MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcc4 Structured version   Unicode version

Theorem axcc4 8311
Description: A version of axcc3 8310 that uses wffs instead of classes. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcc4.1  |-  A  e. 
_V
axcc4.2  |-  N  ~~  om
axcc4.3  |-  ( x  =  ( f `  n )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
axcc4  |-  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  E. f ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) )
Distinct variable groups:    A, f, n, x    f, N, n    ph, f    ps, x
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    ps( f, n)    N( x)

Proof of Theorem axcc4
StepHypRef Expression
1 axcc4.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
21rabex 4346 . . 3  |-  { x  e.  A  |  ph }  e.  _V
3 axcc4.2 . . 3  |-  N  ~~  om
42, 3axcc3 8310 . 2  |-  E. f
( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph } ) )
5 rabn0 3639 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  <->  E. x  e.  A  ph )
6 pm2.27 37 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  (
( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  ( f `  n )  e.  {
x  e.  A  |  ph } )  ->  (
f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph } ) )
75, 6sylbir 205 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  A  ph  ->  ( ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  ( f `  n )  e.  {
x  e.  A  |  ph } )  ->  (
f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph } ) )
8 axcc4.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( f `  n )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
98elrab 3084 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph }  <->  ( ( f `  n
)  e.  A  /\  ps ) )
107, 9syl6ib 218 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  A  ph  ->  ( ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  ( f `  n )  e.  {
x  e.  A  |  ph } )  ->  (
( f `  n
)  e.  A  /\  ps ) ) )
1110ral2imi 2774 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  ( A. n  e.  N  ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph } )  ->  A. n  e.  N  ( ( f `  n )  e.  A  /\  ps ) ) )
12 simpl 444 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f `  n
)  e.  A  /\  ps )  ->  ( f `
 n )  e.  A )
1312ralimi 2773 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  N  (
( f `  n
)  e.  A  /\  ps )  ->  A. n  e.  N  ( f `  n )  e.  A
)
1411, 13syl6 31 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  ( A. n  e.  N  ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph } )  ->  A. n  e.  N  ( f `  n
)  e.  A ) )
1514anim2d 549 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  ( ( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph } ) )  ->  ( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( f `  n )  e.  A
) ) )
16 ffnfv 5886 . . . . 5  |-  ( f : N --> A  <->  ( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( f `  n )  e.  A
) )
1715, 16syl6ibr 219 . . . 4  |-  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  ( ( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph } ) )  ->  f : N --> A ) )
18 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f `  n
)  e.  A  /\  ps )  ->  ps )
1918ralimi 2773 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  N  (
( f `  n
)  e.  A  /\  ps )  ->  A. n  e.  N  ps )
2011, 19syl6 31 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  ( A. n  e.  N  ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph } )  ->  A. n  e.  N  ps ) )
2120adantld 454 . . . 4  |-  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  ( ( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph } ) )  ->  A. n  e.  N  ps ) )
2217, 21jcad 520 . . 3  |-  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  ( ( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph } ) )  ->  ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) ) )
2322eximdv 1632 . 2  |-  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  ( E. f ( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph } ) )  ->  E. f ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) ) )
244, 23mpi 17 1  |-  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  E. f ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   {crab 2701   _Vcvv 2948   (/)c0 3620   class class class wbr 4204   omcom 4837    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446    ~~ cen 7098
This theorem is referenced by:  axcc4dom  8313  supcvg  12627  1stcelcls  17516  iscmet3  19238  ovoliunlem3  19392  itg2seq  19626  nmounbseqi  22270  nmobndseqi  22272  minvecolem5  22375  heibor  26521
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cc 8307
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-2nd 6342  df-er 6897  df-en 7102
  Copyright terms: Public domain W3C validator