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Theorem axcc4 8081
Description: A version of axcc3 8080 that uses wffs instead of classes. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcc4.1  |-  A  e. 
_V
axcc4.2  |-  N  ~~  om
axcc4.3  |-  ( x  =  ( f `  n )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
axcc4  |-  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  E. f ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) )
Distinct variable groups:    A, f, n, x    f, N, n    ph, f    ps, x
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    ps( f, n)    N( x)

Proof of Theorem axcc4
StepHypRef Expression
1 axcc4.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
21rabex 4181 . . 3  |-  { x  e.  A  |  ph }  e.  _V
3 axcc4.2 . . 3  |-  N  ~~  om
42, 3axcc3 8080 . 2  |-  E. f
( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph } ) )
5 rabn0 3487 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  <->  E. x  e.  A  ph )
6 pm2.27 35 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  (
( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  ( f `  n )  e.  {
x  e.  A  |  ph } )  ->  (
f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph } ) )
75, 6sylbir 204 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  A  ph  ->  ( ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  ( f `  n )  e.  {
x  e.  A  |  ph } )  ->  (
f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph } ) )
8 axcc4.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( f `  n )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
98elrab 2936 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph }  <->  ( ( f `  n
)  e.  A  /\  ps ) )
107, 9syl6ib 217 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  A  ph  ->  ( ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  ( f `  n )  e.  {
x  e.  A  |  ph } )  ->  (
( f `  n
)  e.  A  /\  ps ) ) )
1110ral2imi 2632 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  ( A. n  e.  N  ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph } )  ->  A. n  e.  N  ( ( f `  n )  e.  A  /\  ps ) ) )
12 simpl 443 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f `  n
)  e.  A  /\  ps )  ->  ( f `
 n )  e.  A )
1312ralimi 2631 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  N  (
( f `  n
)  e.  A  /\  ps )  ->  A. n  e.  N  ( f `  n )  e.  A
)
1411, 13syl6 29 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  ( A. n  e.  N  ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph } )  ->  A. n  e.  N  ( f `  n
)  e.  A ) )
1514anim2d 548 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  ( ( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph } ) )  ->  ( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( f `  n )  e.  A
) ) )
16 ffnfv 5701 . . . . 5  |-  ( f : N --> A  <->  ( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( f `  n )  e.  A
) )
1715, 16syl6ibr 218 . . . 4  |-  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  ( ( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph } ) )  ->  f : N --> A ) )
18 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f `  n
)  e.  A  /\  ps )  ->  ps )
1918ralimi 2631 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  N  (
( f `  n
)  e.  A  /\  ps )  ->  A. n  e.  N  ps )
2011, 19syl6 29 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  ( A. n  e.  N  ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph } )  ->  A. n  e.  N  ps ) )
2120adantld 453 . . . 4  |-  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  ( ( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph } ) )  ->  A. n  e.  N  ps ) )
2217, 21jcad 519 . . 3  |-  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  ( ( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph } ) )  ->  ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) ) )
2322eximdv 1612 . 2  |-  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  ( E. f ( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph } ) )  ->  E. f ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) ) )
244, 23mpi 16 1  |-  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  E. f ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560   _Vcvv 2801   (/)c0 3468   class class class wbr 4039   omcom 4672    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271    ~~ cen 6876
This theorem is referenced by:  axcc4dom  8083  supcvg  12330  1stcelcls  17203  iscmet3  18735  ovoliunlem3  18879  itg2seq  19113  nmounbseqi  21371  nmobndseqi  21373  minvecolem5  21476  heibor  26648
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cc 8077
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-2nd 6139  df-er 6676  df-en 6880
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