Theorem axcnre 5258

Description: A complex number can be expressed in terms of two reals. Definition 10-1.1(v) of [Gleason] p. 130. Axiom 20 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axcnre	|- (A e. CC -> E.x e. RR E.y e. RR A = (x + (i x. y)))

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem axcnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-c 5212	. 2 |- CC = (R. X. R.)
2		eqeq1 1473	. . 3 |- (<.z, w>. = A -> (<.z, w>. = (x + (i x. y)) <-> A = (x + (i x. y))))
3	2	2rexbidv 1673	. 2 |- (<.z, w>. = A -> (E.x e. RR E.y e. RR <.z, w>. = (x + (i x. y)) <-> E.x e. RR E.y e. RR A = (x + (i x. y))))
4		opex 2772	. . . . 5 |- <.z, 0R>. e. V
5		opex 2772	. . . . 5 |- <.w, 0R>. e. V
6		eleq1 1526	. . . . . . 7 |- (x = <.z, 0R>. -> (x e. RR <-> <.z, 0R>. e. RR))
7		eleq1 1526	. . . . . . 7 |- (y = <.w, 0R>. -> (y e. RR <-> <.w, 0R>. e. RR))
8	6, 7	bi2anan9 630	. . . . . 6 |- ((x = <.z, 0R>. /\ y = <.w, 0R>.) -> ((x e. RR /\ y e. RR) <-> (<.z, 0R>. e. RR /\ <.w, 0R>. e. RR)))
9		opreq1 3953	. . . . . . . 8 |- (x = <.z, 0R>. -> (x + (i x. y)) = (<.z, 0R>. + (i x. y)))
10		opreq2 3954	. . . . . . . . 9 |- (y = <.w, 0R>. -> (i x. y) = (i x. <.w, 0R>.))
11	10	opreq2d 3961	. . . . . . . 8 |- (y = <.w, 0R>. -> (<.z, 0R>. + (i x. y)) = (<.z, 0R>. + (i x. <.w, 0R>.)))
12	9, 11	sylan9eq 1519	. . . . . . 7 |- ((x = <.z, 0R>. /\ y = <.w, 0R>.) -> (x + (i x. y)) = (<.z, 0R>. + (i x. <.w, 0R>.)))
13	12	eqeq2d 1478	. . . . . 6 |- ((x = <.z, 0R>. /\ y = <.w, 0R>.) -> (<.z, w>. = (x + (i x. y)) <-> <.z, w>. = (<.z, 0R>. + (i x. <.w, 0R>.))))
14	8, 13	anbi12d 626	. . . . 5 |- ((x = <.z, 0R>. /\ y = <.w, 0R>.) -> (((x e. RR /\ y e. RR) /\ <.z, w>. = (x + (i x. y))) <-> ((<.z, 0R>. e. RR /\ <.w, 0R>. e. RR) /\ <.z, w>. = (<.z, 0R>. + (i x. <.w, 0R>.)))))
15	4, 5, 14	cla42ev 1861	. . . 4 |- (((<.z, 0R>. e. RR /\ <.w, 0R>. e. RR) /\ <.z, w>. = (<.z, 0R>. + (i x. <.w, 0R>.))) -> E.xE.y((x e. RR /\ y e. RR) /\ <.z, w>. = (x + (i x. y))))
16		opelreal 5221	. . . . . 6 |- (<.z, 0R>. e. RR <-> z e. R.)
17		opelreal 5221	. . . . . 6 |- (<.w, 0R>. e. RR <-> w e. R.)
18	16, 17	anbi12i 481	. . . . 5 |- ((<.z, 0R>. e. RR /\ <.w, 0R>. e. RR) <-> (z e. R. /\ w e. R.))
19	18	biimpr 152	. . . 4 |- ((z e. R. /\ w e. R.) -> (<.z, 0R>. e. RR /\ <.w, 0R>. e. RR))
20		0r 5161	. . . . . . . . . 10 |- 0R e. R.
21		1r 5162	. . . . . . . . . . . 12 |- 1R e. R.
22	20, 21	pm3.2i 285	. . . . . . . . . . 11 |- (0R e. R. /\ 1R e. R.)
23		mulcnsr 5226	. . . . . . . . . . 11 |- (((0R e. R. /\ 1R e. R.) /\ (w e. R. /\ 0R e. R.)) -> (<.0R, 1R>. x. <.w, 0R>.) = <.((0R .R w) +R (-1R .R (1R .R 0R))), ((1R .R w) +R (0R .R 0R))>.)
24	22, 23	mpan 693	. . . . . . . . . 10 |- ((w e. R. /\ 0R e. R.) -> (<.0R, 1R>. x. <.w, 0R>.) = <.((0R .R w) +R (-1R .R (1R .R 0R))), ((1R .R w) +R (0R .R 0R))>.)
25	20, 24	mpan2 694	. . . . . . . . 9 |- (w e. R. -> (<.0R, 1R>. x. <.w, 0R>.) = <.((0R .R w) +R (-1R .R (1R .R 0R))), ((1R .R w) +R (0R .R 0R))>.)
26		00sr 5180	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w e. R. -> (w .R 0R) = 0R)
27	20	elisseti 1809	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0R e. V
28		visset 1804	. . . . . . . . . . . . . 14 |- w e. V
29	27, 28	mulcomsr 5170	. . . . . . . . . . . . 13 |- (0R .R w) = (w .R 0R)
30	26, 29	syl5eq 1511	. . . . . . . . . . . 12 |- (w e. R. -> (0R .R w) = 0R)
31	30	opreq1d 3960	. . . . . . . . . . 11 |- (w e. R. -> ((0R .R w) +R (-1R .R (1R .R 0R))) = (0R +R (-1R .R (1R .R 0R))))
32		00sr 5180	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (1R e. R. -> (1R .R 0R) = 0R)
33	21, 32	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (1R .R 0R) = 0R
34	33	opreq2i 3957	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (-1R .R (1R .R 0R)) = (-1R .R 0R)
35		m1r 5163	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -1R e. R.
36		00sr 5180	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (-1R e. R. -> (-1R .R 0R) = 0R)
37	35, 36	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (-1R .R 0R) = 0R
38	34, 37	eqtr 1487	. . . . . . . . . . . . 13 |- (-1R .R (1R .R 0R)) = 0R
39	38	opreq2i 3957	. . . . . . . . . . . 12 |- (0R +R (-1R .R (1R .R 0R))) = (0R +R 0R)
40		0idsr 5178	. . . . . . . . . . . . 13 |- (0R e. R. -> (0R +R 0R) = 0R)
41	20, 40	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . 12 |- (0R +R 0R) = 0R
42	39, 41	eqtr 1487	. . . . . . . . . . 11 |- (0R +R (-1R .R (1R .R 0R))) = 0R
43	31, 42	syl6eq 1515	. . . . . . . . . 10 |- (w e. R. -> ((0R .R w) +R (-1R .R (1R .R 0R))) = 0R)
44		1idsr 5179	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w e. R. -> (w .R 1R) = w)
45	21	elisseti 1809	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1R e. V
46	45, 28	mulcomsr 5170	. . . . . . . . . . . . 13 |- (1R .R w) = (w .R 1R)
47	44, 46	syl5eq 1511	. . . . . . . . . . . 12 |- (w e. R. -> (1R .R w) = w)
48	47	opreq1d 3960	. . . . . . . . . . 11 |- (w e. R. -> ((1R .R w) +R (0R .R 0R)) = (w +R (0R .R 0R)))
49		0idsr 5178	. . . . . . . . . . . 12 |- (w e. R. -> (w +R 0R) = w)
50		00sr 5180	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (0R e. R. -> (0R .R 0R) = 0R)
51	20, 50	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . 13 |- (0R .R 0R) = 0R
52	51	opreq2i 3957	. . . . . . . . . . . 12 |- (w +R (0R .R 0R)) = (w +R 0R)
53	49, 52	syl5eq 1511	. . . . . . . . . . 11 |- (w e. R. -> (w +R (0R .R 0R)) = w)
54	48, 53	eqtrd 1499	. . . . . . . . . 10 |- (w e. R. -> ((1R .R w) +R (0R .R 0R)) = w)
55	43, 54	opeq12d 2486	. . . . . . . . 9 |- (w e. R. -> <.((0R .R w) +R (-1R .R (1R .R 0R))), ((1R .R w) +R (0R .R 0R))>. = <.0R, w>.)
56	25, 55	eqtrd 1499	. . . . . . . 8 |- (w e. R. -> (<.0R, 1R>. x. <.w, 0R>.) = <.0R, w>.)
57		df-i 5215	. . . . . . . . 9 |- i = <.0R, 1R>.
58	57	opreq1i 3956	. . . . . . . 8 |- (i x. <.w, 0R>.) = (<.0R, 1R>. x. <.w, 0R>.)
59	56, 58	syl5eq 1511	. . . . . . 7 |- (w e. R. -> (i x. <.w, 0R>.) = <.0R, w>.)
60	59	opreq2d 3961	. . . . . 6 |- (w e. R. -> (<.z, 0R>. + (i x. <.w, 0R>.)) = (<.z, 0R>. + <.0R, w>.))
61	60	adantl 388	. . . . 5 |- ((z e. R. /\ w e. R.) -> (<.z, 0R>. + (i x. <.w, 0R>.)) = (<.z, 0R>. + <.0R, w>.))
62		addcnsr 5225	. . . . . . 7 |- (((z e. R. /\ 0R e. R.) /\ (0R e. R. /\ w e. R.)) -> (<.z, 0R>. + <.0R, w>.) = <.(z +R 0R), (0R +R w)>.)
63	20, 62	mpanl2 705	. . . . . 6 |- ((z e. R. /\ (0R e. R. /\ w e. R.)) -> (<.z, 0R>. + <.0R, w>.) = <.(z +R 0R), (0R +R w)>.)
64	20, 63	mpanr1 707	. . . . 5 |- ((z e. R. /\ w e. R.) -> (<.z, 0R>. + <.0R, w>.) = <.(z +R 0R), (0R +R w)>.)
65		opeq12 2480	. . . . . 6 |- (((z +R 0R) = z /\ (0R +R w) = w) -> <.(z +R 0R), (0R +R w)>. = <.z, w>.)
66		0idsr 5178	. . . . . 6 |- (z e. R. -> (z +R 0R) = z)
67	27, 28	addcomsr 5168	. . . . . . 7 |- (0R +R w) = (w +R 0R)
68	49, 67	syl5eq 1511	. . . . . 6 |- (w e. R. -> (0R +R w) = w)
69	65, 66, 68	syl2an 454	. . . . 5 |- ((z e. R. /\ w e. R.) -> <.(z +R 0R), (0R +R w)>. = <.z, w>.)
70	61, 64, 69	3eqtrrd 1504	. . . 4 |- ((z e. R. /\ w e. R.) -> <.z, w>. = (<.z, 0R>. + (i x. <.w, 0R>.)))
71	15, 19, 70	sylanc 471	. . 3 |- ((z e. R. /\ w e. R.) -> E.xE.y((x e. RR /\ y e. RR) /\ <.z, w>. = (x + (i x. y))))
72		r2ex 1683	. . 3 |- (E.x e. RR E.y e. RR <.z, w>. = (x + (i x. y)) <-> E.xE.y((x e. RR /\ y e. RR) /\ <.z, w>. = (x + (i x. y))))
73	71, 72	sylibr 200	. 2 |- (