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Theorem axcc3 8064
 Description: A possibly more useful version of ax-cc 8061 using sequences instead of countable sets. The Axiom of Infinity is needed to prove this, and indeed this implies the Axiom of Infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
axcc3.1
axcc3.2
Assertion
Ref Expression
axcc3
Distinct variable groups:   ,   ,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem axcc3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axcc3.2 . . 3
2 relen 6868 . . . 4
32brrelexi 4729 . . 3
4 mptexg 5745 . . 3
51, 3, 4mp2b 9 . 2
6 bren 6871 . . . 4
71, 6mpbi 199 . . 3
8 axcc2 8063 . . . . 5
9 f1of 5472 . . . . . . . . . . 11
10 fnfco 5407 . . . . . . . . . . 11
119, 10sylan2 460 . . . . . . . . . 10
1211adantlr 695 . . . . . . . . 9
13123adant1 973 . . . . . . . 8
14 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . . 11
1514nfeq2 2430 . . . . . . . . . 10
16 nfv 1605 . . . . . . . . . 10
17 nfv 1605 . . . . . . . . . 10
1815, 16, 17nf3an 1774 . . . . . . . . 9
19 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
209, 19sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
21 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2221neeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
23 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2423, 21eleq12d 2351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2522, 24imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2625rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2720, 26syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
28273ad2antl3 1119 . . . . . . . . . . . . . . . 16
29 f1ocnv 5485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
30 f1of 5472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3129, 30syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
32 fvco3 5596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3331, 32sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3420, 33syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
35343adant1 973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
36 f1ocnvfv1 5792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3736fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
38373adant1 973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
39 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
40 axcc3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
41 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4241fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4340, 42mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4439, 43sylan9eq 2335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
45443adant2 974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4635, 38, 453eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
47463expa 1151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
48473adantl2 1112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4948neeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5093ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
51 fvco3 5596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5250, 51sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5352eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5448eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5553, 54bitr3d 246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5649, 55imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5728, 56sylibd 205 . . . . . . . . . . . . . . 15
5857ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14
5958com23 72 . . . . . . . . . . . . 13
60593exp 1150 . . . . . . . . . . . 12
6160com34 77 . . . . . . . . . . 11
6261imp32 422 . . . . . . . . . 10
63623impia 1148 . . . . . . . . 9
6418, 63ralrimi 2624 . . . . . . . 8
65 vex 2791 . . . . . . . . . 10
66 vex 2791 . . . . . . . . . 10
6765, 66coex 5216 . . . . . . . . 9
68 fneq1 5333 . . . . . . . . . 10
69 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . 13
7069eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . 12
7170imbi2d 307 . . . . . . . . . . 11
7271ralbidv 2563 . . . . . . . . . 10
7368, 72anbi12d 691 . . . . . . . . 9
7467, 73spcev 2875 . . . . . . . 8
7513, 64, 74syl2anc 642 . . . . . . 7
76753exp 1150 . . . . . 6
7776exlimdv 1664 . . . . 5
788, 77mpi 16 . . . 4
7978exlimdv 1664 . . 3
807, 79mpi 16 . 2
815, 80vtocle 2857 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934  wex 1528   wceq 1623   wcel 1684   wne 2446  wral 2543  cvv 2788  c0 3455   class class class wbr 4023   cmpt 4077  com 4656  ccnv 4688   ccom 4693   wfn 5250  wf 5251  wf1o 5254  cfv 5255   cen 6860 This theorem is referenced by:  axcc4  8065  domtriomlem  8068 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-2nd 6123  df-er 6660  df-en 6864
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