Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  axcontlem11 Unicode version

Theorem axcontlem11 24602
Description: Lemma for axcont 24604. Eliminate the hypotheses from axcontlem10 24601. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
axcontlem11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. )
Distinct variable groups:    A, b, x    B, b, x, y    N, b, x, y    U, b, x, y    Z, b, x, y
Allowed substitution hint:    A( y)

Proof of Theorem axcontlem11
Dummy variables  i 
j  p  q  r  t  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opeq2 3797 . . . . 5  |-  ( q  =  p  ->  <. Z , 
q >.  =  <. Z ,  p >. )
21breq2d 4035 . . . 4  |-  ( q  =  p  ->  ( U  Btwn  <. Z ,  q
>. 
<->  U  Btwn  <. Z ,  p >. ) )
3 breq1 4026 . . . 4  |-  ( q  =  p  ->  (
q  Btwn  <. Z ,  U >. 
<->  p  Btwn  <. Z ,  U >. ) )
42, 3orbi12d 690 . . 3  |-  ( q  =  p  ->  (
( U  Btwn  <. Z , 
q >.  \/  q  Btwn  <. Z ,  U >. )  <-> 
( U  Btwn  <. Z ,  p >.  \/  p  Btwn  <. Z ,  U >. ) ) )
54cbvrabv 2787 . 2  |-  { q  e.  ( EE `  N )  |  ( U  Btwn  <. Z , 
q >.  \/  q  Btwn  <. Z ,  U >. ) }  =  { p  e.  ( EE `  N
)  |  ( U 
Btwn  <. Z ,  p >.  \/  p  Btwn  <. Z ,  U >. ) }
6 eqid 2283 . . 3  |-  { <. z ,  r >.  |  ( z  e.  { q  e.  ( EE `  N )  |  ( U  Btwn  <. Z , 
q >.  \/  q  Btwn  <. Z ,  U >. ) }  /\  ( r  e.  ( 0 [,) 
+oo )  /\  A. j  e.  ( 1 ... N ) ( z `  j )  =  ( ( ( 1  -  r )  x.  ( Z `  j ) )  +  ( r  x.  ( U `  j )
) ) ) ) }  =  { <. z ,  r >.  |  ( z  e.  { q  e.  ( EE `  N )  |  ( U  Btwn  <. Z , 
q >.  \/  q  Btwn  <. Z ,  U >. ) }  /\  ( r  e.  ( 0 [,) 
+oo )  /\  A. j  e.  ( 1 ... N ) ( z `  j )  =  ( ( ( 1  -  r )  x.  ( Z `  j ) )  +  ( r  x.  ( U `  j )
) ) ) ) }
76axcontlem1 24592 . 2  |-  { <. z ,  r >.  |  ( z  e.  { q  e.  ( EE `  N )  |  ( U  Btwn  <. Z , 
q >.  \/  q  Btwn  <. Z ,  U >. ) }  /\  ( r  e.  ( 0 [,) 
+oo )  /\  A. j  e.  ( 1 ... N ) ( z `  j )  =  ( ( ( 1  -  r )  x.  ( Z `  j ) )  +  ( r  x.  ( U `  j )
) ) ) ) }  =  { <. x ,  t >.  |  ( x  e.  { q  e.  ( EE `  N )  |  ( U  Btwn  <. Z , 
q >.  \/  q  Btwn  <. Z ,  U >. ) }  /\  ( t  e.  ( 0 [,) 
+oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  ( U `  i )
) ) ) ) }
85, 7axcontlem10 24601 1  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    C_ wss 3152   (/)c0 3455   <.cop 3643   class class class wbr 4023   {copab 4076   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    +oocpnf 8864    - cmin 9037   NNcn 9746   [,)cico 10658   ...cfz 10782   EEcee 24516    Btwn cbtwn 24517
This theorem is referenced by:  axcontlem12  24603
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-z 10025  df-uz 10231  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-ee 24519  df-btwn 24520
  Copyright terms: Public domain W3C validator