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Theorem axcontlem10 24673
Description: Lemma for axcont 24676. Given a handful of assumptions, derive the conclusion of the final theorem. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcontlem10.1  |-  D  =  { p  e.  ( EE `  N )  |  ( U  Btwn  <. Z ,  p >.  \/  p  Btwn  <. Z ,  U >. ) }
axcontlem10.2  |-  F  =  { <. x ,  t
>.  |  ( x  e.  D  /\  (
t  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  ( U `  i )
) ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
axcontlem10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. )
Distinct variable groups:    A, b, p, x    B, b, p, x, y    D, p, t, x    F, b   
i, F, p, t, x    y, F    N, b    i, N, p, t, x    y, N    U, b    U, i, p, t, x    y, U    Z, b    i, Z, p, t, x    y, Z
Allowed substitution hints:    A( y, t, i)    B( t, i)    D( y, i, b)

Proof of Theorem axcontlem10
Dummy variables  k  m  n  q  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imassrn 5041 . . . . 5  |-  ( F
" A )  C_  ran  F
2 simpll 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  N  e.  NN )
3 simprl1 1000 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  Z  e.  ( EE `  N ) )
4 simplr1 997 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  A  C_  ( EE `  N ) )
5 simprl2 1001 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  U  e.  A
)
64, 5sseldd 3194 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  U  e.  ( EE `  N ) )
7 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  Z  =/=  U
)
8 axcontlem10.1 . . . . . . . 8  |-  D  =  { p  e.  ( EE `  N )  |  ( U  Btwn  <. Z ,  p >.  \/  p  Btwn  <. Z ,  U >. ) }
9 axcontlem10.2 . . . . . . . 8  |-  F  =  { <. x ,  t
>.  |  ( x  e.  D  /\  (
t  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  ( U `  i )
) ) ) ) }
108, 9axcontlem2 24665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/=  U )  ->  F : D -1-1-onto-> ( 0 [,)  +oo ) )
112, 3, 6, 7, 10syl31anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  F : D -1-1-onto-> (
0 [,)  +oo ) )
12 f1ofo 5495 . . . . . 6  |-  ( F : D -1-1-onto-> ( 0 [,)  +oo )  ->  F : D -onto->
( 0 [,)  +oo ) )
13 forn 5470 . . . . . 6  |-  ( F : D -onto-> ( 0 [,)  +oo )  ->  ran  F  =  ( 0 [,) 
+oo ) )
1411, 12, 133syl 18 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ran  F  =  ( 0 [,)  +oo ) )
151, 14syl5sseq 3239 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( F " A )  C_  (
0 [,)  +oo ) )
16 elrege0 10762 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
1716simplbi 446 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  x  e.  RR )
1817ssriv 3197 . . . 4  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
1915, 18syl6ss 3204 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( F " A )  C_  RR )
20 imassrn 5041 . . . . 5  |-  ( F
" B )  C_  ran  F
2120, 14syl5sseq 3239 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( F " B )  C_  (
0 [,)  +oo ) )
2221, 18syl6ss 3204 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( F " B )  C_  RR )
238, 9axcontlem9 24672 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  A. m  e.  ( F " A ) A. n  e.  ( F " B ) m  <_  n )
24 dedekindle 24098 . . 3  |-  ( ( ( F " A
)  C_  RR  /\  ( F " B )  C_  RR  /\  A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) m  <_  n
)  ->  E. k  e.  RR  A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n ) )
2519, 22, 23, 24syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  E. k  e.  RR  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )
26 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  k  e.  RR )  ->  k  e.  RR )
27 simprl3 1002 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  B  =/=  (/) )
2827ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  k  e.  RR )  ->  B  =/=  (/) )
29 n0 3477 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =/=  (/)  <->  E. b  b  e.  B )
3028, 29sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  k  e.  RR )  ->  E. b  b  e.  B )
31 0re 8854 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
3231a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  0  e.  RR )
33 f1of 5488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : D -1-1-onto-> ( 0 [,)  +oo )  ->  F : D --> ( 0 [,)  +oo ) )
3411, 33syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  F : D --> ( 0 [,)  +oo ) )
358axcontlem4 24667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  A  C_  D
)
3635, 5sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  U  e.  D
)
37 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : D --> ( 0 [,)  +oo )  /\  U  e.  D )  ->  ( F `  U )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
3834, 36, 37syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( F `  U )  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
3918, 38sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( F `  U )  e.  RR )
4039ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  ( F `  U )  e.  RR )
41 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  k  e.  RR )
42 elrege0 10762 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  U )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( ( F `  U )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  U
) ) )
4342simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  U )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  0  <_  ( F `  U
) )
4438, 43syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  0  <_  ( F `  U )
)
4544ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  0  <_  ( F `  U ) )
46 f1of1 5487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F : D -1-1-onto-> ( 0 [,)  +oo )  ->  F : D -1-1-> ( 0 [,)  +oo )
)
4711, 46syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  F : D -1-1-> ( 0 [,)  +oo )
)
48 f1elima 5803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : D -1-1-> ( 0 [,)  +oo )  /\  U  e.  D  /\  A  C_  D )  ->  ( ( F `
 U )  e.  ( F " A
)  <->  U  e.  A
) )
4947, 36, 35, 48syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( ( F `
 U )  e.  ( F " A
)  <->  U  e.  A
) )
505, 49mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( F `  U )  e.  ( F " A ) )
5150adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  ( F `  U )  e.  ( F " A ) )
52 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  b  e.  B )  ->  b  e.  B )
5347adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  b  e.  B )  ->  F : D -1-1-> ( 0 [,)  +oo )
)
54 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U )  ->  Z  e.  ( EE `  N ) )
55 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U )  ->  U  e.  A )
56 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U )  ->  Z  =/=  U )
5754, 55, 563jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U )  -> 
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  Z  =/=  U
) )
588axcontlem3 24666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  ( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  Z  =/= 
U ) )  ->  B  C_  D )
5957, 58sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  B  C_  D
)
6059sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  b  e.  B )  ->  b  e.  D )
6159adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  b  e.  B )  ->  B  C_  D )
62 f1elima 5803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : D -1-1-> ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D  /\  B  C_  D )  ->  ( ( F `
 b )  e.  ( F " B
)  <->  b  e.  B
) )
6353, 60, 61, 62syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  b  e.  B )  ->  ( ( F `  b )  e.  ( F " B )  <-> 
b  e.  B ) )
6452, 63mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  b  e.  B )  ->  ( F `  b
)  e.  ( F
" B ) )
6564adantrl 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  ( F `  b )  e.  ( F " B ) )
6651, 65jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  ( ( F `  U )  e.  ( F " A
)  /\  ( F `  b )  e.  ( F " B ) ) )
67 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  ( F `  U )  ->  (
m  <_  k  <->  ( F `  U )  <_  k
) )
6867anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  ( F `  U )  ->  (
( m  <_  k  /\  k  <_  n )  <-> 
( ( F `  U )  <_  k  /\  k  <_  n ) ) )
69 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( F `  b )  ->  (
k  <_  n  <->  k  <_  ( F `  b ) ) )
7069anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( F `  b )  ->  (
( ( F `  U )  <_  k  /\  k  <_  n )  <-> 
( ( F `  U )  <_  k  /\  k  <_  ( F `
 b ) ) ) )
7168, 70rspc2va 2904 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F `  U )  e.  ( F " A )  /\  ( F `  b )  e.  ( F " B ) )  /\  A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n ) )  ->  (
( F `  U
)  <_  k  /\  k  <_  ( F `  b ) ) )
7266, 71sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  /\  A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n ) )  ->  (
( F `  U
)  <_  k  /\  k  <_  ( F `  b ) ) )
7372an32s 779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  ( ( F `  U )  <_  k  /\  k  <_ 
( F `  b
) ) )
7473simpld 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  ( F `  U )  <_  k
)
7532, 40, 41, 45, 74letrd 8989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  0  <_  k )
7675expr 598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  k  e.  RR )  ->  ( b  e.  B  ->  0  <_  k )
)
7776exlimdv 1626 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  k  e.  RR )  ->  ( E. b  b  e.  B  ->  0  <_  k ) )
7830, 77mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  k  e.  RR )  ->  0  <_  k )
79 elrege0 10762 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( k  e.  RR  /\  0  <_ 
k ) )
8026, 78, 79sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  k  e.  RR )  ->  k  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
8180ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  -> 
( k  e.  RR  ->  k  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )
82 ssrab2 3271 . . . . . . . . . 10  |-  { p  e.  ( EE `  N
)  |  ( U 
Btwn  <. Z ,  p >.  \/  p  Btwn  <. Z ,  U >. ) }  C_  ( EE `  N )
838, 82eqsstri 3221 . . . . . . . . 9  |-  D  C_  ( EE `  N )
84 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. m  e.  ( F " A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  k  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
85 f1ocnvdm 5812 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : D -1-1-onto-> ( 0 [,)  +oo )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  ( `' F `  k )  e.  D )
8611, 84, 85syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( A. m  e.  ( F " A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo )
) )  ->  ( `' F `  k )  e.  D )
8783, 86sseldi 3191 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( A. m  e.  ( F " A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo )
) )  ->  ( `' F `  k )  e.  ( EE `  N ) )
882, 3, 63jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) ) )
8988, 7jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U ) )
9089adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  (
( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/=  U ) )
9135sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  q  e.  A )  ->  q  e.  D )
9291adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( q  e.  A  /\  r  e.  B
) )  ->  q  e.  D )
9392adantrl 696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  q  e.  D )
94 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
)  ->  k  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
9511, 94, 85syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  ( `' F `  k )  e.  D )
9659sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  r  e.  B )  ->  r  e.  D )
9796adantrl 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( q  e.  A  /\  r  e.  B
) )  ->  r  e.  D )
9897adantrl 696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  r  e.  D )
9993, 95, 983jca 1132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  (
q  e.  D  /\  ( `' F `  k )  e.  D  /\  r  e.  D ) )
10090, 99jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  (
( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
q  e.  D  /\  ( `' F `  k )  e.  D  /\  r  e.  D ) ) )
101 f1ofun 5490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F : D -1-1-onto-> ( 0 [,)  +oo )  ->  Fun  F )
10211, 101syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  Fun  F )
103 fdm 5409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F : D --> ( 0 [,)  +oo )  ->  dom  F  =  D )
10411, 33, 1033syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  dom  F  =  D )
10535, 104sseqtr4d 3228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  A  C_  dom  F )
106 funfvima2 5770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Fun  F  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( q  e.  A  ->  ( F `  q
)  e.  ( F
" A ) ) )
107102, 105, 106syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( q  e.  A  ->  ( F `  q )  e.  ( F " A ) ) )
10859, 104sseqtr4d 3228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  B  C_  dom  F )
109 funfvima2 5770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Fun  F  /\  B  C_ 
dom  F )  -> 
( r  e.  B  ->  ( F `  r
)  e.  ( F
" B ) ) )
110102, 108, 109syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( r  e.  B  ->  ( F `  r )  e.  ( F " B ) ) )
111107, 110anim12d 546 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( ( q  e.  A  /\  r  e.  B )  ->  (
( F `  q
)  e.  ( F
" A )  /\  ( F `  r )  e.  ( F " B ) ) ) )
112111imp 418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( q  e.  A  /\  r  e.  B
) )  ->  (
( F `  q
)  e.  ( F
" A )  /\  ( F `  r )  e.  ( F " B ) ) )
113112adantrl 696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  (
( F `  q
)  e.  ( F
" A )  /\  ( F `  r )  e.  ( F " B ) ) )
114 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n ) )
115 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  ( F `  q )  ->  (
m  <_  k  <->  ( F `  q )  <_  k
) )
116115anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( F `  q )  ->  (
( m  <_  k  /\  k  <_  n )  <-> 
( ( F `  q )  <_  k  /\  k  <_  n ) ) )
117 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( F `  r )  ->  (
k  <_  n  <->  k  <_  ( F `  r ) ) )
118117anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( F `  r )  ->  (
( ( F `  q )  <_  k  /\  k  <_  n )  <-> 
( ( F `  q )  <_  k  /\  k  <_  ( F `
 r ) ) ) )
119116, 118rspc2v 2903 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  q
)  e.  ( F
" A )  /\  ( F `  r )  e.  ( F " B ) )  -> 
( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  ->  ( ( F `  q )  <_  k  /\  k  <_ 
( F `  r
) ) ) )
120113, 114, 119sylc 56 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  (
( F `  q
)  <_  k  /\  k  <_  ( F `  r ) ) )
121 f1ocnvfv2 5809 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : D -1-1-onto-> ( 0 [,)  +oo )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  ( F `  ( `' F `  k )
)  =  k )
12211, 94, 121syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  ( F `  ( `' F `  k )
)  =  k )
123122breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  (
( F `  q
)  <_  ( F `  ( `' F `  k ) )  <->  ( F `  q )  <_  k
) )
124122breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  (
( F `  ( `' F `  k ) )  <_  ( F `  r )  <->  k  <_  ( F `  r ) ) )
125123, 124anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  (
( ( F `  q )  <_  ( F `  ( `' F `  k )
)  /\  ( F `  ( `' F `  k ) )  <_ 
( F `  r
) )  <->  ( ( F `  q )  <_  k  /\  k  <_ 
( F `  r
) ) ) )
126120, 125mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  (
( F `  q
)  <_  ( F `  ( `' F `  k ) )  /\  ( F `  ( `' F `  k ) )  <_  ( F `  r ) ) )
1278, 9axcontlem8 24671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
q  e.  D  /\  ( `' F `  k )  e.  D  /\  r  e.  D ) )  -> 
( ( ( F `
 q )  <_ 
( F `  ( `' F `  k ) )  /\  ( F `
 ( `' F `  k ) )  <_ 
( F `  r
) )  ->  ( `' F `  k ) 
Btwn  <. q ,  r
>. ) )
128100, 126, 127sylc 56 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  ( `' F `  k ) 
Btwn  <. q ,  r
>. )
129128anassrs 629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( A. m  e.  ( F " A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo )
) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
)  ->  ( `' F `  k )  Btwn  <. q ,  r
>. )
130129ralrimivva 2648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( A. m  e.  ( F " A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo )
) )  ->  A. q  e.  A  A. r  e.  B  ( `' F `  k )  Btwn  <. q ,  r
>. )
131 opeq1 3812 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  x  ->  <. q ,  r >.  =  <. x ,  r >. )
132131breq2d 4051 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  x  ->  (
( `' F `  k )  Btwn  <. q ,  r >.  <->  ( `' F `  k )  Btwn  <. x ,  r
>. ) )
133 opeq2 3813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  y  ->  <. x ,  r >.  =  <. x ,  y >. )
134133breq2d 4051 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  y  ->  (
( `' F `  k )  Btwn  <. x ,  r >.  <->  ( `' F `  k )  Btwn  <. x ,  y
>. ) )
135132, 134cbvral2v 2785 . . . . . . . . 9  |-  ( A. q  e.  A  A. r  e.  B  ( `' F `  k ) 
Btwn  <. q ,  r
>. 
<-> 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( `' F `  k ) 
Btwn  <. x ,  y
>. )
136130, 135sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( A. m  e.  ( F " A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo )
) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( `' F `  k )  Btwn  <. x ,  y
>. )
137 breq1 4042 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( `' F `  k )  ->  (
b  Btwn  <. x ,  y >.  <->  ( `' F `  k )  Btwn  <. x ,  y >. )
)
1381372ralbidv 2598 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( `' F `  k )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. 
<-> 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( `' F `  k ) 
Btwn  <. x ,  y
>. ) )
139138rspcev 2897 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' F `  k )  e.  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( `' F `  k )  Btwn  <. x ,  y >. )  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. )
14087, 136, 139syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( A. m  e.  ( F " A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo )
) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
141140expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  -> 
( k  e.  ( 0 [,)  +oo )  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. ) )
14281, 141syld 40 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  -> 
( k  e.  RR  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. ) )
143142ex 423 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
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k  /\  k  <_  n )  ->  ( k  e.  RR  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
) )
144143com23 72 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( k  e.  RR  ->  ( A. m  e.  ( F " A ) A. n  e.  ( F " B
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k  /\  k  <_  n )  ->  E. b  e.  ( EE `  N
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) )
145144rexlimdv 2679 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( E. k  e.  RR  A. m  e.  ( F " A
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)
14625, 145mpd 14 1  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560    C_ wss 3165   (/)c0 3468   <.cop 3656   class class class wbr 4039   {copab 4092   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   ran crn 4706   "cima 4708   Fun wfun 5265   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268   -onto->wfo 5269   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    +oocpnf 8880    <_ cle 8884    - cmin 9053   NNcn 9762   [,)cico 10674   ...cfz 10798   EEcee 24588    Btwn cbtwn 24589
This theorem is referenced by:  axcontlem11  24674
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-z 10041  df-uz 10247  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-ee 24591  df-btwn 24592
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