Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  axcontlem11 Unicode version

Theorem axcontlem11 24674
Description: Lemma for axcont 24676. Eliminate the hypotheses from axcontlem10 24673. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
axcontlem11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. )
Distinct variable groups:    A, b, x    B, b, x, y    N, b, x, y    U, b, x, y    Z, b, x, y
Allowed substitution hint:    A( y)

Proof of Theorem axcontlem11
Dummy variables  i 
j  p  q  r  t  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opeq2 3813 . . . . 5  |-  ( q  =  p  ->  <. Z , 
q >.  =  <. Z ,  p >. )
21breq2d 4051 . . . 4  |-  ( q  =  p  ->  ( U  Btwn  <. Z ,  q
>. 
<->  U  Btwn  <. Z ,  p >. ) )
3 breq1 4042 . . . 4  |-  ( q  =  p  ->  (
q  Btwn  <. Z ,  U >. 
<->  p  Btwn  <. Z ,  U >. ) )
42, 3orbi12d 690 . . 3  |-  ( q  =  p  ->  (
( U  Btwn  <. Z , 
q >.  \/  q  Btwn  <. Z ,  U >. )  <-> 
( U  Btwn  <. Z ,  p >.  \/  p  Btwn  <. Z ,  U >. ) ) )
54cbvrabv 2800 . 2  |-  { q  e.  ( EE `  N )  |  ( U  Btwn  <. Z , 
q >.  \/  q  Btwn  <. Z ,  U >. ) }  =  { p  e.  ( EE `  N
)  |  ( U 
Btwn  <. Z ,  p >.  \/  p  Btwn  <. Z ,  U >. ) }
6 eqid 2296 . . 3  |-  { <. z ,  r >.  |  ( z  e.  { q  e.  ( EE `  N )  |  ( U  Btwn  <. Z , 
q >.  \/  q  Btwn  <. Z ,  U >. ) }  /\  ( r  e.  ( 0 [,) 
+oo )  /\  A. j  e.  ( 1 ... N ) ( z `  j )  =  ( ( ( 1  -  r )  x.  ( Z `  j ) )  +  ( r  x.  ( U `  j )
) ) ) ) }  =  { <. z ,  r >.  |  ( z  e.  { q  e.  ( EE `  N )  |  ( U  Btwn  <. Z , 
q >.  \/  q  Btwn  <. Z ,  U >. ) }  /\  ( r  e.  ( 0 [,) 
+oo )  /\  A. j  e.  ( 1 ... N ) ( z `  j )  =  ( ( ( 1  -  r )  x.  ( Z `  j ) )  +  ( r  x.  ( U `  j )
) ) ) ) }
76axcontlem1 24664 . 2  |-  { <. z ,  r >.  |  ( z  e.  { q  e.  ( EE `  N )  |  ( U  Btwn  <. Z , 
q >.  \/  q  Btwn  <. Z ,  U >. ) }  /\  ( r  e.  ( 0 [,) 
+oo )  /\  A. j  e.  ( 1 ... N ) ( z `  j )  =  ( ( ( 1  -  r )  x.  ( Z `  j ) )  +  ( r  x.  ( U `  j )
) ) ) ) }  =  { <. x ,  t >.  |  ( x  e.  { q  e.  ( EE `  N )  |  ( U  Btwn  <. Z , 
q >.  \/  q  Btwn  <. Z ,  U >. ) }  /\  ( t  e.  ( 0 [,) 
+oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  ( U `  i )
) ) ) ) }
85, 7axcontlem10 24673 1  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560    C_ wss 3165   (/)c0 3468   <.cop 3656   class class class wbr 4039   {copab 4092   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    +oocpnf 8880    - cmin 9053   NNcn 9762   [,)cico 10674   ...cfz 10798   EEcee 24588    Btwn cbtwn 24589
This theorem is referenced by:  axcontlem12  24675
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-z 10041  df-uz 10247  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-ee 24591  df-btwn 24592
  Copyright terms: Public domain W3C validator