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Theorem axcc3 8080
Description: A possibly more useful version of ax-cc 8077 using sequences  F ( n ) instead of countable sets. The Axiom of Infinity is needed to prove this, and indeed this implies the Axiom of Infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
axcc3.1  |-  F  e. 
_V
axcc3.2  |-  N  ~~  om
Assertion
Ref Expression
axcc3  |-  E. f
( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( F  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  F ) )
Distinct variable groups:    f, F    f, N, n
Allowed substitution hint:    F( n)

Proof of Theorem axcc3
Dummy variables  g  h  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axcc3.2 . . 3  |-  N  ~~  om
2 relen 6884 . . . 4  |-  Rel  ~~
32brrelexi 4745 . . 3  |-  ( N 
~~  om  ->  N  e. 
_V )
4 mptexg 5761 . . 3  |-  ( N  e.  _V  ->  (
n  e.  N  |->  F )  e.  _V )
51, 3, 4mp2b 9 . 2  |-  ( n  e.  N  |->  F )  e.  _V
6 bren 6887 . . . 4  |-  ( N 
~~  om  <->  E. h  h : N -1-1-onto-> om )
71, 6mpbi 199 . . 3  |-  E. h  h : N -1-1-onto-> om
8 axcc2 8079 . . . . 5  |-  E. g
( g  Fn  om  /\ 
A. m  e.  om  ( ( ( k  o.  `' h ) `
 m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) ) )
9 f1of 5488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h : N -1-1-onto-> om  ->  h : N
--> om )
10 fnfco 5423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  Fn  om  /\  h : N --> om )  ->  ( g  o.  h
)  Fn  N )
119, 10sylan2 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  Fn  om  /\  h : N -1-1-onto-> om )  ->  (
g  o.  h )  Fn  N )
1211adantlr 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g  Fn  om  /\ 
A. m  e.  om  ( ( ( k  o.  `' h ) `
 m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) ) )  /\  h : N -1-1-onto-> om )  ->  (
g  o.  h )  Fn  N )
13123adant1 973 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  ( g  Fn 
om  /\  A. m  e.  om  ( ( ( k  o.  `' h
) `  m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) ) )  /\  h : N -1-1-onto-> om )  ->  (
g  o.  h )  Fn  N )
14 nfmpt1 4125 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( n  e.  N  |->  F )
1514nfeq2 2443 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n  k  =  ( n  e.  N  |->  F )
16 nfv 1609 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n
( g  Fn  om  /\ 
A. m  e.  om  ( ( ( k  o.  `' h ) `
 m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) ) )
17 nfv 1609 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n  h : N -1-1-onto-> om
1815, 16, 17nf3an 1786 . . . . . . . . 9  |-  F/ n
( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  ( g  Fn  om  /\  A. m  e.  om  (
( ( k  o.  `' h ) `  m
)  =/=  (/)  ->  (
g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) ) )  /\  h : N -1-1-onto-> om )
19 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( h : N --> om  /\  n  e.  N )  ->  ( h `  n
)  e.  om )
209, 19sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( h : N -1-1-onto-> om  /\  n  e.  N )  ->  ( h `  n
)  e.  om )
21 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  ( h `  n )  ->  (
( k  o.  `' h ) `  m
)  =  ( ( k  o.  `' h
) `  ( h `  n ) ) )
2221neeq1d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  =  ( h `  n )  ->  (
( ( k  o.  `' h ) `  m
)  =/=  (/)  <->  ( (
k  o.  `' h
) `  ( h `  n ) )  =/=  (/) ) )
23 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  ( h `  n )  ->  (
g `  m )  =  ( g `  ( h `  n
) ) )
2423, 21eleq12d 2364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  =  ( h `  n )  ->  (
( g `  m
)  e.  ( ( k  o.  `' h
) `  m )  <->  ( g `  ( h `
 n ) )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `
 ( h `  n ) ) ) )
2522, 24imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  =  ( h `  n )  ->  (
( ( ( k  o.  `' h ) `
 m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) )  <->  ( (
( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
)  =/=  (/)  ->  (
g `  ( h `  n ) )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
) ) ) )
2625rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( h `  n )  e.  om  ->  ( A. m  e.  om  ( ( ( k  o.  `' h ) `
 m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) )  ->  (
( ( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
)  =/=  (/)  ->  (
g `  ( h `  n ) )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
) ) ) )
2720, 26syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( h : N -1-1-onto-> om  /\  n  e.  N )  ->  ( A. m  e. 
om  ( ( ( k  o.  `' h
) `  m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) )  ->  (
( ( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
)  =/=  (/)  ->  (
g `  ( h `  n ) )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
) ) ) )
28273ad2antl3 1119 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  g  Fn 
om  /\  h : N
-1-1-onto-> om )  /\  n  e.  N )  ->  ( A. m  e.  om  ( ( ( k  o.  `' h ) `
 m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) )  ->  (
( ( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
)  =/=  (/)  ->  (
g `  ( h `  n ) )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
) ) ) )
29 f1ocnv 5501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( h : N -1-1-onto-> om  ->  `' h : om -1-1-onto-> N )
30 f1of 5488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( `' h : om -1-1-onto-> N  ->  `' h : om --> N )
3129, 30syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( h : N -1-1-onto-> om  ->  `' h : om --> N )
32 fvco3 5612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( `' h : om --> N  /\  ( h `  n
)  e.  om )  ->  ( ( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
)  =  ( k `
 ( `' h `  ( h `  n
) ) ) )
3331, 32sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( h : N -1-1-onto-> om  /\  ( h `  n
)  e.  om )  ->  ( ( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
)  =  ( k `
 ( `' h `  ( h `  n
) ) ) )
3420, 33syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( h : N -1-1-onto-> om  /\  n  e.  N )  ->  ( ( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
)  =  ( k `
 ( `' h `  ( h `  n
) ) ) )
35343adant1 973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  h : N -1-1-onto-> om  /\  n  e.  N )  ->  ( ( k  o.  `' h ) `
 ( h `  n ) )  =  ( k `  ( `' h `  ( h `
 n ) ) ) )
36 f1ocnvfv1 5808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( h : N -1-1-onto-> om  /\  n  e.  N )  ->  ( `' h `  ( h `  n
) )  =  n )
3736fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( h : N -1-1-onto-> om  /\  n  e.  N )  ->  ( k `  ( `' h `  ( h `
 n ) ) )  =  ( k `
 n ) )
38373adant1 973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  h : N -1-1-onto-> om  /\  n  e.  N )  ->  ( k `  ( `' h `  ( h `
 n ) ) )  =  ( k `
 n ) )
39 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  -> 
( k `  n
)  =  ( ( n  e.  N  |->  F ) `  n ) )
40 axcc3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F  e. 
_V
41 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  e.  N  |->  F )  =  ( n  e.  N  |->  F )
4241fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( n  e.  N  /\  F  e.  _V )  ->  ( ( n  e.  N  |->  F ) `  n )  =  F )
4340, 42mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  N  ->  (
( n  e.  N  |->  F ) `  n
)  =  F )
4439, 43sylan9eq 2348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  n  e.  N
)  ->  ( k `  n )  =  F )
45443adant2 974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  h : N -1-1-onto-> om  /\  n  e.  N )  ->  ( k `  n )  =  F )
4635, 38, 453eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  h : N -1-1-onto-> om  /\  n  e.  N )  ->  ( ( k  o.  `' h ) `
 ( h `  n ) )  =  F )
47463expa 1151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  h : N -1-1-onto-> om )  /\  n  e.  N )  ->  (
( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
)  =  F )
48473adantl2 1112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  g  Fn 
om  /\  h : N
-1-1-onto-> om )  /\  n  e.  N )  ->  (
( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
)  =  F )
4948neeq1d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  g  Fn 
om  /\  h : N
-1-1-onto-> om )  /\  n  e.  N )  ->  (
( ( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
)  =/=  (/)  <->  F  =/=  (/) ) )
5093ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  g  Fn  om  /\  h : N -1-1-onto-> om )  ->  h : N --> om )
51 fvco3 5612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( h : N --> om  /\  n  e.  N )  ->  ( ( g  o.  h ) `  n
)  =  ( g `
 ( h `  n ) ) )
5250, 51sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  g  Fn 
om  /\  h : N
-1-1-onto-> om )  /\  n  e.  N )  ->  (
( g  o.  h
) `  n )  =  ( g `  ( h `  n
) ) )
5352eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  g  Fn 
om  /\  h : N
-1-1-onto-> om )  /\  n  e.  N )  ->  (
( ( g  o.  h ) `  n
)  e.  ( ( k  o.  `' h
) `  ( h `  n ) )  <->  ( g `  ( h `  n
) )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
) ) )
5448eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  g  Fn 
om  /\  h : N
-1-1-onto-> om )  /\  n  e.  N )  ->  (
( ( g  o.  h ) `  n
)  e.  ( ( k  o.  `' h
) `  ( h `  n ) )  <->  ( (
g  o.  h ) `
 n )  e.  F ) )
5553, 54bitr3d 246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  g  Fn 
om  /\  h : N
-1-1-onto-> om )  /\  n  e.  N )  ->  (
( g `  (
h `  n )
)  e.  ( ( k  o.  `' h
) `  ( h `  n ) )  <->  ( (
g  o.  h ) `
 n )  e.  F ) )
5649, 55imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  g  Fn 
om  /\  h : N
-1-1-onto-> om )  /\  n  e.  N )  ->  (
( ( ( k  o.  `' h ) `
 ( h `  n ) )  =/=  (/)  ->  ( g `  ( h `  n
) )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
) )  <->  ( F  =/=  (/)  ->  ( (
g  o.  h ) `
 n )  e.  F ) ) )
5728, 56sylibd 205 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  g  Fn 
om  /\  h : N
-1-1-onto-> om )  /\  n  e.  N )  ->  ( A. m  e.  om  ( ( ( k  o.  `' h ) `
 m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) )  ->  ( F  =/=  (/)  ->  ( (
g  o.  h ) `
 n )  e.  F ) ) )
5857ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  g  Fn  om  /\  h : N -1-1-onto-> om )  ->  ( n  e.  N  ->  ( A. m  e. 
om  ( ( ( k  o.  `' h
) `  m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) )  ->  ( F  =/=  (/)  ->  ( (
g  o.  h ) `
 n )  e.  F ) ) ) )
5958com23 72 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  g  Fn  om  /\  h : N -1-1-onto-> om )  ->  ( A. m  e. 
om  ( ( ( k  o.  `' h
) `  m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) )  ->  (
n  e.  N  -> 
( F  =/=  (/)  ->  (
( g  o.  h
) `  n )  e.  F ) ) ) )
60593exp 1150 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  -> 
( g  Fn  om  ->  ( h : N -1-1-onto-> om  ->  ( A. m  e. 
om  ( ( ( k  o.  `' h
) `  m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) )  ->  (
n  e.  N  -> 
( F  =/=  (/)  ->  (
( g  o.  h
) `  n )  e.  F ) ) ) ) ) )
6160com34 77 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  -> 
( g  Fn  om  ->  ( A. m  e. 
om  ( ( ( k  o.  `' h
) `  m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) )  ->  (
h : N -1-1-onto-> om  ->  ( n  e.  N  -> 
( F  =/=  (/)  ->  (
( g  o.  h
) `  n )  e.  F ) ) ) ) ) )
6261imp32 422 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  ( g  Fn 
om  /\  A. m  e.  om  ( ( ( k  o.  `' h
) `  m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) ) ) )  ->  ( h : N -1-1-onto-> om  ->  ( n  e.  N  ->  ( F  =/=  (/)  ->  ( (
g  o.  h ) `
 n )  e.  F ) ) ) )
63623impia 1148 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  ( g  Fn 
om  /\  A. m  e.  om  ( ( ( k  o.  `' h
) `  m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) ) )  /\  h : N -1-1-onto-> om )  ->  (
n  e.  N  -> 
( F  =/=  (/)  ->  (
( g  o.  h
) `  n )  e.  F ) ) )
6418, 63ralrimi 2637 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  ( g  Fn 
om  /\  A. m  e.  om  ( ( ( k  o.  `' h
) `  m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) ) )  /\  h : N -1-1-onto-> om )  ->  A. n  e.  N  ( F  =/=  (/)  ->  ( (
g  o.  h ) `
 n )  e.  F ) )
65 vex 2804 . . . . . . . . . 10  |-  g  e. 
_V
66 vex 2804 . . . . . . . . . 10  |-  h  e. 
_V
6765, 66coex 5232 . . . . . . . . 9  |-  ( g  o.  h )  e. 
_V
68 fneq1 5349 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( g  o.  h )  ->  (
f  Fn  N  <->  ( g  o.  h )  Fn  N
) )
69 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( g  o.  h )  ->  (
f `  n )  =  ( ( g  o.  h ) `  n ) )
7069eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( g  o.  h )  ->  (
( f `  n
)  e.  F  <->  ( (
g  o.  h ) `
 n )  e.  F ) )
7170imbi2d 307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( g  o.  h )  ->  (
( F  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  F )  <->  ( F  =/=  (/)  ->  ( (
g  o.  h ) `
 n )  e.  F ) ) )
7271ralbidv 2576 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( g  o.  h )  ->  ( A. n  e.  N  ( F  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  F )  <->  A. n  e.  N  ( F  =/=  (/)  ->  ( (
g  o.  h ) `
 n )  e.  F ) ) )
7368, 72anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( g  o.  h )  ->  (
( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( F  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  F ) )  <->  ( (
g  o.  h )  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( F  =/=  (/)  ->  ( (
g  o.  h ) `
 n )  e.  F ) ) ) )
7467, 73spcev 2888 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( g  o.  h
)  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( F  =/=  (/)  ->  (
( g  o.  h
) `  n )  e.  F ) )  ->  E. f ( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( F  =/=  (/)  ->  ( f `  n )  e.  F
) ) )
7513, 64, 74syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  ( g  Fn 
om  /\  A. m  e.  om  ( ( ( k  o.  `' h
) `  m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) ) )  /\  h : N -1-1-onto-> om )  ->  E. f
( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( F  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  F ) ) )
76753exp 1150 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  -> 
( ( g  Fn 
om  /\  A. m  e.  om  ( ( ( k  o.  `' h
) `  m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) ) )  -> 
( h : N -1-1-onto-> om  ->  E. f ( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( F  =/=  (/)  ->  ( f `  n )  e.  F
) ) ) ) )
7776exlimdv 1626 . . . . 5  |-  ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  -> 
( E. g ( g  Fn  om  /\  A. m  e.  om  (
( ( k  o.  `' h ) `  m
)  =/=  (/)  ->  (
g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) ) )  -> 
( h : N -1-1-onto-> om  ->  E. f ( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( F  =/=  (/)  ->  ( f `  n )  e.  F
) ) ) ) )
788, 77mpi 16 . . . 4  |-  ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  -> 
( h : N -1-1-onto-> om  ->  E. f ( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( F  =/=  (/)  ->  ( f `  n )  e.  F
) ) ) )
7978exlimdv 1626 . . 3  |-  ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  -> 
( E. h  h : N -1-1-onto-> om  ->  E. f
( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( F  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  F ) ) ) )
807, 79mpi 16 . 2  |-  ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  ->  E. f ( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( F  =/=  (/)  ->  ( f `  n )  e.  F
) ) )
815, 80vtocle 2870 1  |-  E. f
( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( F  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   _Vcvv 2801   (/)c0 3468   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   omcom 4672   `'ccnv 4704    o. ccom 4709    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271    ~~ cen 6876
This theorem is referenced by:  axcc4  8081  domtriomlem  8084
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cc 8077
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-2nd 6139  df-er 6676  df-en 6880
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