A. z  e.  a  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )  <->  ( ran  A 
~~  om  ->  E. f A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) ) )
67 ax-cc 8077 . . . 4  |-  ( a 
~~  om  ->  E. f A. z  e.  a 
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )
6862, 66, 67vtocl 2851 . . 3  |-  ( ran 
A  ~~  om  ->  E. f A. z  e. 
ran  A ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )
6949, 53, 68mp2b 9 . 2  |-  E. f A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )
70 fvex 5555 . . . . 5  |-  ( 2nd `  ( f `  ( A `  n )
) )  e.  _V
71 axcc2lem.3 . . . . 5  |-  G  =  ( n  e.  om  |->  ( 2nd `  ( f `
 ( A `  n ) ) ) )
7270, 71fnmpti 5388 . . . 4  |-  G  Fn  om
73 xpnz 5115 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { n }  =/=  (/) 
/\  ( K `  n )  =/=  (/) )  <->  ( {
n }  X.  ( K `  n )
)  =/=  (/) )
7473biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( { n }  =/=  (/) 
/\  ( K `  n )  =/=  (/) )  -> 
( { n }  X.  ( K `  n
) )  =/=  (/) )
7520, 38, 74sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  om  ->  ( { n }  X.  ( K `  n ) )  =/=  (/) )
7616, 75eqnetrd 2477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  om  ->  ( A `  n )  =/=  (/) )
774, 6fnmpti 5388 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  A  Fn  om
78 fnfvelrn 5678 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  Fn  om  /\  n  e.  om )  ->  ( A `  n
)  e.  ran  A
)
7977, 78mpan 651 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  om  ->  ( A `  n )  e.  ran  A )
80 neeq1 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( A `  n )  ->  (
z  =/=  (/)  <->  ( A `  n )  =/=  (/) ) )
81 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( A `  n )  ->  (
f `  z )  =  ( f `  ( A `  n ) ) )
82 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( A `  n )  ->  z  =  ( A `  n ) )
8381, 82eleq12d 2364 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( A `  n )  ->  (
( f `  z
)  e.  z  <->  ( f `  ( A `  n
) )  e.  ( A `  n ) ) )
8480, 83imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( A `  n )  ->  (
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  <->  ( ( A `  n )  =/=  (/)  ->  ( f `  ( A `  n
) )  e.  ( A `  n ) ) ) )
8584rspccv 2894 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
( A `  n
)  e.  ran  A  ->  ( ( A `  n )  =/=  (/)  ->  (
f `  ( A `  n ) )  e.  ( A `  n
) ) ) )
8679, 85syl5 28 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
n  e.  om  ->  ( ( A `  n
)  =/=  (/)  ->  (
f `  ( A `  n ) )  e.  ( A `  n
) ) ) )
8776, 86mpdi 38 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
n  e.  om  ->  ( f `  ( A `
 n ) )  e.  ( A `  n ) ) )
8887impcom 419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )  -> 
( f `  ( A `  n )
)  e.  ( A `
 n ) )
8916eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  om  ->  (
( f `  ( A `  n )
)  e.  ( A `
 n )  <->  ( f `  ( A `  n
) )  e.  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) ) )
9089adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )  -> 
( ( f `  ( A `  n ) )  e.  ( A `
 n )  <->  ( f `  ( A `  n
) )  e.  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) ) )
9188, 90mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )  -> 
( f `  ( A `  n )
)  e.  ( { n }  X.  ( K `  n )
) )
92 xp2nd 6166 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  ( A `
 n ) )  e.  ( { n }  X.  ( K `  n ) )  -> 
( 2nd `  (
f `  ( A `  n ) ) )  e.  ( K `  n ) )
9391, 92syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )  -> 
( 2nd `  (
f `  ( A `  n ) ) )  e.  ( K `  n ) )
94933adant3 975 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  ( F `  n )  =/=  (/) )  ->  ( 2nd `  ( f `  ( A `  n ) ) )  e.  ( K `  n ) )
9571fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  om  /\  ( 2nd `  ( f `
 ( A `  n ) ) )  e.  _V )  -> 
( G `  n
)  =  ( 2nd `  ( f `  ( A `  n )
) ) )
9670, 95mpan2 652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  om  ->  ( G `  n )  =  ( 2nd `  (
f `  ( A `  n ) ) ) )
97963ad2ant1 976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  ( F `  n )  =/=  (/) )  ->  ( G `  n )  =  ( 2nd `  (
f `  ( A `  n ) ) ) )
9897eqcomd 2301 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  ( F `  n )  =/=  (/) )  ->  ( 2nd `  ( f `  ( A `  n ) ) )  =  ( G `  n ) )
99363ad2ant1 976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  ( F `  n )  =/=  (/) )  ->  ( K `  n )  =  if ( ( F `
 n )  =  (/) ,  { (/) } , 
( F `  n
) ) )
100 ifnefalse 3586 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  if (
( F `  n
)  =  (/) ,  { (/)
} ,  ( F `
 n ) )  =  ( F `  n ) )
1011003ad2ant3 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  ( F `  n )  =/=  (/) )  ->  if ( ( F `  n )  =  (/) ,  { (/) } ,  ( F `  n ) )  =  ( F `
 n ) )
10299, 101eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  ( F `  n )  =/=  (/) )  ->  ( K `  n )  =  ( F `  n ) )
10398, 102eleq12d 2364 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  ( F `  n )  =/=  (/) )  ->  (
( 2nd `  (
f `  ( A `  n ) ) )  e.  ( K `  n )  <->  ( G `  n )  e.  ( F `  n ) ) )
10494, 103mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  ( F `  n )  =/=  (/) )  ->  ( G `  n )  e.  ( F `  n
) )
1051043expia 1153 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )  -> 
( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  ( G `  n )  e.  ( F `  n
) ) )
106105expcom 424 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
n  e.  om  ->  ( ( F `  n
)  =/=  (/)  ->  ( G `  n )  e.  ( F `  n
) ) ) )
107106ralrimiv 2638 . . . 4  |-  ( A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  A. n  e.  om  ( ( F `
 n )  =/=  (/)  ->  ( G `  n )  e.  ( F `  n ) ) )
108 fnex 5757 . . . . . 6  |-  ( ( G  Fn  om  /\  om  e.  _V )  ->  G  e.  _V )
10972, 1, 108mp2an 653 . . . . 5  |-  G  e. 
_V
110 fneq1 5349 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  (
g  Fn  om  <->  G  Fn  om ) )
111 fveq1 5540 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
g `  n )  =  ( G `  n ) )
112111eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  (
( g `  n
)  e.  ( F `
 n )  <->  ( G `  n )  e.  ( F `  n ) ) )
113112imbi2d 307 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  (
( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  (
g `  n )  e.  ( F `  n
) )  <->  ( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  ( G `  n )  e.  ( F `  n ) ) ) )
114113ralbidv 2576 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  ( A. n  e.  om  ( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  (
g `  n )  e.  ( F `  n
) )  <->  A. n  e.  om  ( ( F `
 n )  =/=  (/)  ->  ( G `  n )  e.  ( F `  n ) ) ) )
115110, 114anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  (
( g  Fn  om  /\ 
A. n  e.  om  ( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  (
g `  n )  e.  ( F `  n
) ) )  <->  ( G  Fn  om  /\  A. n  e.  om  ( ( F `
 n )  =/=  (/)  ->  ( G `  n )  e.  ( F `  n ) ) ) ) )
116109, 115spcev 2888 . . . 4  |-  ( ( G  Fn  om  /\  A. n  e.  om  (
( F `  n
)  =/=  (/)  ->  ( G `  n )  e.  ( F `  n
) ) )  ->  E. g ( g  Fn 
om  /\  A. n  e.  om  ( ( F `
 n )  =/=  (/)  ->  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) ) ) )
11772, 107, 116sylancr 644 . . 3  |-  ( A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  E. g
( g  Fn  om  /\ 
A. n  e.  om  ( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  (
g `  n )  e.  ( F `  n
) ) ) )
118117exlimiv 1624 . 2  |-  ( E. f A. z  e. 
ran  A ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  ->  E. g
( g  Fn  om  /\ 
A. n  e.  om  ( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  (
g `  n )  e.  ( F `  n
) ) ) )
11969, 118ax-mp 8 1  |-  E. g
( g  Fn  om  /\ 
A. n  e.  om  ( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  (
g `  n )  e.  ( F `  n
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   _Vcvv 2801   (/)c0 3468   ifcif 3578   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   omcom 4672    X. cxp 4703   dom cdm 4705   ran crn 4706   Fun wfun 5265    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271   2ndc2nd 6137    ~~ cen 6876
This theorem is referenced by:  axcc2  8079
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cc 8077
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-2nd 6139  df-er 6676  df-en 6880
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