MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcc4dom Unicode version

Theorem axcc4dom 8254
Description: Relax the constraint on axcc4 8252 to dominance instead of equinumerosity. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
axcc4dom.1  |-  A  e. 
_V
axcc4dom.2  |-  ( x  =  ( f `  n )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
axcc4dom  |-  ( ( N  ~<_  om  /\  A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph )  ->  E. f ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) )
Distinct variable groups:    A, f, n, x    f, N, n    ph, f    ps, x
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    ps( f, n)    N( x)

Proof of Theorem axcc4dom
StepHypRef Expression
1 brdom2 7073 . . 3  |-  ( N  ~<_  om  <->  ( N  ~<  om  \/  N  ~~  om ) )
2 isfinite 7540 . . . . 5  |-  ( N  e.  Fin  <->  N  ~<  om )
3 axcc4dom.2 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( f `  n )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
43ac6sfi 7287 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph )  ->  E. f ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) )
54ex 424 . . . . 5  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph 
->  E. f ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) ) )
62, 5sylbir 205 . . . 4  |-  ( N 
~<  om  ->  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  E. f ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) ) )
7 raleq 2847 . . . . . 6  |-  ( N  =  if ( N 
~~  om ,  N ,  om )  ->  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  <->  A. n  e.  if  ( N  ~~  om ,  N ,  om ) E. x  e.  A  ph ) )
8 feq2 5517 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  if ( N 
~~  om ,  N ,  om )  ->  ( f : N --> A  <->  f : if ( N  ~~  om ,  N ,  om ) --> A ) )
9 raleq 2847 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  if ( N 
~~  om ,  N ,  om )  ->  ( A. n  e.  N  ps  <->  A. n  e.  if  ( N  ~~  om ,  N ,  om ) ps )
)
108, 9anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( N  =  if ( N 
~~  om ,  N ,  om )  ->  ( ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) 
<->  ( f : if ( N  ~~  om ,  N ,  om ) --> A  /\  A. n  e.  if  ( N  ~~  om ,  N ,  om ) ps ) ) )
1110exbidv 1633 . . . . . 6  |-  ( N  =  if ( N 
~~  om ,  N ,  om )  ->  ( E. f ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) 
<->  E. f ( f : if ( N 
~~  om ,  N ,  om ) --> A  /\  A. n  e.  if  ( N  ~~  om ,  N ,  om ) ps )
) )
127, 11imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( N  =  if ( N 
~~  om ,  N ,  om )  ->  ( ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph 
->  E. f ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) )  <->  ( A. n  e.  if  ( N  ~~  om ,  N ,  om ) E. x  e.  A  ph  ->  E. f
( f : if ( N  ~~  om ,  N ,  om ) --> A  /\  A. n  e.  if  ( N  ~~  om ,  N ,  om ) ps ) ) ) )
13 axcc4dom.1 . . . . . 6  |-  A  e. 
_V
14 breq1 4156 . . . . . . 7  |-  ( N  =  if ( N 
~~  om ,  N ,  om )  ->  ( N 
~~  om  <->  if ( N  ~~  om ,  N ,  om )  ~~  om ) )
15 breq1 4156 . . . . . . 7  |-  ( om  =  if ( N 
~~  om ,  N ,  om )  ->  ( om 
~~  om  <->  if ( N  ~~  om ,  N ,  om )  ~~  om ) )
16 omex 7531 . . . . . . . 8  |-  om  e.  _V
1716enref 7076 . . . . . . 7  |-  om  ~~  om
1814, 15, 17elimhyp 3730 . . . . . 6  |-  if ( N  ~~  om ,  N ,  om )  ~~  om
1913, 18, 3axcc4 8252 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  if  ( N  ~~  om ,  N ,  om ) E. x  e.  A  ph  ->  E. f
( f : if ( N  ~~  om ,  N ,  om ) --> A  /\  A. n  e.  if  ( N  ~~  om ,  N ,  om ) ps ) )
2012, 19dedth 3723 . . . 4  |-  ( N 
~~  om  ->  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  E. f ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) ) )
216, 20jaoi 369 . . 3  |-  ( ( N  ~<  om  \/  N  ~~  om )  ->  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph 
->  E. f ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) ) )
221, 21sylbi 188 . 2  |-  ( N  ~<_  om  ->  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  E. f ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) ) )
2322imp 419 1  |-  ( ( N  ~<_  om  /\  A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph )  ->  E. f ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   E.wrex 2650   _Vcvv 2899   ifcif 3682   class class class wbr 4153   omcom 4785   -->wf 5390   ` cfv 5394    ~~ cen 7042    ~<_ cdom 7043    ~< csdm 7044   Fincfn 7045
This theorem is referenced by:  2ndcctbss  17439  2ndcsep  17443  iscmet3  19117  heiborlem3  26213
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cc 8248
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-2nd 6289  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049
  Copyright terms: Public domain W3C validator