MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcnex Unicode version

Theorem axcnex 8737
Description: The complex numbers form a set. This axiom is redundant in the presence of the other axioms (see cnexALT 10317), but the proof requires the axiom of replacement, while the derivation from the construction here does not. Thus we can avoid ax-rep 4105 in later theorems by invoking the axiom ax-cnex 8761 instead of cnexALT 10317. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axcnex  |-  CC  e.  _V

Proof of Theorem axcnex
StepHypRef Expression
1 df-c 8711 . 2  |-  CC  =  ( R.  X.  R. )
2 df-nr 8650 . . . 4  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
3 npex 8578 . . . . . . 7  |-  P.  e.  _V
43, 3xpex 4789 . . . . . 6  |-  ( P. 
X.  P. )  e.  _V
54pwex 4165 . . . . 5  |-  ~P ( P.  X.  P. )  e. 
_V
6 enrer 8658 . . . . . . . 8  |-  ~R  Er  ( P.  X.  P. )
76a1i 12 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ~R  Er  ( P. 
X.  P. ) )
87qsss 6688 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )  C_ 
~P ( P.  X.  P. ) )
98trud 1320 . . . . 5  |-  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )  C_  ~P ( P.  X.  P. )
105, 9ssexi 4133 . . . 4  |-  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )  e.  _V
112, 10eqeltri 2328 . . 3  |-  R.  e.  _V
1211, 11xpex 4789 . 2  |-  ( R. 
X.  R. )  e.  _V
131, 12eqeltri 2328 1  |-  CC  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    T. wtru 1312    e. wcel 1621   _Vcvv 2763    C_ wss 3127   ~Pcpw 3599    X. cxp 4659    Er wer 6625   /.cqs 6627   P.cnp 8449    ~R cer 8456   R.cnr 8457   CCcc 8703
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-oadd 6451  df-omul 6452  df-er 6628  df-ec 6630  df-qs 6634  df-ni 8464  df-pli 8465  df-mi 8466  df-lti 8467  df-plpq 8500  df-mpq 8501  df-ltpq 8502  df-enq 8503  df-nq 8504  df-erq 8505  df-plq 8506  df-mq 8507  df-1nq 8508  df-rq 8509  df-ltnq 8510  df-np 8573  df-plp 8575  df-ltp 8577  df-enr 8649  df-nr 8650  df-c 8711
  Copyright terms: Public domain W3C validator