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Theorem axcontlem10 25912
Description: Lemma for axcont 25915. Given a handful of assumptions, derive the conclusion of the final theorem. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcontlem10.1  |-  D  =  { p  e.  ( EE `  N )  |  ( U  Btwn  <. Z ,  p >.  \/  p  Btwn  <. Z ,  U >. ) }
axcontlem10.2  |-  F  =  { <. x ,  t
>.  |  ( x  e.  D  /\  (
t  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  ( U `  i )
) ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
axcontlem10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. )
Distinct variable groups:    A, b, p, x    B, b, p, x, y    D, p, t, x    F, b   
i, F, p, t, x    y, F    N, b    i, N, p, t, x    y, N    U, b    U, i, p, t, x    y, U    Z, b    i, Z, p, t, x    y, Z
Allowed substitution hints:    A( y, t, i)    B( t, i)    D( y, i, b)

Proof of Theorem axcontlem10
Dummy variables  k  m  n  q  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imassrn 5216 . . . . 5  |-  ( F
" A )  C_  ran  F
2 simpll 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  N  e.  NN )
3 simprl1 1002 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  Z  e.  ( EE `  N ) )
4 simplr1 999 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  A  C_  ( EE `  N ) )
5 simprl2 1003 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  U  e.  A
)
64, 5sseldd 3349 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  U  e.  ( EE `  N ) )
7 simprr 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  Z  =/=  U
)
8 axcontlem10.1 . . . . . . . 8  |-  D  =  { p  e.  ( EE `  N )  |  ( U  Btwn  <. Z ,  p >.  \/  p  Btwn  <. Z ,  U >. ) }
9 axcontlem10.2 . . . . . . . 8  |-  F  =  { <. x ,  t
>.  |  ( x  e.  D  /\  (
t  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  ( U `  i )
) ) ) ) }
108, 9axcontlem2 25904 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/=  U )  ->  F : D -1-1-onto-> ( 0 [,)  +oo ) )
112, 3, 6, 7, 10syl31anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  F : D -1-1-onto-> (
0 [,)  +oo ) )
12 f1ofo 5681 . . . . . 6  |-  ( F : D -1-1-onto-> ( 0 [,)  +oo )  ->  F : D -onto->
( 0 [,)  +oo ) )
13 forn 5656 . . . . . 6  |-  ( F : D -onto-> ( 0 [,)  +oo )  ->  ran  F  =  ( 0 [,) 
+oo ) )
1411, 12, 133syl 19 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ran  F  =  ( 0 [,)  +oo ) )
151, 14syl5sseq 3396 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( F " A )  C_  (
0 [,)  +oo ) )
16 elrege0 11007 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
1716simplbi 447 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  x  e.  RR )
1817ssriv 3352 . . . 4  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
1915, 18syl6ss 3360 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( F " A )  C_  RR )
20 imassrn 5216 . . . . 5  |-  ( F
" B )  C_  ran  F
2120, 14syl5sseq 3396 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( F " B )  C_  (
0 [,)  +oo ) )
2221, 18syl6ss 3360 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( F " B )  C_  RR )
238, 9axcontlem9 25911 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  A. m  e.  ( F " A ) A. n  e.  ( F " B ) m  <_  n )
24 dedekindle 25188 . . 3  |-  ( ( ( F " A
)  C_  RR  /\  ( F " B )  C_  RR  /\  A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) m  <_  n
)  ->  E. k  e.  RR  A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n ) )
2519, 22, 23, 24syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  E. k  e.  RR  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )
26 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  k  e.  RR )  ->  k  e.  RR )
27 simprl3 1004 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  B  =/=  (/) )
2827ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  k  e.  RR )  ->  B  =/=  (/) )
29 n0 3637 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =/=  (/)  <->  E. b  b  e.  B )
3028, 29sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  k  e.  RR )  ->  E. b  b  e.  B )
31 0re 9091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  0  e.  RR )
33 f1of 5674 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : D -1-1-onto-> ( 0 [,)  +oo )  ->  F : D --> ( 0 [,)  +oo ) )
3411, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  F : D --> ( 0 [,)  +oo ) )
358axcontlem4 25906 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  A  C_  D
)
3635, 5sseldd 3349 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  U  e.  D
)
3734, 36ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( F `  U )  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
3818, 37sseldi 3346 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( F `  U )  e.  RR )
3938ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  ( F `  U )  e.  RR )
40 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  k  e.  RR )
41 elrege0 11007 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  U )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( ( F `  U )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  U
) ) )
4241simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  U )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  0  <_  ( F `  U
) )
4337, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  0  <_  ( F `  U )
)
4443ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  0  <_  ( F `  U ) )
45 f1of1 5673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F : D -1-1-onto-> ( 0 [,)  +oo )  ->  F : D -1-1-> ( 0 [,)  +oo )
)
4611, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  F : D -1-1-> ( 0 [,)  +oo )
)
47 f1elima 6009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : D -1-1-> ( 0 [,)  +oo )  /\  U  e.  D  /\  A  C_  D )  ->  ( ( F `
 U )  e.  ( F " A
)  <->  U  e.  A
) )
4846, 36, 35, 47syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( ( F `
 U )  e.  ( F " A
)  <->  U  e.  A
) )
495, 48mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( F `  U )  e.  ( F " A ) )
5049adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  ( F `  U )  e.  ( F " A ) )
51 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  b  e.  B )  ->  b  e.  B )
5246adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  b  e.  B )  ->  F : D -1-1-> ( 0 [,)  +oo )
)
53 simpl1 960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U )  ->  Z  e.  ( EE `  N ) )
54 simpl2 961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U )  ->  U  e.  A )
55 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U )  ->  Z  =/=  U )
5653, 54, 553jca 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U )  -> 
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  Z  =/=  U
) )
578axcontlem3 25905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  ( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  Z  =/= 
U ) )  ->  B  C_  D )
5856, 57sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  B  C_  D
)
5958sselda 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  b  e.  B )  ->  b  e.  D )
6058adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  b  e.  B )  ->  B  C_  D )
61 f1elima 6009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : D -1-1-> ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D  /\  B  C_  D )  ->  ( ( F `
 b )  e.  ( F " B
)  <->  b  e.  B
) )
6252, 59, 60, 61syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  b  e.  B )  ->  ( ( F `  b )  e.  ( F " B )  <-> 
b  e.  B ) )
6351, 62mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  b  e.  B )  ->  ( F `  b
)  e.  ( F
" B ) )
6463adantrl 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  ( F `  b )  e.  ( F " B ) )
6550, 64jca 519 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  ( ( F `  U )  e.  ( F " A
)  /\  ( F `  b )  e.  ( F " B ) ) )
66 breq1 4215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  ( F `  U )  ->  (
m  <_  k  <->  ( F `  U )  <_  k
) )
6766anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  ( F `  U )  ->  (
( m  <_  k  /\  k  <_  n )  <-> 
( ( F `  U )  <_  k  /\  k  <_  n ) ) )
68 breq2 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( F `  b )  ->  (
k  <_  n  <->  k  <_  ( F `  b ) ) )
6968anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( F `  b )  ->  (
( ( F `  U )  <_  k  /\  k  <_  n )  <-> 
( ( F `  U )  <_  k  /\  k  <_  ( F `
 b ) ) ) )
7067, 69rspc2va 3059 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F `  U )  e.  ( F " A )  /\  ( F `  b )  e.  ( F " B ) )  /\  A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n ) )  ->  (
( F `  U
)  <_  k  /\  k  <_  ( F `  b ) ) )
7165, 70sylan 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  /\  A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n ) )  ->  (
( F `  U
)  <_  k  /\  k  <_  ( F `  b ) ) )
7271an32s 780 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  ( ( F `  U )  <_  k  /\  k  <_ 
( F `  b
) ) )
7372simpld 446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  ( F `  U )  <_  k
)
7432, 39, 40, 44, 73letrd 9227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  0  <_  k )
7574expr 599 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  k  e.  RR )  ->  ( b  e.  B  ->  0  <_  k )
)
7675exlimdv 1646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  k  e.  RR )  ->  ( E. b  b  e.  B  ->  0  <_  k ) )
7730, 76mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  k  e.  RR )  ->  0  <_  k )
78 elrege0 11007 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( k  e.  RR  /\  0  <_ 
k ) )
7926, 77, 78sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  k  e.  RR )  ->  k  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
8079ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  -> 
( k  e.  RR  ->  k  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )
81 ssrab2 3428 . . . . . . . . . 10  |-  { p  e.  ( EE `  N
)  |  ( U 
Btwn  <. Z ,  p >.  \/  p  Btwn  <. Z ,  U >. ) }  C_  ( EE `  N )
828, 81eqsstri 3378 . . . . . . . . 9  |-  D  C_  ( EE `  N )
83 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. m  e.  ( F " A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  k  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
84 f1ocnvdm 6018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : D -1-1-onto-> ( 0 [,)  +oo )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  ( `' F `  k )  e.  D )
8511, 83, 84syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( A. m  e.  ( F " A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo )
) )  ->  ( `' F `  k )  e.  D )
8682, 85sseldi 3346 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( A. m  e.  ( F " A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo )
) )  ->  ( `' F `  k )  e.  ( EE `  N ) )
872, 3, 63jca 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) ) )
8887, 7jca 519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U ) )
8988adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  (
( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/=  U ) )
9035sselda 3348 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  q  e.  A )  ->  q  e.  D )
9190adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( q  e.  A  /\  r  e.  B
) )  ->  q  e.  D )
9291adantrl 697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  q  e.  D )
93 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
)  ->  k  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
9411, 93, 84syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  ( `' F `  k )  e.  D )
9558sselda 3348 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  r  e.  B )  ->  r  e.  D )
9695adantrl 697 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( q  e.  A  /\  r  e.  B
) )  ->  r  e.  D )
9796adantrl 697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  r  e.  D )
9892, 94, 973jca 1134 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  (
q  e.  D  /\  ( `' F `  k )  e.  D  /\  r  e.  D ) )
9989, 98jca 519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  (
( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
q  e.  D  /\  ( `' F `  k )  e.  D  /\  r  e.  D ) ) )
100 f1ofun 5676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F : D -1-1-onto-> ( 0 [,)  +oo )  ->  Fun  F )
10111, 100syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  Fun  F )
102 fdm 5595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F : D --> ( 0 [,)  +oo )  ->  dom  F  =  D )
10311, 33, 1023syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  dom  F  =  D )
10435, 103sseqtr4d 3385 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  A  C_  dom  F )
105 funfvima2 5974 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Fun  F  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( q  e.  A  ->  ( F `  q
)  e.  ( F
" A ) ) )
106101, 104, 105syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( q  e.  A  ->  ( F `  q )  e.  ( F " A ) ) )
10758, 103sseqtr4d 3385 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  B  C_  dom  F )
108 funfvima2 5974 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Fun  F  /\  B  C_ 
dom  F )  -> 
( r  e.  B  ->  ( F `  r
)  e.  ( F
" B ) ) )
109101, 107, 108syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( r  e.  B  ->  ( F `  r )  e.  ( F " B ) ) )
110106, 109anim12d 547 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( ( q  e.  A  /\  r  e.  B )  ->  (
( F `  q
)  e.  ( F
" A )  /\  ( F `  r )  e.  ( F " B ) ) ) )
111110imp 419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( q  e.  A  /\  r  e.  B
) )  ->  (
( F `  q
)  e.  ( F
" A )  /\  ( F `  r )  e.  ( F " B ) ) )
112111adantrl 697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  (
( F `  q
)  e.  ( F
" A )  /\  ( F `  r )  e.  ( F " B ) ) )
113 simprll 739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n ) )
114 breq1 4215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  ( F `  q )  ->  (
m  <_  k  <->  ( F `  q )  <_  k
) )
115114anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( F `  q )  ->  (
( m  <_  k  /\  k  <_  n )  <-> 
( ( F `  q )  <_  k  /\  k  <_  n ) ) )
116 breq2 4216 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( F `  r )  ->  (
k  <_  n  <->  k  <_  ( F `  r ) ) )
117116anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( F `  r )  ->  (
( ( F `  q )  <_  k  /\  k  <_  n )  <-> 
( ( F `  q )  <_  k  /\  k  <_  ( F `
 r ) ) ) )
118115, 117rspc2v 3058 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  q
)  e.  ( F
" A )  /\  ( F `  r )  e.  ( F " B ) )  -> 
( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  ->  ( ( F `  q )  <_  k  /\  k  <_ 
( F `  r
) ) ) )
119112, 113, 118sylc 58 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  (
( F `  q
)  <_  k  /\  k  <_  ( F `  r ) ) )
120 f1ocnvfv2 6015 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : D -1-1-onto-> ( 0 [,)  +oo )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  ( F `  ( `' F `  k )
)  =  k )
12111, 93, 120syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  ( F `  ( `' F `  k )
)  =  k )
122121breq2d 4224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  (
( F `  q
)  <_  ( F `  ( `' F `  k ) )  <->  ( F `  q )  <_  k
) )
123121breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  (
( F `  ( `' F `  k ) )  <_  ( F `  r )  <->  k  <_  ( F `  r ) ) )
124122, 123anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  (
( ( F `  q )  <_  ( F `  ( `' F `  k )
)  /\  ( F `  ( `' F `  k ) )  <_ 
( F `  r
) )  <->  ( ( F `  q )  <_  k  /\  k  <_ 
( F `  r
) ) ) )
125119, 124mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  (
( F `  q
)  <_  ( F `  ( `' F `  k ) )  /\  ( F `  ( `' F `  k ) )  <_  ( F `  r ) ) )
1268, 9axcontlem8 25910 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
q  e.  D  /\  ( `' F `  k )  e.  D  /\  r  e.  D ) )  -> 
( ( ( F `
 q )  <_ 
( F `  ( `' F `  k ) )  /\  ( F `
 ( `' F `  k ) )  <_ 
( F `  r
) )  ->  ( `' F `  k ) 
Btwn  <. q ,  r
>. ) )
12799, 125, 126sylc 58 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  ( `' F `  k ) 
Btwn  <. q ,  r
>. )
128127anassrs 630 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( A. m  e.  ( F " A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo )
) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
)  ->  ( `' F `  k )  Btwn  <. q ,  r
>. )
129128ralrimivva 2798 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( A. m  e.  ( F " A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo )
) )  ->  A. q  e.  A  A. r  e.  B  ( `' F `  k )  Btwn  <. q ,  r
>. )
130 opeq1 3984 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  x  ->  <. q ,  r >.  =  <. x ,  r >. )
131130breq2d 4224 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  x  ->  (
( `' F `  k )  Btwn  <. q ,  r >.  <->  ( `' F `  k )  Btwn  <. x ,  r
>. ) )
132 opeq2 3985 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  y  ->  <. x ,  r >.  =  <. x ,  y >. )
133132breq2d 4224 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  y  ->  (
( `' F `  k )  Btwn  <. x ,  r >.  <->  ( `' F `  k )  Btwn  <. x ,  y
>. ) )
134131, 133cbvral2v 2940 . . . . . . . . 9  |-  ( A. q  e.  A  A. r  e.  B  ( `' F `  k ) 
Btwn  <. q ,  r
>. 
<-> 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( `' F `  k ) 
Btwn  <. x ,  y
>. )
135129, 134sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( A. m  e.  ( F " A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo )
) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( `' F `  k )  Btwn  <. x ,  y
>. )
136 breq1 4215 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( `' F `  k )  ->  (
b  Btwn  <. x ,  y >.  <->  ( `' F `  k )  Btwn  <. x ,  y >. )
)
1371362ralbidv 2747 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( `' F `  k )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. 
<-> 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( `' F `  k ) 
Btwn  <. x ,  y
>. ) )
138137rspcev 3052 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' F `  k )  e.  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( `' F `  k )  Btwn  <. x ,  y >. )  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. )
13986, 135, 138syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( A. m  e.  ( F " A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,)  +oo )
) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
140139expr 599 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  -> 
( k  e.  ( 0 [,)  +oo )  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. ) )
14180, 140syld 42 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  -> 
( k  e.  RR  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. ) )
142141ex 424 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
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k  /\  k  <_  n )  ->  ( k  e.  RR  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
) )
143142com23 74 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( k  e.  RR  ->  ( A. m  e.  ( F " A ) A. n  e.  ( F " B
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k  /\  k  <_  n )  ->  E. b  e.  ( EE `  N
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) )
144143rexlimdv 2829 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( E. k  e.  RR  A. m  e.  ( F " A
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k  /\  k  <_  n )  ->  E. b  e.  ( EE `  N
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)
14525, 144mpd 15 1  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709    C_ wss 3320   (/)c0 3628   <.cop 3817   class class class wbr 4212   {copab 4265   `'ccnv 4877   dom cdm 4878   ran crn 4879   "cima 4881   Fun wfun 5448   -->wf 5450   -1-1->wf1 5451   -onto->wfo 5452   -1-1-onto->wf1o 5453   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    +oocpnf 9117    <_ cle 9121    - cmin 9291   NNcn 10000   [,)cico 10918   ...cfz 11043   EEcee 25827    Btwn cbtwn 25828
This theorem is referenced by:  axcontlem11  25913
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-z 10283  df-uz 10489  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-ee 25830  df-btwn 25831
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