MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcc4dom Unicode version

Theorem axcc4dom 8067
Description: Relax the constraint on axcc4 8065 to dominance instead of equinumerosity. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
axcc4dom.1  |-  A  e. 
_V
axcc4dom.2  |-  ( x  =  ( f `  n )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
axcc4dom  |-  ( ( N  ~<_  om  /\  A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph )  ->  E. f ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) )
Distinct variable groups:    A, f, n, x    f, N, n    ph, f    ps, x
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    ps( f, n)    N( x)

Proof of Theorem axcc4dom
StepHypRef Expression
1 brdom2 6891 . . 3  |-  ( N  ~<_  om  <->  ( N  ~<  om  \/  N  ~~  om ) )
2 isfinite 7353 . . . . 5  |-  ( N  e.  Fin  <->  N  ~<  om )
3 axcc4dom.2 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( f `  n )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
43ac6sfi 7101 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph )  ->  E. f ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) )
54ex 423 . . . . 5  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph 
->  E. f ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) ) )
62, 5sylbir 204 . . . 4  |-  ( N 
~<  om  ->  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  E. f ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) ) )
7 raleq 2736 . . . . . 6  |-  ( N  =  if ( N 
~~  om ,  N ,  om )  ->  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  <->  A. n  e.  if  ( N  ~~  om ,  N ,  om ) E. x  e.  A  ph ) )
8 feq2 5376 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  if ( N 
~~  om ,  N ,  om )  ->  ( f : N --> A  <->  f : if ( N  ~~  om ,  N ,  om ) --> A ) )
9 raleq 2736 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  if ( N 
~~  om ,  N ,  om )  ->  ( A. n  e.  N  ps  <->  A. n  e.  if  ( N  ~~  om ,  N ,  om ) ps )
)
108, 9anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( N  =  if ( N 
~~  om ,  N ,  om )  ->  ( ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) 
<->  ( f : if ( N  ~~  om ,  N ,  om ) --> A  /\  A. n  e.  if  ( N  ~~  om ,  N ,  om ) ps ) ) )
1110exbidv 1612 . . . . . 6  |-  ( N  =  if ( N 
~~  om ,  N ,  om )  ->  ( E. f ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) 
<->  E. f ( f : if ( N 
~~  om ,  N ,  om ) --> A  /\  A. n  e.  if  ( N  ~~  om ,  N ,  om ) ps )
) )
127, 11imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( N  =  if ( N 
~~  om ,  N ,  om )  ->  ( ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph 
->  E. f ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) )  <->  ( A. n  e.  if  ( N  ~~  om ,  N ,  om ) E. x  e.  A  ph  ->  E. f
( f : if ( N  ~~  om ,  N ,  om ) --> A  /\  A. n  e.  if  ( N  ~~  om ,  N ,  om ) ps ) ) ) )
13 axcc4dom.1 . . . . . 6  |-  A  e. 
_V
14 breq1 4026 . . . . . . 7  |-  ( N  =  if ( N 
~~  om ,  N ,  om )  ->  ( N 
~~  om  <->  if ( N  ~~  om ,  N ,  om )  ~~  om ) )
15 breq1 4026 . . . . . . 7  |-  ( om  =  if ( N 
~~  om ,  N ,  om )  ->  ( om 
~~  om  <->  if ( N  ~~  om ,  N ,  om )  ~~  om ) )
16 omex 7344 . . . . . . . 8  |-  om  e.  _V
1716enref 6894 . . . . . . 7  |-  om  ~~  om
1814, 15, 17elimhyp 3613 . . . . . 6  |-  if ( N  ~~  om ,  N ,  om )  ~~  om
1913, 18, 3axcc4 8065 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  if  ( N  ~~  om ,  N ,  om ) E. x  e.  A  ph  ->  E. f
( f : if ( N  ~~  om ,  N ,  om ) --> A  /\  A. n  e.  if  ( N  ~~  om ,  N ,  om ) ps ) )
2012, 19dedth 3606 . . . 4  |-  ( N 
~~  om  ->  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  E. f ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) ) )
216, 20jaoi 368 . . 3  |-  ( ( N  ~<  om  \/  N  ~~  om )  ->  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph 
->  E. f ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) ) )
221, 21sylbi 187 . 2  |-  ( N  ~<_  om  ->  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  E. f ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) ) )
2322imp 418 1  |-  ( ( N  ~<_  om  /\  A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph )  ->  E. f ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788   ifcif 3565   class class class wbr 4023   omcom 4656   -->wf 5251   ` cfv 5255    ~~ cen 6860    ~<_ cdom 6861    ~< csdm 6862   Fincfn 6863
This theorem is referenced by:  2ndcctbss  17181  2ndcsep  17185  iscmet3  18719  heiborlem3  26537
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867
  Copyright terms: Public domain W3C validator