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Theorem axcontlem10 25912
 Description: Lemma for axcont 25915. Given a handful of assumptions, derive the conclusion of the final theorem. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcontlem10.1
axcontlem10.2
Assertion
Ref Expression
axcontlem10
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,,   ,,,   ,   ,,,,   ,   ,   ,,,,   ,   ,   ,,,,   ,   ,   ,,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,)   (,,)

Proof of Theorem axcontlem10
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imassrn 5216 . . . . 5
2 simpll 731 . . . . . . 7
3 simprl1 1002 . . . . . . 7
4 simplr1 999 . . . . . . . 8
5 simprl2 1003 . . . . . . . 8
64, 5sseldd 3349 . . . . . . 7
7 simprr 734 . . . . . . 7
8 axcontlem10.1 . . . . . . . 8
9 axcontlem10.2 . . . . . . . 8
108, 9axcontlem2 25904 . . . . . . 7
112, 3, 6, 7, 10syl31anc 1187 . . . . . 6
12 f1ofo 5681 . . . . . 6
13 forn 5656 . . . . . 6
1411, 12, 133syl 19 . . . . 5
151, 14syl5sseq 3396 . . . 4
16 elrege0 11007 . . . . . 6
1716simplbi 447 . . . . 5
1817ssriv 3352 . . . 4
1915, 18syl6ss 3360 . . 3
20 imassrn 5216 . . . . 5
2120, 14syl5sseq 3396 . . . 4
2221, 18syl6ss 3360 . . 3
238, 9axcontlem9 25911 . . 3
24 dedekindle 25188 . . 3
2519, 22, 23, 24syl3anc 1184 . 2
26 simpr 448 . . . . . . . 8
27 simprl3 1004 . . . . . . . . . . 11
2827ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10
29 n0 3637 . . . . . . . . . 10
3028, 29sylib 189 . . . . . . . . 9
31 0re 9091 . . . . . . . . . . . . 13
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
33 f1of 5674 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3411, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
358axcontlem4 25906 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3635, 5sseldd 3349 . . . . . . . . . . . . . . 15
3734, 36ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . . . . . 14
3818, 37sseldi 3346 . . . . . . . . . . . . 13
3938ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12
40 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12
41 elrege0 11007 . . . . . . . . . . . . . . 15
4241simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . 14
4337, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
4443ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12
45 f1of1 5673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4611, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
47 f1elima 6009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4846, 36, 35, 47syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
495, 48mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5049adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
51 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5246adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
53 simpl1 960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
54 simpl2 961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
55 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5653, 54, 553jca 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
578axcontlem3 25905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5856, 57sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5958sselda 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6058adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
61 f1elima 6009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6252, 59, 60, 61syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6351, 62mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6463adantrl 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6550, 64jca 519 . . . . . . . . . . . . . . 15
66 breq1 4215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6766anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . . . . 16
68 breq2 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6968anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7067, 69rspc2va 3059 . . . . . . . . . . . . . . 15
7165, 70sylan 458 . . . . . . . . . . . . . 14
7271an32s 780 . . . . . . . . . . . . 13
7372simpld 446 . . . . . . . . . . . 12
7432, 39, 40, 44, 73letrd 9227 . . . . . . . . . . 11
7574expr 599 . . . . . . . . . 10
7675exlimdv 1646 . . . . . . . . 9
7730, 76mpd 15 . . . . . . . 8
78 elrege0 11007 . . . . . . . 8
7926, 77, 78sylanbrc 646 . . . . . . 7
8079ex 424 . . . . . 6
81 ssrab2 3428 . . . . . . . . . 10
828, 81eqsstri 3378 . . . . . . . . 9
83 simpr 448 . . . . . . . . . 10
84 f1ocnvdm 6018 . . . . . . . . . 10
8511, 83, 84syl2an 464 . . . . . . . . 9
8682, 85sseldi 3346 . . . . . . . 8
872, 3, 63jca 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15
8887, 7jca 519 . . . . . . . . . . . . . 14
8988adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
9035sselda 3348 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9190adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . 15
9291adantrl 697 . . . . . . . . . . . . . 14
93 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15
9411, 93, 84syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14
9558sselda 3348 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9695adantrl 697 . . . . . . . . . . . . . . 15
9796adantrl 697 . . . . . . . . . . . . . 14
9892, 94, 973jca 1134 . . . . . . . . . . . . 13
9989, 98jca 519 . . . . . . . . . . . 12
100 f1ofun 5676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10111, 100syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
102 fdm 5595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10311, 33, 1023syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10435, 103sseqtr4d 3385 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
105 funfvima2 5974 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
106101, 104, 105syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10758, 103sseqtr4d 3385 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
108 funfvima2 5974 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
109101, 107, 108syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
110106, 109anim12d 547 . . . . . . . . . . . . . . . 16
111110imp 419 . . . . . . . . . . . . . . 15
112111adantrl 697 . . . . . . . . . . . . . 14
113 simprll 739 . . . . . . . . . . . . . 14
114 breq1 4215 . . . . . . . . . . . . . . . 16
115114anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . . . 15
116 breq2 4216 . . . . . . . . . . . . . . . 16
117116anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . 15
118115, 117rspc2v 3058 . . . . . . . . . . . . . 14
119112, 113, 118sylc 58 . . . . . . . . . . . . 13
120 f1ocnvfv2 6015 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12111, 93, 120syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . 15
122121breq2d 4224 . . . . . . . . . . . . . 14
123121breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . . 14
124122, 123anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . 13
125119, 124mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12
1268, 9axcontlem8 25910 . . . . . . . . . . . 12
12799, 125, 126sylc 58 . . . . . . . . . . 11
128127anassrs 630 . . . . . . . . . 10
129128ralrimivva 2798 . . . . . . . . 9
130 opeq1 3984 . . . . . . . . . . 11
131130breq2d 4224 . . . . . . . . . 10
132 opeq2 3985 . . . . . . . . . . 11
133132breq2d 4224 . . . . . . . . . 10
134131, 133cbvral2v 2940 . . . . . . . . 9
135129, 134sylib 189 . . . . . . . 8
136 breq1 4215 . . . . . . . . . 10
1371362ralbidv 2747 . . . . . . . . 9
138137rspcev 3052 . . . . . . . 8
13986, 135, 138syl2anc 643 . . . . . . 7
140139expr 599 . . . . . 6
14180, 140syld 42 . . . . 5
142141ex 424 . . . 4
143142com23 74 . . 3
144143rexlimdv 2829 . 2
14525, 144mpd 15 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   w3a 936  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wral 2705  wrex 2706  crab 2709   wss 3320  c0 3628  cop 3817   class class class wbr 4212  copab 4265  ccnv 4877   cdm 4878   crn 4879  cima 4881   wfun 5448  wf 5450  wf1 5451  wfo 5452  wf1o 5453  cfv 5454  (class class class)co 6081  cr 8989  cc0 8990  c1 8991   caddc 8993   cmul 8995   cpnf 9117   cle 9121   cmin 9291  cn 10000  cico 10918  cfz 11043  cee 25827   cbtwn 25828 This theorem is referenced by:  axcontlem11  25913 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-z 10283  df-uz 10489  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-ee 25830  df-btwn 25831
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