Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  axcontlem11 Structured version   Unicode version

Theorem axcontlem11 25913
Description: Lemma for axcont 25915. Eliminate the hypotheses from axcontlem10 25912. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
axcontlem11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. )
Distinct variable groups:    A, b, x    B, b, x, y    N, b, x, y    U, b, x, y    Z, b, x, y
Allowed substitution hint:    A( y)

Proof of Theorem axcontlem11
Dummy variables  i 
j  p  q  r  t  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opeq2 3985 . . . . 5  |-  ( q  =  p  ->  <. Z , 
q >.  =  <. Z ,  p >. )
21breq2d 4224 . . . 4  |-  ( q  =  p  ->  ( U  Btwn  <. Z ,  q
>. 
<->  U  Btwn  <. Z ,  p >. ) )
3 breq1 4215 . . . 4  |-  ( q  =  p  ->  (
q  Btwn  <. Z ,  U >. 
<->  p  Btwn  <. Z ,  U >. ) )
42, 3orbi12d 691 . . 3  |-  ( q  =  p  ->  (
( U  Btwn  <. Z , 
q >.  \/  q  Btwn  <. Z ,  U >. )  <-> 
( U  Btwn  <. Z ,  p >.  \/  p  Btwn  <. Z ,  U >. ) ) )
54cbvrabv 2955 . 2  |-  { q  e.  ( EE `  N )  |  ( U  Btwn  <. Z , 
q >.  \/  q  Btwn  <. Z ,  U >. ) }  =  { p  e.  ( EE `  N
)  |  ( U 
Btwn  <. Z ,  p >.  \/  p  Btwn  <. Z ,  U >. ) }
6 eqid 2436 . . 3  |-  { <. z ,  r >.  |  ( z  e.  { q  e.  ( EE `  N )  |  ( U  Btwn  <. Z , 
q >.  \/  q  Btwn  <. Z ,  U >. ) }  /\  ( r  e.  ( 0 [,) 
+oo )  /\  A. j  e.  ( 1 ... N ) ( z `  j )  =  ( ( ( 1  -  r )  x.  ( Z `  j ) )  +  ( r  x.  ( U `  j )
) ) ) ) }  =  { <. z ,  r >.  |  ( z  e.  { q  e.  ( EE `  N )  |  ( U  Btwn  <. Z , 
q >.  \/  q  Btwn  <. Z ,  U >. ) }  /\  ( r  e.  ( 0 [,) 
+oo )  /\  A. j  e.  ( 1 ... N ) ( z `  j )  =  ( ( ( 1  -  r )  x.  ( Z `  j ) )  +  ( r  x.  ( U `  j )
) ) ) ) }
76axcontlem1 25903 . 2  |-  { <. z ,  r >.  |  ( z  e.  { q  e.  ( EE `  N )  |  ( U  Btwn  <. Z , 
q >.  \/  q  Btwn  <. Z ,  U >. ) }  /\  ( r  e.  ( 0 [,) 
+oo )  /\  A. j  e.  ( 1 ... N ) ( z `  j )  =  ( ( ( 1  -  r )  x.  ( Z `  j ) )  +  ( r  x.  ( U `  j )
) ) ) ) }  =  { <. x ,  t >.  |  ( x  e.  { q  e.  ( EE `  N )  |  ( U  Btwn  <. Z , 
q >.  \/  q  Btwn  <. Z ,  U >. ) }  /\  ( t  e.  ( 0 [,) 
+oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  ( U `  i )
) ) ) ) }
85, 7axcontlem10 25912 1  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709    C_ wss 3320   (/)c0 3628   <.cop 3817   class class class wbr 4212   {copab 4265   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    +oocpnf 9117    - cmin 9291   NNcn 10000   [,)cico 10918   ...cfz 11043   EEcee 25827    Btwn cbtwn 25828
This theorem is referenced by:  axcontlem12  25914
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-z 10283  df-uz 10489  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-ee 25830  df-btwn 25831
  Copyright terms: Public domain W3C validator