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Theorem axcontlem10 24673
 Description: Lemma for axcont 24676. Given a handful of assumptions, derive the conclusion of the final theorem. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcontlem10.1
axcontlem10.2
Assertion
Ref Expression
axcontlem10
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,,   ,,,   ,   ,,,,   ,   ,   ,,,,   ,   ,   ,,,,   ,   ,   ,,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,)   (,,)

Proof of Theorem axcontlem10
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imassrn 5041 . . . . 5
2 simpll 730 . . . . . . 7
3 simprl1 1000 . . . . . . 7
4 simplr1 997 . . . . . . . 8
5 simprl2 1001 . . . . . . . 8
64, 5sseldd 3194 . . . . . . 7
7 simprr 733 . . . . . . 7
8 axcontlem10.1 . . . . . . . 8
9 axcontlem10.2 . . . . . . . 8
108, 9axcontlem2 24665 . . . . . . 7
112, 3, 6, 7, 10syl31anc 1185 . . . . . 6
12 f1ofo 5495 . . . . . 6
13 forn 5470 . . . . . 6
1411, 12, 133syl 18 . . . . 5
151, 14syl5sseq 3239 . . . 4
16 elrege0 10762 . . . . . 6
1716simplbi 446 . . . . 5
1817ssriv 3197 . . . 4
1915, 18syl6ss 3204 . . 3
20 imassrn 5041 . . . . 5
2120, 14syl5sseq 3239 . . . 4
2221, 18syl6ss 3204 . . 3
238, 9axcontlem9 24672 . . 3
24 dedekindle 24098 . . 3
2519, 22, 23, 24syl3anc 1182 . 2
26 simpr 447 . . . . . . . 8
27 simprl3 1002 . . . . . . . . . . 11
2827ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10
29 n0 3477 . . . . . . . . . 10
3028, 29sylib 188 . . . . . . . . 9
31 0re 8854 . . . . . . . . . . . . 13
3231a1i 10 . . . . . . . . . . . 12
33 f1of 5488 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3411, 33syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
358axcontlem4 24667 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3635, 5sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . 15
37 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . 15
3834, 36, 37syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14
3918, 38sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . 13
4039ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12
41 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12
42 elrege0 10762 . . . . . . . . . . . . . . 15
4342simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . 14
4438, 43syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
4544ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12
46 f1of1 5487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4711, 46syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
48 f1elima 5803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4947, 36, 35, 48syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
505, 49mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5150adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16
52 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5347adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
54 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
55 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
56 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5754, 55, 563jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
588axcontlem3 24666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5957, 58sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6059sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6159adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
62 f1elima 5803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6353, 60, 61, 62syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6452, 63mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6564adantrl 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6651, 65jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15
67 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6867anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . . . 16
69 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7069anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7168, 70rspc2va 2904 . . . . . . . . . . . . . . 15
7266, 71sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14
7372an32s 779 . . . . . . . . . . . . 13
7473simpld 445 . . . . . . . . . . . 12
7532, 40, 41, 45, 74letrd 8989 . . . . . . . . . . 11
7675expr 598 . . . . . . . . . 10
7776exlimdv 1626 . . . . . . . . 9
7830, 77mpd 14 . . . . . . . 8
79 elrege0 10762 . . . . . . . 8
8026, 78, 79sylanbrc 645 . . . . . . 7
8180ex 423 . . . . . 6
82 ssrab2 3271 . . . . . . . . . 10
838, 82eqsstri 3221 . . . . . . . . 9
84 simpr 447 . . . . . . . . . 10
85 f1ocnvdm 5812 . . . . . . . . . 10
8611, 84, 85syl2an 463 . . . . . . . . 9
8783, 86sseldi 3191 . . . . . . . 8
882, 3, 63jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15
8988, 7jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14
9089adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
9135sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9291adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . 15
9392adantrl 696 . . . . . . . . . . . . . 14
94 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15
9511, 94, 85syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . 14
9659sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9796adantrl 696 . . . . . . . . . . . . . . 15
9897adantrl 696 . . . . . . . . . . . . . 14
9993, 95, 983jca 1132 . . . . . . . . . . . . 13
10090, 99jca 518 . . . . . . . . . . . 12
101 f1ofun 5490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10211, 101syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
103 fdm 5409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10411, 33, 1033syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10535, 104sseqtr4d 3228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
106 funfvima2 5770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
107102, 105, 106syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10859, 104sseqtr4d 3228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
109 funfvima2 5770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
110102, 108, 109syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
111107, 110anim12d 546 . . . . . . . . . . . . . . . 16
112111imp 418 . . . . . . . . . . . . . . 15
113112adantrl 696 . . . . . . . . . . . . . 14
114 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . 14
115 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . 16
116115anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . . 15
117 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . 16
118117anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . 15
119116, 118rspc2v 2903 . . . . . . . . . . . . . 14
120113, 114, 119sylc 56 . . . . . . . . . . . . 13
121 f1ocnvfv2 5809 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12211, 94, 121syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15
123122breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . 14
124122breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . 14
125123, 124anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . 13
126120, 125mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12
1278, 9axcontlem8 24671 . . . . . . . . . . . 12
128100, 126, 127sylc 56 . . . . . . . . . . 11
129128anassrs 629 . . . . . . . . . 10
130129ralrimivva 2648 . . . . . . . . 9
131 opeq1 3812 . . . . . . . . . . 11
132131breq2d 4051 . . . . . . . . . 10
133 opeq2 3813 . . . . . . . . . . 11
134133breq2d 4051 . . . . . . . . . 10
135132, 134cbvral2v 2785 . . . . . . . . 9
136130, 135sylib 188 . . . . . . . 8
137 breq1 4042 . . . . . . . . . 10
1381372ralbidv 2598 . . . . . . . . 9
139138rspcev 2897 . . . . . . . 8
14087, 136, 139syl2anc 642 . . . . . . 7
141140expr 598 . . . . . 6
14281, 141syld 40 . . . . 5
143142ex 423 . . . 4
144143com23 72 . . 3
145144rexlimdv 2679 . 2
14625, 145mpd 14 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358   w3a 934  wex 1531   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  wrex 2557  crab 2560   wss 3165  c0 3468  cop 3656   class class class wbr 4039  copab 4092  ccnv 4704   cdm 4705   crn 4706  cima 4708   wfun 5265  wf 5267  wf1 5268  wfo 5269  wf1o 5270  cfv 5271  (class class class)co 5874  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   caddc 8756   cmul 8758   cpnf 8880   cle 8884   cmin 9053  cn 9762  cico 10674  cfz 10798  cee 24588   cbtwn 24589 This theorem is referenced by:  axcontlem11  24674 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-z 10041  df-uz 10247  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-ee 24591  df-btwn 24592
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