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Theorem axcc2lem 8318
Description: Lemma for axcc2 8319. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcc2lem.1  |-  K  =  ( n  e.  om  |->  if ( ( F `  n )  =  (/) ,  { (/) } ,  ( F `  n ) ) )
axcc2lem.2  |-  A  =  ( n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )
axcc2lem.3  |-  G  =  ( n  e.  om  |->  ( 2nd `  ( f `
 ( A `  n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
axcc2lem  |-  E. g
( g  Fn  om  /\ 
A. n  e.  om  ( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  (
g `  n )  e.  ( F `  n
) ) )
Distinct variable groups:    A, f, n    f, F, g    g, G, n    n, K
Allowed substitution hints:    A( g)    F( n)    G( f)    K( f, g)

Proof of Theorem axcc2lem
Dummy variables  a 
z  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omex 7600 . . . . 5  |-  om  e.  _V
2 snex 4407 . . . . . . . 8  |-  { n }  e.  _V
3 fvex 5744 . . . . . . . 8  |-  ( K `
 n )  e. 
_V
42, 3xpex 4992 . . . . . . 7  |-  ( { n }  X.  ( K `  n )
)  e.  _V
54a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( om  e.  _V  /\  n  e.  om )  ->  ( { n }  X.  ( K `  n
) )  e.  _V )
6 axcc2lem.2 . . . . . 6  |-  A  =  ( n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )
75, 6fmptd 5895 . . . . 5  |-  ( om  e.  _V  ->  A : om --> _V )
81, 7ax-mp 8 . . . 4  |-  A : om
--> _V
9 sneq 3827 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  { n }  =  { k } )
10 fveq2 5730 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  ( K `  n )  =  ( K `  k ) )
119, 10xpeq12d 4905 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( { n }  X.  ( K `  n ) )  =  ( { k }  X.  ( K `  k )
) )
1211, 6, 4fvmpt3i 5811 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  om  ->  ( A `  k )  =  ( { k }  X.  ( K `
 k ) ) )
1312adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  om  /\  k  e.  om )  ->  ( A `  k
)  =  ( { k }  X.  ( K `  k )
) )
1413eqeq2d 2449 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  om  /\  k  e.  om )  ->  ( ( A `  n )  =  ( A `  k )  <-> 
( A `  n
)  =  ( { k }  X.  ( K `  k )
) ) )
156fvmpt2 5814 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  om  /\  ( { n }  X.  ( K `  n ) )  e.  _V )  ->  ( A `  n
)  =  ( { n }  X.  ( K `  n )
) )
164, 15mpan2 654 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  om  ->  ( A `  n )  =  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )
1716adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  om  /\  k  e.  om )  ->  ( A `  n
)  =  ( { n }  X.  ( K `  n )
) )
1817eqeq1d 2446 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  om  /\  k  e.  om )  ->  ( ( A `  n )  =  ( { k }  X.  ( K `  k ) )  <->  ( { n }  X.  ( K `  n ) )  =  ( { k }  X.  ( K `  k ) ) ) )
19 vex 2961 . . . . . . . . . . 11  |-  n  e. 
_V
2019snnz 3924 . . . . . . . . . 10  |-  { n }  =/=  (/)
21 0ex 4341 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (/)  e.  _V
2221snnz 3924 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { (/) }  =/=  (/)
23 iftrue 3747 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  n )  =  (/)  ->  if ( ( F `  n
)  =  (/) ,  { (/)
} ,  ( F `
 n ) )  =  { (/) } )
2423neeq1d 2616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  n )  =  (/)  ->  ( if ( ( F `  n )  =  (/) ,  { (/) } ,  ( F `  n ) )  =/=  (/)  <->  { (/) }  =/=  (/) ) )
2522, 24mpbiri 226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  n )  =  (/)  ->  if ( ( F `  n
)  =  (/) ,  { (/)
} ,  ( F `
 n ) )  =/=  (/) )
26 iffalse 3748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( F `  n
)  =  (/)  ->  if ( ( F `  n )  =  (/) ,  { (/) } ,  ( F `  n ) )  =  ( F `
 n ) )
27 df-ne 2603 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  n )  =/=  (/)  <->  -.  ( F `  n )  =  (/) )
2827biimpri 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( F `  n
)  =  (/)  ->  ( F `  n )  =/=  (/) )
2926, 28eqnetrd 2621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( F `  n
)  =  (/)  ->  if ( ( F `  n )  =  (/) ,  { (/) } ,  ( F `  n ) )  =/=  (/) )
3025, 29pm2.61i 159 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( ( F `  n
)  =  (/) ,  { (/)
} ,  ( F `
 n ) )  =/=  (/)
31 p0ex 4388 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { (/) }  e.  _V
32 fvex 5744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F `
 n )  e. 
_V
3331, 32ifex 3799 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( ( F `  n
)  =  (/) ,  { (/)
} ,  ( F `
 n ) )  e.  _V
34 axcc2lem.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  K  =  ( n  e.  om  |->  if ( ( F `  n )  =  (/) ,  { (/) } ,  ( F `  n ) ) )
3534fvmpt2 5814 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  om  /\  if ( ( F `  n )  =  (/) ,  { (/) } ,  ( F `  n ) )  e.  _V )  ->  ( K `  n
)  =  if ( ( F `  n
)  =  (/) ,  { (/)
} ,  ( F `
 n ) ) )
3633, 35mpan2 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  om  ->  ( K `  n )  =  if ( ( F `
 n )  =  (/) ,  { (/) } , 
( F `  n
) ) )
3736neeq1d 2616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  om  ->  (
( K `  n
)  =/=  (/)  <->  if (
( F `  n
)  =  (/) ,  { (/)
} ,  ( F `
 n ) )  =/=  (/) ) )
3830, 37mpbiri 226 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  om  ->  ( K `  n )  =/=  (/) )
39 xp11 5306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { n }  =/=  (/) 
/\  ( K `  n )  =/=  (/) )  -> 
( ( { n }  X.  ( K `  n ) )  =  ( { k }  X.  ( K `  k ) )  <->  ( {
n }  =  {
k }  /\  ( K `  n )  =  ( K `  k ) ) ) )
4020, 38, 39sylancr 646 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  om  ->  (
( { n }  X.  ( K `  n
) )  =  ( { k }  X.  ( K `  k ) )  <->  ( { n }  =  { k }  /\  ( K `  n )  =  ( K `  k ) ) ) )
4119sneqr 3968 . . . . . . . . . 10  |-  ( { n }  =  {
k }  ->  n  =  k )
4241adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { n }  =  { k }  /\  ( K `  n )  =  ( K `  k ) )  ->  n  =  k )
4340, 42syl6bi 221 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  om  ->  (
( { n }  X.  ( K `  n
) )  =  ( { k }  X.  ( K `  k ) )  ->  n  =  k ) )
4443adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  om  /\  k  e.  om )  ->  ( ( { n }  X.  ( K `  n ) )  =  ( { k }  X.  ( K `  k ) )  ->  n  =  k )
)
4518, 44sylbid 208 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  om  /\  k  e.  om )  ->  ( ( A `  n )  =  ( { k }  X.  ( K `  k ) )  ->  n  =  k ) )
4614, 45sylbid 208 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  om  /\  k  e.  om )  ->  ( ( A `  n )  =  ( A `  k )  ->  n  =  k ) )
4746rgen2a 2774 . . . 4  |-  A. n  e.  om  A. k  e. 
om  ( ( A `
 n )  =  ( A `  k
)  ->  n  =  k )
48 dff13 6006 . . . 4  |-  ( A : om -1-1-> _V  <->  ( A : om --> _V  /\  A. n  e.  om  A. k  e. 
om  ( ( A `
 n )  =  ( A `  k
)  ->  n  =  k ) ) )
498, 47, 48mpbir2an 888 . . 3  |-  A : om
-1-1-> _V
50 f1f1orn 5687 . . . 4  |-  ( A : om -1-1-> _V  ->  A : om -1-1-onto-> ran  A )
511f1oen 7130 . . . 4  |-  ( A : om -1-1-onto-> ran  A  ->  om  ~~  ran  A )
52 ensym 7158 . . . 4  |-  ( om 
~~  ran  A  ->  ran 
A  ~~  om )
5350, 51, 523syl 19 . . 3  |-  ( A : om -1-1-> _V  ->  ran 
A  ~~  om )
546rneqi 5098 . . . . 5  |-  ran  A  =  ran  ( n  e. 
om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )
55 dmmptg 5369 . . . . . . . 8  |-  ( A. n  e.  om  ( { n }  X.  ( K `  n ) )  e.  _V  ->  dom  ( n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )  =  om )
564a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  om  ->  ( { n }  X.  ( K `  n ) )  e.  _V )
5755, 56mprg 2777 . . . . . . 7  |-  dom  (
n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )  =  om
5857, 1eqeltri 2508 . . . . . 6  |-  dom  (
n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )  e.  _V
59 funmpt 5491 . . . . . 6  |-  Fun  (
n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )
60 funrnex 5969 . . . . . 6  |-  ( dom  ( n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )  e.  _V  ->  ( Fun  ( n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n )
) )  ->  ran  ( n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )  e.  _V ) )
6158, 59, 60mp2 9 . . . . 5  |-  ran  (
n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )  e.  _V
6254, 61eqeltri 2508 . . . 4  |-  ran  A  e.  _V
63 breq1 4217 . . . . 5  |-  ( a  =  ran  A  -> 
( a  ~~  om  <->  ran 
A  ~~  om )
)
64 raleq 2906 . . . . . 6  |-  ( a  =  ran  A  -> 
( A. z  e.  a  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  <->  A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
6564exbidv 1637 . . . . 5  |-  ( a  =  ran  A  -> 
( E. f A. z  e.  a  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  <->  E. f A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
6663, 65imbi12d 313 . . . 4  |-  ( a  =  ran  A  -> 
( ( a  ~~  om 
->  E. f A. z  e.  a  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )  <->  ( ran  A 
~~  om  ->  E. f A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) ) )
67 ax-cc 8317 . . . 4  |-  ( a 
~~  om  ->  E. f A. z  e.  a 
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )
6862, 66, 67vtocl 3008 . . 3  |-  ( ran 
A  ~~  om  ->  E. f A. z  e. 
ran  A ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )
6949, 53, 68mp2b 10 . 2  |-  E. f A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )
70 fvex 5744 . . . . 5  |-  ( 2nd `  ( f `  ( A `  n )
) )  e.  _V
71 axcc2lem.3 . . . . 5  |-  G  =  ( n  e.  om  |->  ( 2nd `  ( f `
 ( A `  n ) ) ) )
7270, 71fnmpti 5575 . . . 4  |-  G  Fn  om
73 xpnz 5294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { n }  =/=  (/) 
/\  ( K `  n )  =/=  (/) )  <->  ( {
n }  X.  ( K `  n )
)  =/=  (/) )
7473biimpi 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( { n }  =/=  (/) 
/\  ( K `  n )  =/=  (/) )  -> 
( { n }  X.  ( K `  n
) )  =/=  (/) )
7520, 38, 74sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  om  ->  ( { n }  X.  ( K `  n ) )  =/=  (/) )
7616, 75eqnetrd 2621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  om  ->  ( A `  n )  =/=  (/) )
774, 6fnmpti 5575 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  A  Fn  om
78 fnfvelrn 5869 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  Fn  om  /\  n  e.  om )  ->  ( A `  n
)  e.  ran  A
)
7977, 78mpan 653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  om  ->  ( A `  n )  e.  ran  A )
80 neeq1 2611 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( A `  n )  ->  (
z  =/=  (/)  <->  ( A `  n )  =/=  (/) ) )
81 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( A `  n )  ->  (
f `  z )  =  ( f `  ( A `  n ) ) )
82 id 21 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( A `  n )  ->  z  =  ( A `  n ) )
8381, 82eleq12d 2506 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( A `  n )  ->  (
( f `  z
)  e.  z  <->  ( f `  ( A `  n
) )  e.  ( A `  n ) ) )
8480, 83imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( A `  n )  ->  (
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  <->  ( ( A `  n )  =/=  (/)  ->  ( f `  ( A `  n
) )  e.  ( A `  n ) ) ) )
8584rspccv 3051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
( A `  n
)  e.  ran  A  ->  ( ( A `  n )  =/=  (/)  ->  (
f `  ( A `  n ) )  e.  ( A `  n
) ) ) )
8679, 85syl5 31 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
n  e.  om  ->  ( ( A `  n
)  =/=  (/)  ->  (
f `  ( A `  n ) )  e.  ( A `  n
) ) ) )
8776, 86mpdi 41 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
n  e.  om  ->  ( f `  ( A `
 n ) )  e.  ( A `  n ) ) )
8887impcom 421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )  -> 
( f `  ( A `  n )
)  e.  ( A `
 n ) )
8916eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  om  ->  (
( f `  ( A `  n )
)  e.  ( A `
 n )  <->  ( f `  ( A `  n
) )  e.  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) ) )
9089adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )  -> 
( ( f `  ( A `  n ) )  e.  ( A `
 n )  <->  ( f `  ( A `  n
) )  e.  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) ) )
9188, 90mpbid 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )  -> 
( f `  ( A `  n )
)  e.  ( { n }  X.  ( K `  n )
) )
92 xp2nd 6379 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  ( A `
 n ) )  e.  ( { n }  X.  ( K `  n ) )  -> 
( 2nd `  (
f `  ( A `  n ) ) )  e.  ( K `  n ) )
9391, 92syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )  -> 
( 2nd `  (
f `  ( A `  n ) ) )  e.  ( K `  n ) )
94933adant3 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  ( F `  n )  =/=  (/) )  ->  ( 2nd `  ( f `  ( A `  n ) ) )  e.  ( K `  n ) )
9571fvmpt2 5814 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  om  /\  ( 2nd `  ( f `
 ( A `  n ) ) )  e.  _V )  -> 
( G `  n
)  =  ( 2nd `  ( f `  ( A `  n )
) ) )
9670, 95mpan2 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  om  ->  ( G `  n )  =  ( 2nd `  (
f `  ( A `  n ) ) ) )
97963ad2ant1 979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  ( F `  n )  =/=  (/) )  ->  ( G `  n )  =  ( 2nd `  (
f `  ( A `  n ) ) ) )
9897eqcomd 2443 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  ( F `  n )  =/=  (/) )  ->  ( 2nd `  ( f `  ( A `  n ) ) )  =  ( G `  n ) )
99363ad2ant1 979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  ( F `  n )  =/=  (/) )  ->  ( K `  n )  =  if ( ( F `
 n )  =  (/) ,  { (/) } , 
( F `  n
) ) )
100 ifnefalse 3749 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  if (
( F `  n
)  =  (/) ,  { (/)
} ,  ( F `
 n ) )  =  ( F `  n ) )
1011003ad2ant3 981 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  ( F `  n )  =/=  (/) )  ->  if ( ( F `  n )  =  (/) ,  { (/) } ,  ( F `  n ) )  =  ( F `
 n ) )
10299, 101eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  ( F `  n )  =/=  (/) )  ->  ( K `  n )  =  ( F `  n ) )
10394, 98, 1023eltr3d 2518 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  ( F `  n )  =/=  (/) )  ->  ( G `  n )  e.  ( F `  n
) )
1041033expia 1156 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )  -> 
( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  ( G `  n )  e.  ( F `  n
) ) )
105104expcom 426 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
n  e.  om  ->  ( ( F `  n
)  =/=  (/)  ->  ( G `  n )  e.  ( F `  n
) ) ) )
106105ralrimiv 2790 . . . 4  |-  ( A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  A. n  e.  om  ( ( F `
 n )  =/=  (/)  ->  ( G `  n )  e.  ( F `  n ) ) )
107 fnex 5963 . . . . . 6  |-  ( ( G  Fn  om  /\  om  e.  _V )  ->  G  e.  _V )
10872, 1, 107mp2an 655 . . . . 5  |-  G  e. 
_V
109 fneq1 5536 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  (
g  Fn  om  <->  G  Fn  om ) )
110 fveq1 5729 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
g `  n )  =  ( G `  n ) )
111110eleq1d 2504 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  (
( g `  n
)  e.  ( F `
 n )  <->  ( G `  n )  e.  ( F `  n ) ) )
112111imbi2d 309 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  (
( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  (
g `  n )  e.  ( F `  n
) )  <->  ( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  ( G `  n )  e.  ( F `  n ) ) ) )
113112ralbidv 2727 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  ( A. n  e.  om  ( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  (
g `  n )  e.  ( F `  n
) )  <->  A. n  e.  om  ( ( F `
 n )  =/=  (/)  ->  ( G `  n )  e.  ( F `  n ) ) ) )
114109, 113anbi12d 693 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  (
( g  Fn  om  /\ 
A. n  e.  om  ( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  (
g `  n )  e.  ( F `  n
) ) )  <->  ( G  Fn  om  /\  A. n  e.  om  ( ( F `
 n )  =/=  (/)  ->  ( G `  n )  e.  ( F `  n ) ) ) ) )
115108, 114spcev 3045 . . . 4  |-  ( ( G  Fn  om  /\  A. n  e.  om  (
( F `  n
)  =/=  (/)  ->  ( G `  n )  e.  ( F `  n
) ) )  ->  E. g ( g  Fn 
om  /\  A. n  e.  om  ( ( F `
 n )  =/=  (/)  ->  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) ) ) )
11672, 106, 115sylancr 646 . . 3  |-  ( A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  E. g
( g  Fn  om  /\ 
A. n  e.  om  ( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  (
g `  n )  e.  ( F `  n
) ) ) )
117116exlimiv 1645 . 2  |-  ( E. f A. z  e. 
ran  A ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  ->  E. g
( g  Fn  om  /\ 
A. n  e.  om  ( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  (
g `  n )  e.  ( F `  n
) ) ) )
11869, 117ax-mp 8 1  |-  E. g
( g  Fn  om  /\ 
A. n  e.  om  ( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  (
g `  n )  e.  ( F `  n
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   _Vcvv 2958   (/)c0 3630   ifcif 3741   {csn 3816   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   omcom 4847    X. cxp 4878   dom cdm 4880   ran crn 4881   Fun wfun 5450    Fn wfn 5451   -->wf 5452   -1-1->wf1 5453   -1-1-onto->wf1o 5455   ` cfv 5456   2ndc2nd 6350    ~~ cen 7108
This theorem is referenced by:  axcc2  8319
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cc 8317
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-2nd 6352  df-er 6907  df-en 7112
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