MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcc4dom Structured version   Unicode version

Theorem axcc4dom 8313
Description: Relax the constraint on axcc4 8311 to dominance instead of equinumerosity. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
axcc4dom.1  |-  A  e. 
_V
axcc4dom.2  |-  ( x  =  ( f `  n )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
axcc4dom  |-  ( ( N  ~<_  om  /\  A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph )  ->  E. f ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) )
Distinct variable groups:    A, f, n, x    f, N, n    ph, f    ps, x
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    ps( f, n)    N( x)

Proof of Theorem axcc4dom
StepHypRef Expression
1 brdom2 7129 . . 3  |-  ( N  ~<_  om  <->  ( N  ~<  om  \/  N  ~~  om ) )
2 isfinite 7599 . . . . 5  |-  ( N  e.  Fin  <->  N  ~<  om )
3 axcc4dom.2 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( f `  n )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
43ac6sfi 7343 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph )  ->  E. f ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) )
54ex 424 . . . . 5  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph 
->  E. f ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) ) )
62, 5sylbir 205 . . . 4  |-  ( N 
~<  om  ->  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  E. f ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) ) )
7 raleq 2896 . . . . . 6  |-  ( N  =  if ( N 
~~  om ,  N ,  om )  ->  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  <->  A. n  e.  if  ( N  ~~  om ,  N ,  om ) E. x  e.  A  ph ) )
8 feq2 5569 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  if ( N 
~~  om ,  N ,  om )  ->  ( f : N --> A  <->  f : if ( N  ~~  om ,  N ,  om ) --> A ) )
9 raleq 2896 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  if ( N 
~~  om ,  N ,  om )  ->  ( A. n  e.  N  ps  <->  A. n  e.  if  ( N  ~~  om ,  N ,  om ) ps )
)
108, 9anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( N  =  if ( N 
~~  om ,  N ,  om )  ->  ( ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) 
<->  ( f : if ( N  ~~  om ,  N ,  om ) --> A  /\  A. n  e.  if  ( N  ~~  om ,  N ,  om ) ps ) ) )
1110exbidv 1636 . . . . . 6  |-  ( N  =  if ( N 
~~  om ,  N ,  om )  ->  ( E. f ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) 
<->  E. f ( f : if ( N 
~~  om ,  N ,  om ) --> A  /\  A. n  e.  if  ( N  ~~  om ,  N ,  om ) ps )
) )
127, 11imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( N  =  if ( N 
~~  om ,  N ,  om )  ->  ( ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph 
->  E. f ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) )  <->  ( A. n  e.  if  ( N  ~~  om ,  N ,  om ) E. x  e.  A  ph  ->  E. f
( f : if ( N  ~~  om ,  N ,  om ) --> A  /\  A. n  e.  if  ( N  ~~  om ,  N ,  om ) ps ) ) ) )
13 axcc4dom.1 . . . . . 6  |-  A  e. 
_V
14 breq1 4207 . . . . . . 7  |-  ( N  =  if ( N 
~~  om ,  N ,  om )  ->  ( N 
~~  om  <->  if ( N  ~~  om ,  N ,  om )  ~~  om ) )
15 breq1 4207 . . . . . . 7  |-  ( om  =  if ( N 
~~  om ,  N ,  om )  ->  ( om 
~~  om  <->  if ( N  ~~  om ,  N ,  om )  ~~  om ) )
16 omex 7590 . . . . . . . 8  |-  om  e.  _V
1716enref 7132 . . . . . . 7  |-  om  ~~  om
1814, 15, 17elimhyp 3779 . . . . . 6  |-  if ( N  ~~  om ,  N ,  om )  ~~  om
1913, 18, 3axcc4 8311 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  if  ( N  ~~  om ,  N ,  om ) E. x  e.  A  ph  ->  E. f
( f : if ( N  ~~  om ,  N ,  om ) --> A  /\  A. n  e.  if  ( N  ~~  om ,  N ,  om ) ps ) )
2012, 19dedth 3772 . . . 4  |-  ( N 
~~  om  ->  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  E. f ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) ) )
216, 20jaoi 369 . . 3  |-  ( ( N  ~<  om  \/  N  ~~  om )  ->  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph 
->  E. f ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) ) )
221, 21sylbi 188 . 2  |-  ( N  ~<_  om  ->  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  E. f ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) ) )
2322imp 419 1  |-  ( ( N  ~<_  om  /\  A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph )  ->  E. f ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948   ifcif 3731   class class class wbr 4204   omcom 4837   -->wf 5442   ` cfv 5446    ~~ cen 7098    ~<_ cdom 7099    ~< csdm 7100   Fincfn 7101
This theorem is referenced by:  2ndcctbss  17510  2ndcsep  17514  iscmet3  19238  heiborlem3  26503
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cc 8307
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105
  Copyright terms: Public domain W3C validator